344
我们现在给出下列关于这类周期的结论：
1．因为λh f ≡λ ，λh f ＋1 ≡λ ，…（mod n ），可知（f ，λ ），（f ，λh ），（f ，λh 2 ），…是由相同的根构成的。因此，一般地，如果我们用［λ ′］表示（f ，λ ）中的任意根，这个周期就和（f ，λ ′）完全相同。因此，如果两个有相同个数的根的周期（我们就称它们为 相似的 周期） 有一个共同的根，那么它们就是相同的。因此，这样的情况不可能出现，即两个根属于同一个周期，但它们中只有一个能够在另一个相似的周期中找到。进而，如果两个根［λ ］，［λ ′］属于同一个有f 项的周期，那么表达式 （mod n ）的值就同余于h 的某个方幂；也就是说，我们可以假定λ ′≡λg ve （mod n ）。
2．如果f ＝n -1，e ＝1，周期（f ，1）就和Ω 相同。在剩下的情况中，Ω 就是由周期（f ，1），（f ，g ），（f ，g 2 ），…，（f ，g e -1 ）构成。因此，这些周期彼此是完全不同的，并且可知，如果［λ ］属于Ω ，即λ 如果不能被n 整除，那么，任意其他相似的周期（f ，λ ）就和这里的周期其中的一个相同。显然，周期（f ，0）或周期（f ，kn ）包含f 个1。还有，如果λ 是不能被n 整除的任意数，e 个周期的总体（f ，λ ），（f ，λg ），（f ，λg 2 ），…，（f ，λg e -1 ）就也和Ω 相同。例如，对于n ＝19，f ＝6，Ω 就包含3个周期（6，1），（6，2），（6，4）。除了（6，0）之外的任意其他相似的周期都可以被简化为这几个周期中的一个。
3．如果n -1是3个正数a ，b ，c 的乘积，那么显然，每个有bc 项的周期是由每个有c 项的b 个周期所组成的。例如，（bc ，λ ）由（c ，λ ），（c ，λg a ），（c ，λg 2a ），…，（c ，λg ab -a ）构成。因此，我们可以说后面这些周期是包含于前面的周期中。那么，对于n ＝19，周期（6，1）由3个周期构成：（2，1），（2，8），（2，7）。第1个周期含根r ，r 18 ；第2个周期含根r 8 ，r 11 ；第3个周期含根r 7 ，r 12 。
345
定理
设（f ，λ ），（f ，μ ）是两个相似而不一定相同的周期，并且设（f ，λ ）包含根［λ ］，［λ ′］，［λ ″］，…。那么，（f ，λ ）和（f ，μ ）的乘积就是f 个相似的周期的和，即（f ，λ ＋μ ）＋（f ，λ ′＋μ ）＋（f ，λ ″＋μ ）＋…，记为W 。
证明
像上面一样令n -1＝ef ；g 是模n 的原根，且h ＝g e 。由我们上面所说的，有（f ，λ ）＝（f ，λh ）＝（f ，λh 2 ）＝…，以及我们要求的乘积就等于
即
这个表达式总共包含f 2 个根。并且，如果我们把竖列相加，就会得到
这个表达式和W 相同，因为根据假设，数λ ，λ ′，λ ″，…对于模n 同余于λ ，λh ，λh 2 ，…，λh f -1 （我们这里不考虑次序） ，因此
就同余于
证明完毕。
我们对此定理补充以下推论：
1．如果k 是任意整数，（f ，kλ ）和（f ，kμ ）的乘积就等于
［f ，k （λ ＋μ ）］＋［f ，k （λ ′＋μ ）］＋［f ，k （λ ″＋μ ）］＋…
2．由于W 中的单项要么与（f ，0）＝f 相同，要么与（f ，1），（f ，g ），（f ，g 2 ），…，（f ，g e -1 ）中的某一项相同，因此W 可以化归为以下形式
W ＝af ＋b （f ，1）＋b ′（f ，g ）＋b ′（f ，g 2 ）＋…＋b ε （f ，g e -1 ）
其中系数a ，b ，b ′，…是正整数（有的甚至等于0） 。进而可知，（f ，kλ ）和（f ，kμ ）的乘积就等于af ＋b （f ，k ）＋b ′（f ，kg ）＋…＋b ε （f ，kg e -1 ）。
那么，例如，对于n ＝19，和（6，1）与它自身的乘积，即这个和的平方就等于（6，2）＋（6，8）＋（6，9）＋（6，12）＋（6，13）＋（6，19），也等于6＋2（6，1）＋（6，2）＋2（6，4）。
3．由于W 中的单个项和相似的周期（f ，v ）的乘积可以化归为一个类似的型，那么显然，3个周期（f ，λ ），（f ，μ ），（f ，v ）的乘积就可表示为cf ＋d （f ，1）＋…＋d ε （f ，g e -1 ），并且系数c ，d ，…就是正整数（或者等于0） ，并且对于k 的任意整数值，我们有
（f ，kλ ）×（f ，kμ ）×（f ，kv ）＝cf ＋d （f ，k ）＋d ′（f ，kg ）＋…
这个定理可以推广到任意多个相似的周期的乘积的情况，且这些周期是全不相同，还是部分相同，还是全部相同，都没有区别。
4．由此推出，如果在任意有理代数函数F ＝φ （t ，u ，υ ，…）中，我们用相似的周期（f ，λ ），（f ，μ ），（f ，v ），…分别代入未知数t ，u ，υ ，…，它的值就可以化归为这样的形式
A ＋B （f ，1）＋B ′（f ，g ）＋B ″（f ，g 2 ）…B ε （f ，g e -1 ）
并且，如果F 中所有的系数都是整数，则系数A ，B ，B ′，…就是整数。如果我们再用（f ，kλ ），（f ，kμ ），（f ，kv ），…分别代入t ，u ，υ ，…，F 的值，就可以将其化归为A ＋B （f ，k ）＋B ′（f ，kg ）＋…这样的形式。
346
定理
如果λ 是一个不能被n 整除的数，并且为了简洁，我们把（f ，λ ）记作p ，那么任意其他相似的周期（f ，μ ）（μ 不能被n 整除）就可以化归为型α ＋βp ＋γp 2 ＋…＋θp e -1 ，其中系数α ，β ，…是确定的有理数值。
证明
我们用p ，p ″，p ，…表示周期（f ，λg ），（f ，λg 2 ），（f ，λg 3 ），…一直到（f ，λg e -1 ）。它们的个数就是e -1个，且其中一个周期一定和（f ，μ ）相同。我们立即就得到等式
现在，如果按照上个条目的法则，我们计算出p 的方幂一直到p e -1 ，就得到另外e -2个等式
所有的系数A ，a ，a ′，…；B ，b ，b ′，…；…都是整数，并且由上个条目立即可以推出，它们与λ 无关，也就是说，不论我们给λ 取什么值，这些等式都成立。只要λ 不能被n 整除，这个结论也可以推广到等式Ⅰ。我们假设（f ，μ ）＝p ′，不难发现，如果（f ，μ ）与任何其他周期p ″，p ，…相同，那么我们可以用完全类似的方式做出如下论证。因为方程Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，…的个数是e -1，通过已知的方法可以把个数为e -2的量p ″，p ，…排除掉，下面所得的方程（Z ）就不含这些量
我们可以使得所有的系数 都是整数，且一定不全为0。现在，如果 不等于0，p ′就可以按照定理那样确定。因此，接下来我们还要证明 不等于0。
假设 ，方程Z 就变成 。因为它的次数不可能超过e -1，所以不可能有多于e -1个值的p 满足这个方程。但是，由于推导Z 方程与λ 无关，可以推出Z 也与λ 无关，因而，不管为λ 取什么样的不能被n 整除的数，它都成立。因此，（f ，1），（f ，g ），（f ，g 2 ），…，（f ，g e -1 ）中任意一个都可以满足这个方程。由此我们可以立即推出，这些和不是全不相等的，其中至少有两个一定是相等的。设两个相等的和其中之一包含根［ζ ］，［ζ ′］，［ζ ″］，…，另外一个包含根［η ］，［η ′］，［η ″］，…。我们就假设（这样是可以的） 所有的数ζ ，ζ ′，ζ ″，…；η ，η ′，η ″，…都是正的且小于n 。显然，所有的数都是各不相同的，且它们都不等于0。我们用Y 表示函数
它的最高次项的方幂不能超过x n -1 的方幂，那么当x ＝［1］时Y ＝0。因此，Y 包含因式x -［1］，它是前面X 表示的函数的公因式。要证明这是不可能的并不难，因为，如果Y 和X 有公因式，那么函数X ，Y 的最大公因式（它的次数不可能是n -1，因为Y 能够被x 整除） 的系数就全是有理数。可以从求两个系数全为有理数的函数的最大公因式的运算的性质推出这一点。但是，在条目341中我们证明了X 没有系数为次数小于n -1的有理数的因式。因此，假设 不成立。
例：对于n ＝19，f ＝6，我们有p 2 ＝6＋2p ＋p ′＋2p ″。由于0＝1＋p ＋p ′＋p ″，我们导出p ′＝4-p 2 ，p ″＝-5-p ＋p 2 。因此
（6，2）＝4-（6，1）2 ，（6，4）＝-5-（6，1）＋（6，1）2
（6，4）＝4-（6，2）2 ，（6，1）＝-5-（6，2）＋（6，2）2
（6，1）＝4-（6，4）2 ，（6，2）＝-5-（6，4）＋（6，4）2
347
定理
如果F ＝φ （t ，u ，υ ，…）是f 个未知数t ，u ，υ ，…的对称 [2] 有理代数函数，我们用包含在周期（f ，λ ）中的f 个根代入这些未知数，并且根据条目340的法则，F 的值可以化归为
A ＋A ′［1］＋A ″［2］＋…＝W
那么，这个表达式中属于同一个由f 项组成的周期的根就有相等的系数。
证明
设［p ］，［q ］是属于同一个由f 项组成的周期中的两个根，并且假设p ，q 都是正数且小于n 。我们必须要证明［p ］，［q ］在W 中具有相同的系数。设q ≡pg ve （mod n ）；并且设（f ，λ ）中包含的根是［λ ］，［λ ′］，［λ ″］，…，其中λ ，λ ′，λ ″，…都是正的且小于n ；最后，设数λg ve ，λ ′g ve ，λ ″g ve ，…对于模n 的最小正剩余是μ ，μ ′，μ ″，…。显然，它们的次序也许和λ ，λ ′，λ ″，…不同，但它们的值是相同的。由条目340可知
可以化归为A ＋A ′［g ve ］＋A ″［2g ve ］＋…或者A ＋A ′［θ ］＋A ″［θ ′］＋…＝（W ′）。这里θ ，θ ′，…是数g ve ，2g ve ，…对于模n 的最小剩余，所以我们发现，［q ］在（W ′）中和［p ］在（W ）中的系数是一样的。我们扩展表达式（Ⅰ），和扩展表达式φ （［μ ］，［μ ′］，［μ ″］，…）得到的结果是一样的，因为μ ≡λg ve ，μ ′≡λ ′g ve ，…（mod n ）。后一种表达式和φ （［λ ］，［λ ′］，［λ ″］，…）给出同样的结果，因为数μ ，μ ′，μ ″，…和数λ ，λ ′，λ ″，…只是次序不同，而这在对称函数中是没有影响的。因此，W ′与W 完全相同，所以根［q ］就和［p ］在W 中的系数相同。证明完毕。
因此，我们发现W 可以化归为形如
的式子；并且，如果F 中所有的有理系数都是整数，那么系数A ，a ，…，a ε 就是确定的数以及整数。因此，比如说，如果n ＝19，f ＝6，λ ＝1且函数φ 表示这些未知数的两两乘积之和，那么φ 的值可以化归为3＋（6，1）＋（6，4）。
一般地，如果用另一个周期（f ，kλ ）的根代入t ，u ，υ ，…，那么F 的值就成为
348
在方程
中，系数α ，β ，γ ，…是对称函数的根；也就是说，α 是所有的根的和，β 是一次取2个根的乘积的和，γ 是一次取3个根的乘积的和。因此，在一个根是周期（f ，λ ）的根的方程中，第1个系数就等于（f ，λ ），其他的系数可以化归为
的形式，其中所有的数A ，a ，a ′，…都是整数。而且，很明显，根包含于另一个周期（f ，kλ ）中的方程可以通过上面的方程导出：对于它的每个系数，用（f ，k ）代替（f ，1），（f ，kg ）代替（f ，g ），一般地，用（f ，kp ）代替（f ，p ）。以这种方式，只要我们知道（f ，1），（f ，g ），（f ，g 2 ），…这e 个和，或者一旦我们找出其中一个和，我们就可以指出根分别是属于（f ，1），（f ，g ），（f ，g 2 ），…中的e 个方程z ＝0，z ′＝0，z ″＝0，…。因为，根据条目346，其余所有的根都可以通过其中一个和进行有理推导得到。在这之后，函数X 就分解为e 个f 次幂的因式，因为显然函数z ，z ′，z ″，…的乘积就是X 。
例：对于n ＝19，周期（6，1）中所有根的和α ＝（6，1）；它们中一次取2个根的乘积之和β ＝3＋（6，1）＋（6，4）；类似地，一次取3个根的乘积之和γ ＝2＋2（6，1）＋（6，4）；一次取4个根的乘积之和δ ＝3＋（6，1）＋（6，4）；一次取5个根的乘积之和ε ＝（6，1）；所有的根的乘积等于1。因此，方程
就包含了（6，1）中的所有的根。并且，如果我们在系数α ，β ，γ ，…中分别用（6，2），（6，4），（6，1）代替（6，1），（6，2），（6，4），我们就得到包含根（6，2）的方程z ′＝0。如果再做一次同样的置换，我们就得到包含根（6，4）的方程z ″＝0，那么，乘积zz ′z ″＝X 。
349
由根的方幂的和推导系数β ，γ ，…时，通常使用牛顿定理是更加方便的，尤其是当f 是一个较大的数时。那么，包含于（f ，λ ）中的根的平方的和就等于（f ，2λ ），立方的和就等于（f ，3λ ），…。如果我们用q ，q ′，q ″，…分别表示（f ，λ ），（f ，2λ ），（f ，3λ ），…，我们就有
这里，根据条目345，两个周期的乘积就立即转化为周期的和。那么，在我们的例子中，如果我们用p ，p ′，p ″分别表示（6，1），（6，2），（6，4），我们就有q ，q ′，q ″，q ，q'''' ，q ″分别等于p ，p ′，p ′，p ″，p ′，p ″，因此
但是，按照这样的方式计算一半的系数就够了，因为不难证明，后一半系数以相反的次序等同于前一半系数；也就是说，最后1个系数等于1，倒数第2个系数等于α ，倒数第3个系数等于β ，…；即后面的系数可以由前面的系数用周期（f ，-1），（f ，-g ），…，或者（f ，n -1），（f ，n -g ），…代替（f ，1），（f ，g ），…来得到。当f 是偶数时，使用周期（f ，-1），（f ，-g ），…；当f 是奇数时，使用周期（f ，n -1），（f ，n -g ），…。最后1个系数总是等于1。这种方法的基础是条目79的定理，但为了简洁起见，我们就不探讨它的证明过程了。
350
定理
令n -1是三个正整数α ，β ，γ 的乘积，并且设具有βγ 项的周期（βγ ，λ ）是由β 个具有γ 项的较小的周期（γ ，λ ），（γ ，λ ′），（γ ，λ ″），…构成；我们进一步假设，在具有β 个未知数的函数（和条目347中的一样），即F ＝φ （t ，u ，υ …）中，我们分别用（γ ，λ ），（γ ，λ ′），（γ ，λ ″），…代替未知数t ，u ，υ ，…，那么按照条目345中的法则，这个函数的值就可以化归为
那么，我们可以断言，如果F 是一个对称函数，那么包含在同一个具有βγ 项的周期中W 的周期［一般地，周期（γ ，g μ ）和周期（γ ，g αν ＋μ ），ν 是任意整数］就具有相同的系数。
证明
由于周期（βγ ，γg α ）与（βγ ，λ ）相同，所以构成前者的较小的周期（γ ，λg α ），（γ ，λ ′g α ），（γ ，λ ″g α ），…就一定与构成后者的那些较小的周期相同，尽管次序不同。并且，如果我们假设F 可以通过前面的这些量分别代入t ，u ，υ ，…变成W ′，那么W ′就和W 相同。但是，根据条目347，我们有
所以这个表达式一定和W 相同，并且W 中的第1个系数，第2个系数，第3个系数，…（从α 开始） ，一定与第α ＋1个系数，第α ＋2个系数，第α ＋3个系数，…相同。那么，一般地，周期（γ ，g μ ），（γ ，g α ＋μ ），（γ ，g 2α ＋μ ），…，（γ ，g vα ＋μ ）（分别是第μ ＋1个，α ＋μ ＋1个，2α ＋μ ＋1个，…，第vα ＋μ ＋1个） 的系数一定彼此相同。证明完毕。
因此可知，W 可以化归为下面的形式：
其中，当F 的所有系数都是整数时，所有的系数A ，a ，…都是整数。假设在这之后我们用β 个由γ 项构成的周期代替F 中的未知数，这些周期又构成了另一个包含βγ 项的周期。如果包含于（βγ ，λk ）中的β 个周期是（γ ，λk ），（γ ，λ ′k ），（γ ，λ ″k ），…，那么，得到的值就是
显然，这个定理还可以扩展到α ＝1或者βγ ＝n -1的情况。在这种情况下，W 中所有的系数就是相等的，W 就能够被化归为A ＋a （βγ ，1）。
351
沿用上个条目中的术语，可知，根是β 个和（γ ，λ ），（γ ，λ ′），（γ ，λ ″），…的方程的单个系数可以化归为这样的形式
且数A ，a ，…都是整数。并且，如果我们用（βγ ，kμ ）代替每个周期（βγ ，μ ），那么就可以由此推导出根是包含在另一个周期（βγ ，kλ ）中的β 个有γ 项的周期的方程。因此，如果α ＝1，那么所有由γ 项构成的β 个周期将由一个β 次方程来确定，且每个系数就是A ＋a （βγ ，1）的形式。由于（βγ ，1）＝（n -1，1）＝-1，它们都是已知的量 ，如果α ＞1，那么，只要所有由βγ 项构成的α 个周期的数值都是已知的，这样的一个方程（它的根是包含于一个给定的βγ 项的周期中的所有由γ 项构成的周期） 的系数也就是已知的。像我们在条目349中做的那样，如果我们能首先求根的方幂的和，再由这些和通过牛顿定理推导出系数，那么这些方程的系数的计算常常是很容易的，特别是当β 不是很小时。
例：1．对于n ＝19，我们求根是和（6，1），（6，2），（6，3）的方程。如果我们分别用p ，p ′，p ″，…表示这些根，我们要求的方程就是
我们得到
那么
A ＝（18，1）＝-1
并且
所以
最后
因此，我们要求的方程就是
使用另一个方法，我们得出
因此
并且类似地有
由此，以及牛顿定理，我们可以推导出和前文相同的方程。
2．对于n ＝9，我们求根是和（2，1），（2，7），（2，8）的方程。如果我们分别用q ，q ′，q ″表示这些根，我们发现
因此，保留和前面一样的符号，我们要求的方程就是
这个根是包含在（6，2）中的和（2，2），（2，3），（2，5）的方程，可以从前面的方程推导出，只要用p ′，p ″，p 分别替换p ，p ′，p ″即可。如果我们再做一次同样的替换，就会得到根是包含于（6，4）中的和（2，4），（2，6），（2，9）的方程。
