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前面的定理以及它们的推论包含了整个理论的基本原理，我们现在可以讨论一下求Ω 中的根的值的方法。
首先，我们必须取模n 的原根g ，并且求出直到g n -2 的g 的各次方幂对于模n 的最小剩余。如果我们想把问题化归为最低可能次数的方程，就要把n -1分解成质因数。设这些（次序是任意的） 质因数是α ，β ，γ ，…，ζ ，并且设
把Ω 所有的根分成α 个有a 项的周期，这些周期中的每一个再分成β 个有b 项的周期，把这些周期的每个再分成γ 个周期，等等。像上个条目一样，确定一个α 次的方程（A ），它的根是α 个包含a 项构成的和，它们的值可以通过解这个方程来确定。
但是，这里出现了一个困难——应当使得哪个和等同于方程（A ）的哪个根，似乎是不确定的，也就是说，哪个根应当用（a ，1）来表示，哪个根应当用（a ，g ）来表示，等等。我们可以按照下面的方式解决这个困难。我们可以用（a ，1）表示方程（A ）的任意的根。这是因为，这个方程的根是Ω 中a 个根的和，且Ω 中哪个根是用［1］表示完全是任意的，我们可以假设［1］表示构成方程（A ）的根的其中一个，因此，方程（A ）的这个根就是（a ，1）。但是，根［1］还不是完全确定的，因为从组成（a ，1）的根里我们选择哪一个作为［1］是完全任意的（也就是不确定的） 。一旦把（a ，1）确定下来，所有剩下的a 项的和都可以由它推导出来（条目346） 。因此，我们只需要求解出方程的一个根。为了同样的目的，我们还可以使用下面的非直接的方法。取一个确定的根作为［1］，即令 ，整数k 可任意选取，但它不能被n 整除。在此之后，［2］，［3］，…也是确定的根，且和（a ，1），（a ，g ）是确定的值。现在，如果用一张精确度足够高的正弦表来算出这些值，使得我们能判定哪些和是较大的，哪些和是较小的，那么关于怎样区分方程（A ）的每个根的问题就不会存在任何疑问。
当我们用这种方法求出了所有α 个a 项的和之后，我们就用上个条目的方法确定β 次方程（B ），它的根是包含于（a ，1）的β 个b 项的和。这个方程的所有系数就都是已知的数。由于在这个阶段包含于（a ，1）的a ＝βb 中哪一个根是［1］还是任意的，那么方程（B ）的任意一个根都可以表示为（b ，1），因为从这个方程的b 个根中假设其中一个是［1］是没有问题的。因此，我们就去求解方程（B ）来确定其中的任意一个根。设这个根是（b ，1），根据条目346，可由它导出所有剩下的b 项的和。以这种方式，我们同时得到了一个判断计算的正确性的方法，因为就所有b 项（构成a 项的任意一个周期） 的和来说，它们这些和的和是已知的。在某些情况下，构建α -1个β 次的其他方程也是同样容易的。这些方程的根是这样的β 个和，每个和有b 项，且所有这些项是相应地分别包含在其余的有a 项的周期（a ，g ），（a ，g 2 ），…中，我们可以通过解这些方程和方程（B ）来求出所有的根 。那么，同上，借助于正弦表，我们可以确定哪一个由b 项组成的周期与哪一个用这样的方法所求出的根是相等的。为了做出这种判断，我们还可以使用其他的方法，但这里就不详细解释了。其中一种方法在β ＝2的情况下特别有用，我们在下面的例子中使用这种方法。
在我们用这种方法求出所有αβ 个b 项的和的值之后，我们可以用一种类似的方法，通过γ 次方程确定所有αβγ 个c 项的和。也就是说，要么 ，按照条目350我们只能求出一个γ 次方程，它的根是γ 个包含于（b ，1）的c 项的和，并解这个方程求出一个根，令它是（c ，1），且最后通过条目346中的方法可以推导出所有剩下的和；要么 ，我们用类似的方法求出αβ 个γ 次的方程，它们的根分别是这样的γ 个和，每个和有c 项，每一项都包含于有b 项的每个周期中。我们可以求解所有这些方程，得到它们的根，并且和之前一样，在正弦表的帮助下确定根的次序。但是，对于γ ＝2的情况，我们可以使用下面的方法。
如果我们用这种方法继续下去，最终会得到所有的 个ζ 项的和；并且，如果我们用条目348中的方法求出这样的ζ 次方程，它们的根是Ω 中的属于（ζ ，1）的ζ 个根，那么它的所有系数就是已知数。并且，如果解这个方程求得它的任意一个根，那么就可以令这个根是［1］，且它的方幂就给出了Ω 中所有其余的根。如果我们愿意，我们可以求出这个方程的所有的 根。然后，通过解其他的 个ζ 次方程（它们中的每一个方程的根是属于每个有ζ 项的周期中的ζ 个根） ，我们便可以求出Ω 中所有剩下的根。
显然，一旦我们解出第1个方程（A ），也就是一旦我们得到了所有α 个a 项的和的值之后，按照条目348，我们也就把函数X 分解成α 个a 次因式。进而，在解方程（B ），也就是求出所有αβ 个b 项的和的值之后，这些因式又可以再一次分解出β 个因式，因而函数X 就分解成αβ 个b 次因式，等等。
