第8节 以n ＝19为例，运算可以简化为求解两个三次方程和一个二次方程
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第1个例子 ：n ＝19。因为n -1＝3×3×2，求根Ω 就化归为解两个三次方程和一个二次方程。这个例子更加容易理解，因为大部分必要的运算都已经在上面讨论过了。如果我们取2作为原根g ，那么它的各次方幂就有下面的最小剩余（指数在第1行，剩余在第2行）
根据条目344和345，我们可以轻松地推导出Ω 中所有的根在3个周期（每个周期含6个项） 中的分布，这3个周期各自又可以划分为3个周期（每个周期含2个项） ：
其根是和（6，1），（6，2），（6，4）的方程（A ）就是x 3 ＋x 2 -6x -7＝0，其中一个根是-1.221 876 162 3。如果我们取这个根作为（6，1），就可得
（6，2）＝4-（6，1）2 ＝2.507 018 644 1
（6，4）＝-5-（6，1）＋（6，1）2 ＝-2.285 142 481 8
因此，如果替换在条目348中的值，函数X 就分解为3个六次因式。
其根是和（2，1），（2，7），（2，8）的方程（B ）就是
x 3 -（6，1）x 2 ＋［（6，1）＋（6，4）］x -2-（6，2）＝0
也即
x 3 ＋1.221 876 162 3x 2 -3.507 018 644 1x -4.507 018 644 1＝0
其中一个根是-1.354 563 143 3，我们取它作为（2，1）。根据条目346中的方法，我们求出以下等式［为了简洁，我们用q 表示（2，1） ］。
对于这种情况，下面的方法比条目346中的方法更加方便。假设
就得
因而
并且一般地
因而
因此，如果 ＝cos ω ，我们就得到（2，2）＝2cos 2ω ，（2，3）＝2cos 3ω ，…，并且从已知的关于各倍角的余弦关系式，我们可以推出和上面相同的公式。现在，由这些公式我们推出以下的数值
（2，2）＝-0.161 586 909 （2，6）＝0.490 970 974 3
（2，3）＝1.578 281 018 8 （2，7）＝-1.758 947 502 4
（2，4）＝-1.972 722 606 8 （2，8）＝1.891 634 483 4
（2，5）＝1.093 896 316 2 （2，9）＝-0.803 390 849 3
（2，7），（2，8）的值也可以由方程（B ）求出，它们是方程（B ）的剩下2个根。至于哪个根是（2，7），哪个根是（2，8）的问题，可以按照上面给出的公式做近似计算，或者通过正弦表解决。粗略地查看正弦表我们发现，如果令 ，那么（2，1）＝2cos ω ，因而可得（2，7）＝ ，以及（2，8）＝ 。类似地，我们还可以通过方程
x 3 -（6，2）x 2 ＋［（6，1）＋（6，2）］x -2-（6，4）＝0
求出和（2，2），（2，3），（2，5）它们是这个方程的根。至于哪一个根对应于哪一个和，可以按照和之前完全相同的方式解决。最后，可以通过公式
x 3 -（6，4）x 2 ＋［（6，2）＋（6，4）］x -2-（6，1）＝0
求出和（2，4），（2，6），（2，9）。
［1］和［18］是方程x 2 -（2，1）x ＋1＝0的根。其中一个根为
另一个根为
它们的数值就是
-0.677 281 571 6 ± 0.735 723 910 7i
剩下的16个根可以通过计算其中一个根的方幂，或通过解另外8个类似的方程得到。在使用第2个方法时，为了确定哪个根的虚部取正号，哪个根的虚部取负号，我们可以使用正弦表，或者用在下面的例子中介绍的方法。用后面这种方法我们可以求出以下值，其中，±的上层符号对应第1个根，±的下层符号对应第2个根
［1］和［18］＝-0.677 281 571 6 ± 0.735 723 910 7i
［2］和［17］＝-0.082 579 345 5 0.996 584 493 0i
［3］和［16］＝0.789 140 509 4 ±0.614 594 590 3i
［4］和［15］＝-0.986 361 303 4 ±0.164 594 590 3i
［5］和［14］＝0.546 948 158 1 0.837 166 478 3i
［6］和［13］＝0.245 485 487 1 ± 0.969 400 265 9i
［7］和［12］＝-0.879 473 751 2 0.475 947 393 0i
［8］和［11］＝0.945 817 241 7 0.324 699 469 2i
［9］和［10］＝-0.401 695 424 7 ± 0.915 773 326 7i
