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第2个例子： n ＝17。n -1＝2×2×2×2，因此这里的计算就化归为求解4个二次方程。我们取数3为原根。以下是它的方幂对于模17的最小剩余
由此我们推导出根的总体Ω 可以这样划分：各有8项的2个周期；各有4项的4个周期，各有2项的8个周期
根据条目351的法则我们可以求出，其根是和（8，1），（8，3）的方程（A ）是x 2 ＋x -4＝0。它的根是 ＝1.561 552 812 8和 ＝-2.561 552 812 8。我们令第1个根是（8，1），那么第2个根就一定是（8，3）。
其根是和（4，1）和（4，9）的方程（B ）是x 2 -（8，1）x -1＝0。它的根是
我们把平方根前是正号的那个根作为（4，1），它的值是2.049 481 177 7。那么，平方根前是负号的那个根就是（4，9），它的值是-0.487 928 364 9。剩下的有4个项的（4，3）与（4，10）的和可以用两种方式计算。第1种方式，利用条目346中的方法可以得到以下公式，为了简洁我们用p 表示（4，1）
这个方法还可以给出公式（4，9）＝-1-6p ＋p 2 ＋p 3 ，由此可以得到和上面一样的值。第2种方式，我们通过求解以和（4，3），（4，10）为根的方程来确定它们的值。这个方程就是x 2 -（8，3）x -1＝0。它的根是
也即
和
并且，我们可以用条目352中提到的方法去判断哪一个根是（4，3），哪一个根是（4，10）。计算（4，1）-（4，9）与（4，3）-（4，10）的乘积，它就等于2（8，1）-2（8，3） [3] 。显然，这个表达式的值是正的，等于 。并且，由于这个乘积的第1个因数是正的，即（4，1）-（4，9）＝ ，那么另一个因式（4，3）-（4，10）也一定是正的。因此，（4，3）就等于平方根前是正号的第1个根，而（4，10）就等于第2个根。由此，我们可以得到和上面相同的数值。
在求出了所有这些均由4项构成的和之后，我们继续来求那些均由2项构成的和。其根是和（2，1），（2，13）［它们包含于（4，1） ］的方程（C ）就是x 2 -（4，1）x ＋（4，3）＝0。它的根是
也即
如果我们取平方根前是正号的那个根为（2，1），就得到它的值是1.864 944 458 8，因而另一个根就是（2，13），它的值是0.184 536 718 9。如果按照条目346中的方法求剩下的由两项构成的和，那么对于（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（2，8），我们可以用上个例子中对于类似的量的相同的关系式，也就是说（2，2）［或（1，15） ］＝（2，1）2 -2…。但是，如果通过解二次方程来成对地求出它们看起来更好，那么对于（2，9），（2，15），我们得到方程
x 2 -（4，9）x ＋（4，10）＝0
它的根是
我们可以按照前面的方式确定使用哪个符号。计算（2，1）-（2，13）与（2，9）-（2，15）的乘积，我们可得-（4，1）＋（4，9）-（4，3）＋（4，10）。由于这个式子是负的，且因式（2，1）-（2，13）是正的，则（2，9）-（2，15）一定是负的。那么，对于（2，15）我们应当使用正号，对于（2，9）我们应当使用负号。由此我们得到（2，9）＝-1.965 946 199 4，（2，15）＝1.478 017 834 4。那么，由于在计算（2，1）-（2，13）与（2，3）-（2，5）的乘积时，我们得到正的量（4，9）-（4，10），所以因式（2，3）-（2，5）一定是正的。通过和前面类似的计算，我们得到
最后，通过完全类似的运算我们可以得到
接下来我们要求Ω 本身的根。根为［1］和［16］的方程（D ）是x 2 -（2，1）x ＋1＝0，它的根是 ，也即 或者 。我们取正号作为［1］，取负号作为［16］。为了得到剩下的14个根，我们可以通过计算［1］的方幂，也可以通过计算7个二次方程来得到：解每个方程将会得到2个根，并且根式的符号可以通过和前面同样的方法来确定。那么［4］和［13］就是方程x 2 -（2，13）x ＋1的根，因而它们等于
但是，通过计算［1］-［16］和［4］-［13］的乘积，我们得到（2，5）-（2，3），它是真实的负数。由于［1］-［16］是 ，即虚数i和一个正实数的乘积，［4］-［13］也一定是i与一个正实数的乘积，因为i2 ＝-1。因此，我们就取根号前面是正号的那个数作为［4］，取根号前面是负号的那个数作为［13］。类似地，对于根［8］和［9］，我们得到
由于［1］-［16］和［8］-［9］的乘积是（2，9）-（2，10），它是负数，我们必须取正号作为［8］，取负号作为［9］。那么，如果我们计算剩下的根，就得到以下数值，其中，±取正号时为第1个根，取负号时为第2个根
［1］，［16］…0.932 472 229 4±0.361 241 666 2i
［2］，［15］…0.739 008 917 2±0.673 695 643 6i
［3］，［14］…0.445 738 355 8±0.895 163 291 4i
［4］，［13］…0.092 268 359 5±0.995 734 176 3i
［5］，［12］…-0.273 662 990 1±0.961 825 643 2i
［6］，［11］…-0.602 634 636 4±0.798 018 227 3i
［7］，［10］…-0.850 217 135 7±0.526 432 162 9i
［8］，［9］…-0.982 973 099 7±0.183 749 517 8i
前面的内容足够用来求解方程x n -1＝0，因此也足够用来求出对应于这样的弧长的三角函数，它与圆周长是可公度的。但是，这个课题如此的重要，我们必须补充一些关于它的结论。这些结论可以把这个课题阐释得更加清楚。我们还要补充一些与这个课题有关，或者以它为基础的例子。在这些例子中，我们特意选择那些不依赖于其他研究工具就能解决的问题。这里，我们只把它们作为这个广阔理论的例子 来讨论，之后我们将更加详细地讨论这些理论。
