第11节 关于根的周期的进一步讨论——把Ω 中的根分成两个周期的方程
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我们应当对辅助方程特别关注，通过这些辅助方程，对于n 的任意值，我们可以确定Ω 的整体的和。这些方程与n 的最深奥的性质以一种令人惊奇的方式相联系。这里我们仅限于讨论以下两种情况：第一 ，根是 项的和的二次方程；第二 ，n -1具有因数3，我们讨论根是 项的和的三次方程。
为了简洁，我们用m 表示 ，并且用g 表示模n 的某个原根，则总体Ω 就包含2个周期（m ，1）和（m ，g ）。（m ，1）就包含根［1］，［g 2 ］，［g 4 ］，…，［g n -3 ］；（m ，g ）就包含根［g ］，［g 3 ］，［g 5 ］，…，［g n -2 ］。我们假设数g 2 ，g 4 ，…，g n -3 对于模n 的最小正剩余（不计次序） 是R ，R ′，R ″，…；数g ，g 3 ，g 5 …，g n -2 对于模n 的最小正剩余（不计次序） 是N ，N ′，N ″，…。那么，组成周期（m ，1）的根与［1］，［R ］，［R ′］，［R ″］，…重合，组成周期（m ，g ）的根与［N ］，［N ′］，［N ″］重合。显然，所有的数1，R ，R ′，R ″，…都是数n 的二次剩余 。由于它们都各不相同且小于n ，并且由于它们的个数是 ，因而它们等于n 的全部小于n 的正剩余的个数，那么，这些剩余就与这些数完全重合。所有的数N ，N ′，N ″，…彼此不同，并且它们与数1，R ，R ′，R ″，…也各不相同，所以它们合起来就是数1，2，3，…，n -1。由此推出：数N ，N ′，N ″，…一定与n 的所有小于n 的正的二次非剩余 重合。现在，如果我们假设根是和（m ，1），（m ，g ）的方程是
x 2 -Ax ＋B ＝0
那么就可得到
A ＝（m ，1）＋（m ，g ）＝－1， B ＝（m ，1）×（m ，g ）
根据条目345，（m ，1）和（m ，g ）的乘积就为
因而它就化归为α （m ，0）＋β （m ，1）＋γ （m ，g ）的形式。为了确定系数α ，β ，γ ，我们首先 指出α ＋β ＋γ ＝m （因为W 中和的个数等于m ） 。其次 ，β ＝γ ［这是由条目350推出的，因为乘积（m ，1）×（m ，g ）是（m ，1）与（m ，g ）的对称函数，更大的和（n -1，1）是由（m ，1）与（m ，g ）合成的 ］。再次 ，由于所有的数N ＋1，N ′＋1，N ″＋1，…是严格包含于界限2和n ＋1之内的，要么 在W 中没有和可以化归为（m ，0），因而α ＝0（当n -1不出现在数N ，N ′，N ″，…中时就是这种情况） ；要么 有一个和，设为（m ，n ）可化为（m ，0）（当n -1出现在数N ，N ′，N ″，…中时就是这种情况） ，这时α ＝1。因此，在前一种情况下，我们可得α ＝0， ；在后一种情况下可得α ＝1， 。并且，由于数β 和γ 一定是整数，由此推出，当m 是偶数时，即n 是形如4k ＋1的数时，前一种情况成立，也就是说n -1（或者，同样地，-1） 不是模n 的非剩余；当m 是奇数时，即n 是形如4k ＋3的数时，后一种情况成立，也就是说n -1或-1是模n 的非剩余 [4] 。现在，由于（m ，0）＝m ，（m ，1）＋（m ，g ）＝-1，所以在前一种情况下我们得出的乘积就等于 ；在后一种情况下，这个乘积就等于 。因此，在前一种情况下，方程就是 ，它的根是 ；在后一种情况下，方程就是 ，它的根是 。
令 表示n 的所有小于n 的正的二次剩余， 表示所有这样的非剩余。
那么，不论Ω 中的哪个根取作［1］，对于∑ 与 之差，当n ≡1（mod 4）时就是 ；当n ≡3（mod 4）时就是 。由此推出，如果k 是不能被n 整除的任意整数，那么，对于n ≡1（mod 4），我们就得到
以及
另一方面，对于n ≡3（mod 4），第1个差就等于0，第2个差就等于 。这些定理如此的优美，值得特别注意。我们注意到，当我们为k 取1或者n 的二次剩余时，总是取正号；当k 是n 的二次非剩余时，总是取负号。当我们把这个定理推广到n 是合数的情况时，它还是一样优美，甚至更加优美。但这些问题需要更高层次的研究，我们下次再做讨论。
阿德里安·马里·勒让德
阿德里安·马里·勒让德（1752—1833年），法国数学家，其主要研究领域是分析学（尤其是椭圆积分理论）、数论、初等几何与天体力学，他在统计学、数论、抽象代数与数学分析上都颇有贡献。单就数论而言，他提出了二次互反律、连分数理论和素数分布律等，为后来者开辟了前进道路。图为如今仅存的勒让德肖像。
