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设根是周期（m ，1）中的m 个根的m 次方程是
或者表示为z ＝0。这里a ＝（m ，1），且剩下的系数b ，…，每个的形式都是 都是整数（条目348） 。如果我们用z ′表示z 经过如下代换得到的函数：对于z 中所有的（m ，1），我们用（m ，g ）代入；对于z 中所有的（m ，g ），我们用（m ，g 2 ）代入，也即用（m ，1）代入，那么方程z ′＝0的根就是（m ，g ）的根，且乘积
因此，z 可以化归为R ＋S （m ，1）＋T （m ，g ）的形式，其中R ，S ，T 是x 的整数函数，它们所有的系数也是整数。这样我们就有
并且，为了简洁，我们分别用p 和q 表示（m ，1）和（m ，g ），那么
同理
因此，如果我们令
我们就有4X ＝Y 2 -（p -q ）2 Z 2 ，并且，由于（p -q ）2 ＝±n ，可得
当n 是形如4k ＋1的数时取负号，当n 是形如4k ＋3的数时取正号。这就是我们在条目124中承诺要证明的定理。不难发现，在函数Y 中次数最高的两项总是2x m ＋x m -1 ，并且在函数Z 中次数最高的项总是x m -1 。剩下的所有系数都是整数，它们因为数n 的性质不同而不同，无法给出一个一般性的解析表达式。
例：对于n ＝17，根据条目348的法则，其根包含于（8，1）中的8个根的方程就是
因此
以及
下面是一些其他的例子：
