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我们现在继续讨论三次方程，当n 是形如3k ＋1的数时，利用它可以确定3个均由 项组成的和，这些项合起来构成Ω 。设g 是对于模的任意原根，且 是一个偶数。那么，构成Ω 的3个和就是（m ，1），（m ，g ），（m ，g 2 ），我们分别用p ，p ′，p ″表示。显然，第1个和包含根［1］，［g 3 ］，［g 6 ］，…，［g n -4 ］，第2个和包含根［g ］，［g 4 ］，…［g n -3 ］，以及第3个和包含根［g 2 ］，［g 5 ］，…，［g n -2 ］。我们假设要求的方程是
我们就得到
以及A ＝-1。设数g 3 ，g 6 ，…，g n -4 对于模n 的最小正剩余分别是 ，…，不计次序，并且设 是这些剩余和数1的总体。类似地，设 ，…是数g ，g 2 ，g 5 ，g 8 ，…，g n -2 对于模n 的最小正剩余， 是它们的总体；最后，设 ，…是数g 2 ，g 5 ，g 8 ，…，g n -2 对于模n 的最小正剩余， 是它们的总体。那么， 中所有的数就是各不相同的，且它们的总体与1，2，3，…，n -1重合。首先，我们这里必须指出，数n -1一定在 中，因为，不难发现，它是 的剩余。由此还可以推出，两个数h ，n -h 一定可以在 其中的某一个总体中找到。这是因为，如果一个数是数g λ 的剩余，那么另一个数就是 或者 （如果 ）的剩余。我们用 表示序列1，2，3，…，n -1中这样的数的个数：它们自身属于 ，并且加上1之后也属于 ；用 表示同一个序列中这样的数的个数：它们本身属于 ，但是加上1之后就属于 。那么，符号 ， ， 的含义就显而易见了。首先 ，我要指出的是， 。这是因为，假设h ，h ′，h ″，…是序列1，2，3，…，n -1中属于 的数，h ＋1，h ′＋1，h ″＋1，…是属于 的数，那么，根据定义，它们的个数是 。显然，所有的数n -h -1，n -h ′-1，n -h ″-1，…都属于 ，而比它们各大1的数n -h ，n -h ′，…都属于 ；并且，由于总共有 个这样的数，所以，一定不存在 。同理，我们能证明不可能存在 。那么，这两个数一定是相等的。以完全相同的方式，我们可以证明 。其次 ，由于除了最大的数n -1外， 中的任意数加1后，要么属于 ，要么属于 ，要么属于 ，所以 一定等于 中所有数的个数减1，也就是等于m -1。由于类似的原因，可得出
做好这些准备后，根据条目345的规则，我们把乘积pp ′扩展为（m ， 。这个表达式可以被轻松地简化为 。根据条目345.1，通过分别用量（m ，g ），（m ，g 2 ），（m ，g 3 ）代替（m ，1），（m ，g ），（m ，g 2 ），也就是用量p ′，p ″，p 分别代替p ，p ′，p ″，我们可以由此得到乘积p ′p ″。那么我们就有p ′p ″＝ 。类似地，p ″p ＝ 。由此，我们立即得到
同样，我们还可以把pp ″简化为 。由于这个表达式一定同前面的表达式相同，所以一定有 以及 。现在，如果我们令
我们就可以得到m -1＝ ＋b ＋c 。并且，由于a ＋b ＋c ＝m ， ＝a -1，9个未知数就简化为3个，即a ，b ，c ；又由于a ＋b ＋c ＝m ，未知数也可以简化为2个。最后，平方数p 2 就变成了（m ，1＋1）＋（m ， ＋1）＋（m ， ＋1）＋（m ， ＋1）＋…。在这个表达式的项中有（m ，n ），它可以简化为（m ，0）或者m ，剩下的项简化为 ，那么我们就有p 2 ＝m ＋（a -1）p ＋bp ′＋cp ″。
由此，我们得到以下化简式
以及条件方程
并且，我们还知道这些数都是整数。因此，我们有
但是，由于pp ′p ″是p ，p ′，p ″的对称函数，所以，在前面的表达式中它们所乘的系数一定是相等的（条目350） ，那么我们得到新的等式
由此，我们得到C ＝am ＋（ab ＋bc ＋ac ）（p ＋p ′＋p ″），或者［由（Ⅰ）以及p ＋p ′＋p ″＝-1 ］得到
现在，即使C 取决于3个变数，我们也只有2个关系式。但是，因为条件a ，b ，c 都是整数，它们就完全足够决定C 了。为了证明这一点，我们把等式（Ⅱ）变为
由等式（Ⅰ），左侧就可化为12m ＋4＝4n ，右侧就可化为（6a -3b -3c -2）2 ＋27（b -c ）2 。
或者，如果我们用k 表示2a -b -c ，右侧就化为（3k -2）2 ＋27（b -c ）2 。那么，数4n （任意形如3m ＋1的质数的4倍） 就可以用x 2 ＋27y 2 的形式表示。当然，这一点我们也可以通过二元型的一般理论毫不费力地推导出来。但不同寻常的是，这样的分解和a ，b ，c 的值有关系。那么，数4n 总是能以唯一的方式被分解成一个平方数和另一个平方数的27倍之和。我们按照如下的方式来证明 [5] 。假设
我们得到式一
式二
式三
由第3个等式可以推出，由于n 是质数，它能整除数tu ′＋t ′u 或tu ′-t ′u ；然而，由第1个和第2个等式可知，这些数都小于n ，所以n 整除的这个数一定等于0。因此u ′u ′-u 2 ＝0，所以u ′u ′＝u 2 以及t ′t ′＝t 2 ；即，这两个分解是相同的。现在，假设4n 分解成一个平方数和一个平方数的27倍是已知的（可以通过第5章中的直接法，或者通过条目323，324中的间接法证明） ，那么，我们就得到4n ＝M 2 ＋27N 2 ，平方数（3k -2）2 和（b -c ）2 就可以确定，并且我们就得到2个等式来代替等式（Ⅱ）。显然，不仅平方数（3k -2）2 可确定，它的根3k -2也可确定。因为它要么等于＋M ，要么等于-M ，符号的不确定性可以轻松地处理。由于k 一定是整数，所以对应于M 是3z ＋1或者3z ＋2的形式 [6] ，就有3k -2＝＋M 或者3k -2＝-M 。现在，由于k ＝2a -b -c ＝3a -m ，我们就得到 ， ，因而
这样我们就求出了方程所有的系数。第1部分完成。如果我们用由等式（3k -2）2 ＋27N 2 ＝4n ＝12m ＋4得到的N 2 的值代入上式，经过计算，我们得到
这个值还可以化归为（3k -2）N 2 ＋k 3 -2k 2 ＋k -km ＋m 。尽管这个表达式不是太有用，但它立即指出C 是一个整数，正如它本就应当是整数。
例：对于n ＝19，我们得到4n ＝49＋27，所以3k -2＝＋7，k ＝3，C ＝ ，我们要求的方程就是x 3 ＋x 2 -6x -7＝0，这和我们前面得到的一样（条目351） 。类似地，对应于n 取值分别为7，13，31，37，43，61和67，k 的值分别是1，-1，2，-3，-2，1和-1，C 的值分别是1，-1，8，-11，-8，9和-5。
尽管我们在本条目中解决的问题非常复杂，但我们不想省去对这个问题的讨论，因为这个问题的解非常优美，而且这个问题提供了机会让我们使用各种技巧，这些技巧在其他研究中也应用广泛。
