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前面的讨论与辅助方程的发现 有关。现在，我们来解释关于它们的解 的一个不同寻常的性质。人人都知道，最杰出的数学家在寻找高于四次方程的通解上，或者（更加精确地定义这项研究） 说在把复杂方程简化为最简方程 上，至今未取得成功。毋庸置疑的是，这个问题超越了当代分析学的能力范围。尽管如此，对于无数的任意次的复杂方程，一定存在最简方程。我们相信，如果能证明辅助方程总是属于这一类，那么数学家将会感到高兴。但是，因为这个讨论比较冗长，我们这里只给出最重要的原理以证明化简是可能的；我们把这个课题值得讨论的完整内容留到下一次进行。我们首先给出关于方程x e -1的一般结论，它也包括了e 是合数的情况。
1．这些根（由基本教科书知道） 是由 给出的，其中我们取e 个数0，1，2，3，…，e -1，或者取对于模e 同余于这些数的任意其他的数作为k 。对应于k ＝0或者任意能够被e 整除的k ，这个根就等于1；对于k 的其他值，存在一个不同于1的根。
2．由于 ，如果R 是这样的一个根——它对应的k 的值与e 互质，那么，在序列R ，R 2 ，R 3 ，…中，第e 项等于1并且所有前面的项的值都不等于1。由此，我们可以立即推出，所有e 个数1，R ，R 2 ，R 3 ，…，R e -1 都是不相等的数，并且，由于它们都满足方程x e -1＝0，所以它们给出了这个方程的全部的根。
3．在同样的假设下，对于不能被e 整除的整数λ 的任意值
因为，它就等于 ，这个分数的分子等于0而分母不等于0。如果λ 能够被e 整除，那么显然，这个和就等于e 。
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设n 像之前一样是质数，g 对于模n 是原根，n -1是3个正整数α ，β ，γ 的乘积。为了简洁，我们把α ＝1或者γ ＝1的情况包括在内。当γ ＝1时，我们就用根［1］，［g ］，…代替和（γ ，1），（γ ，g ），…。因此，假设所有α 个βγ 项的和（βγ ，1），（βγ ，g ），（βγ ，g 2 ），…（βγ ，g α -1 ）是已知的，我们想要求γ 项的和。我们已经把上面的运算简化为一个β 次的复杂方程。现在，我们要指出如何通过一个同样次数的最简方程解这个复杂方程。为了简洁，我们分别用a ，b ，c ，…，m 表示包含于（βγ ，1）中的和（γ ，1），（γ ，g α ），（γ ，g 2α ），…，（γ ，g αβ -α ）；用a ′，b ′…，m ′表示包含于（βγ ，g ）中的和（γ ，g ），（γ ，g α ＋1 ），…，（γ ，g αβ -α ＋1 ）；用a ″，b ″…，m ″表示（γ ，g 2 ），（γ ，g α ＋2 ），…（γ ，g αβ - α ＋2）；直到包含于（βγ ，g a -1 ）的那些和也用同样的方式表示。
1．设R 是方程x β -1＝0的任意根，并且，根据条目345的法则，我们假设函数t ＝a ＋Rb ＋R 2 c ＋…＋R β -1 m 的β 次幂是
其中，所有的系数N ，A ，B ，A ′，…都是R 的有理函数。我们还假设另外两个函数
的β 次幂分别是U 和U ′，不难发现，由于u ′是用b ，c ，d ，…，a 分别代替a ，b ，c ，…，m 得到的，根据条目350，我们得到
由于u ＝Ru ′，我们就有U ＝R β U ′。并且，由于R β ＝1，所以U 和U ′中对应的系数相等。最后，由于t 和u 的区别仅在于，在t 中a 被乘以1，而在u 中a 被乘以R β ；那么，T 和U 中所有对应的系数（那些乘以同样的和的系数） 就是相等的，因而T 和U ′对应的系数就是相等的。因此，A ＝B ＝C ＝…＝M ；A ′＝B ′＝C ′＝…；A ″＝B ″＝C ″＝…；…。所以，T 可以化归为以下的形式
这里的系数N ，A ，A ′，…的形式是
p ，p ′，p ″，…是给定的整数。
2．如果我们取x β -1＝0（我们假设已经得到了它的解） 的某个确定的根作为R ，并且，它的任何低于β 次的幂都不等于1，那么，T 就是一个确定的量，并且由它我们可以通过解方程t β -T ＝0得到t 。由于这个方程有β 个根，它们是t ，Rt ，R 2 t ，…，R β -1 t ，所以关于应当选择哪个根还存在问题。但是，这是任意的。我们一定要记住，在确定了所有βγ 项的和之后，根［1］是这样定义的，即包含于（βγ ，1）中的βγ 个根其中的一个由这个符号表示，所以，构成（βγ ，1）的β 个根中哪一个用a 表示完全是任意的。如果这些和中的一个用a 表示后，我们假设 ，不难发现，我们现在用b 表示的那个和可以改成a ，那么之前的c ，d ，…，a ，b 现在变成了b ，c ，…，m ，a ，并且 。类似地，如果我们现在决定令a 等于一开始是c 的那个和，t 的值就变为 ，以此类推。那么，t 可以认为等于 ，…其中的任意一个，即等于方程x β -1＝0中的任意根，对应于我们令（γ ，1）表示（βγ ，1）中的某个和。证明完毕。
3．在以这样的方法确定数的值之后，我们必须确定其他的β -1个值，依次用R 2 ，R 3 ，R 4 ，…，R β 代替t 中的R 就可以得到它们
我们已经得到了最后一个式子，a ＋b ＋c …＋m ＝（βγ ，1）。其他的式子可以通过以下的方式求得。我们用条目345中的方法求乘积t β -2 t ′，正如我们在前面求得t β 一样。那么，我们用和前面一样的方法来证明，由此我们得到这样的形式
这里 ，…是R 的有理函数。因而T ′是已知量，且 。以完全相同的方式，我们通过计算乘积t β -3 t ″求出T ″。这个表达式就有类似的形式，并且由于它的值是已知的，我们可以导出 。同理，t 可以通过方程 得到，这里T 同样是一个已知的数，等等。
如果t ＝0，这种方法就不适用了，因为这时T ＝T ′＝T ″＝…＝0。但是，我们可以证明这是不可能的，但这个证明过于冗长，我们这里必须省去。还有一些把分数， ，…变成R 的有理整 函数的特殊技巧，以及在α ＝1的情况下求t ′，t ″，…的值的简单方法，我们这里就不讨论了。
4．最后，一旦我们通过条目359.3中的结论求得t ，t ′，t ″，…，就立即得到t ＋t ′＋t ″＋…＝βa 。这样就得到了a 的值，根据条目346，由此我们可以推导出所有剩下的γ 项的和的值。稍加研究就可以发现，b ，c ，d ，…还可以通过以下的方程求出
关于在前面的讨论中所提到的诸多结论，我们只强调这一条：关于最简方程x β -T ＝0的解，显然，在很多情况下T 有虚值P ＋iQ ，所以这个解一部分基于一个角（它的正切值等于 ）等分为β 份，一部分基于一个比值 的β 次根。并且，不同寻常的是（我们这里不讨论这个主题） ， 的值总是可以由已知的数有理地 表示。因此，除了求平方根之外，解这个方程唯一 需要做的就是等分某个角，例如，对于β ＝3，只要三等分某个角即可。
最后，由于没有什么限制，我们取a ＝1，γ ＝1，因而β ＝n -1。很明显，解方程x n -1＝0可以立即化归为解n -1次的最简方程x n -1 -T ＝0。这里，T 是由方程x n -1 -1＝0的根决定的。因此，把整个圆周划分为n 等份需要：第一 ，将圆周划分为n -1等份；第二 ，把某段弧分成n -1等份，而这段弧在第一个等分实现后就可以构造出来；第三 ，求出一个平方根，可以证明这个平方根总是 。
