第15节 以上研究在三角函数中的应用——求对应于Ω 中每个根的角的方法
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我们还要更加仔细地研究Ω 中的根与角 的三角函数之间的关系。我们用来求Ω 中的根的方法（除非我们查正弦表，但这样就是间接法） 还不能让我们知道哪一个 根对应于所给的角，即哪一个根等于 ，哪一个根等于 ，等等。但是，只要我们想到角 的余弦是不断递减的（如果注意到正负号） ，并且这些正弦都是正的，那么我们可以轻松地解决这种不确定性。另一方面，角 和前面的这组角的余弦分别相等，但是第2组角的正弦都是负的，尽管它们和第1组角的正弦的绝对值分别相等。因此，在Ω 的根中有最大实部（它们彼此相等） 的两个根所对应的角是 。前者的系数对应于虚量i乘以一个正值的那个根，而第2个角对应于虚量i乘以一个负值的那个根。在剩下的n -3个根中，有最大实部的根对应于角 ，等等。一旦知道角 对应的那个根，对应于其他的角的根就可以由这个根确定。假设这个根为［λ ］，根［2λ ］，［3λ ］，［4λ ］，…就对应于角 ，…。那么，在条目353的例子中，我们发现对应于角 的根一定是［11］，而［8］对应于角 。类似地，根［3］，［16］，［14］，［5］，…就对应于角 ，…。在条目354的例子中，根［1］就对应于角 ，［2］对应于角 ，…。通过这样的方法，角 ，…的余弦和正弦就完全确定了。
第16节 以上研究在三角函数中的应用——不用除法从正弦和余弦导出正切、余切、正割以及余割
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这些角的剩下的三角函数，当然可以通过众所周知的方法从对应的正弦和余弦推导出来。因此，正割和正切可以分别由1和正弦被余弦去除来求得；余割和余切可以分别由1和余弦被正弦去除来求得。但是，往往下面的公式更好用，我们可以只用加法而不用除法来得到这些量。设ω 是角 中的任意一个角，并且令cos ω ＋i sin ω ＝R ，所以R 是Ω 中的一个根，那么
由此得到
现在，我们来演示这4个分数的分子变形，使它们能够被分母整除。
1．由于R ＝R n ＋1 ＝R 2n ＋1 ，我们得到2R ＝R ＋R 2n ＋1 。因为n 是奇数，这个表达式可以被1＋R 2 整除。我们得到
［由于sin ω ＝-sin（2n -1）ω ，sin 3ω ＝-sin（2n -1）3ω ，…，我们得到sin ω -sin 3ω ＋sin 5ω -…＋sin（2n -1）ω ＝0］因而
最后［由于cos ω ＝cos（2n -1）ω ，cos 3ω ＝cos（2n -3）ω …］得到
对应于n 是4k ＋1或者4k ＋3的形式，分别取上面或者下面的符号。显然，这个公式还可以表示为
2．同理，用1-R 2n ＋2替换1-R 2，我们得到
也即（由于1-R 2n ＝0，R 2 -R 2n -2 ＝2i sin 2ω ，R 4 -R 2n -4 ＝2i sin 4ω …）
3．由于1＋R 2 ＋R 4 ＋…＋R 2n -2 ＝0，我们得到
它的每个项都可以被1-R 2 整除，所以
上式两边乘以2，然后减去
两边再乘以R ，我们得到
由此我们立即得到
这个公式可以表示为
4．如果在上面给出的值 上乘以1＋R 2 ，然后减去
我们就得到
由此立即可以推出
并且，这个公式也可以表示成
