第17节 以上研究在三角函数中的应用——对三角函数逐次降低次数的方法
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当n -1＝ef 时，一旦我们知道所有由f 项构成的e 个和的值，函数X 就可以分解成e 个f 次因式的乘积（条目348） 。同理，如果我们假设Z ＝0是一个n -1次方程，它的根是角 的正弦或者任意其他三角函数，那么函数Z 可以用下面的方式分解为e 个f 次因式的乘积。
设Ω 是由e 个均有f 项的周期构成，（f ，1）＝P ，P ′，P ″，…，并且设周期P 由根［1］，［a ］，［b ］，［c ］，…构成；设P ′由根［a ′］，［b ′］，［c ′］，…构成；设P ″由根［a ″］，［b ″］，［c ″］，…构成；等等。设角ω 对应于角［1］，那么角aω ，bω ，…就对应于根［a ］，［b ］，…；角a ′ω ，b ′ω ，…就对应于根［a ′］，［b ′］，…；角a ″ω ，b ″ω ，…就对应于根［a ″］，［b ″］，…。不难发现，所有这些角作为整体在一起，关于三角函数 [7] ，就与角 相同。现在，如果我们把所讨论的函数表示为角的前面加上字符φ ，并且设Y 是e 个因式x -φω ，x -φaω ，x -φbω ，…的乘积，且Y ′是因式x -φa ′ω ，x -φb ′ω ，…的乘积，Y ″是x -φa ″ω ，x -φb ″ω ，…的乘积，那么，一定有乘积YY ′Y ″…＝Z 。现在我们还要证明，函数YY ′Y ″…中所有的系数都可以化归为下面的形式
A ＋B （f ，1）＋C （f ，g ）＋D （f ，g 2 ）＋…＋L （f ，g e -1 ）
这样一来，一旦我们知道所有f 项的和的值，显然，我们就知道了所有这些系数的值。我们用以下的方法来证明。
如果cos ω ＝（［1］/2）＋（［1］ n -1 /2），sin ω ＝-（i［1］/2）＋（i［1］ n -1 /2），那么，由上个条目可知，剩下的角ω 的三角函数可以化归为 的形式；且不难发现，角kω 的函数就变成 ，这里k 是任意整数。现在，Y 中的每个系数都是φω ，φaω ，φbω ，…的对称有理函数，所以，如果我们对这些量以它们的值代入，每个系数就变成［1］，［a ］，［b ］，…的对称有理函数。因此，根据条目347，它们就被简化为A ＋B （f ，1）＋C （f ，g ）＋…的形式；Y ′，Y ″，…中的系数也可以简化为类似的形式。证明完毕。
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关于上个条目的问题我们补充几条结论。
1．Y ′中的每个系数是包含于周期p ′中的根的函数［我们令它等于（f ，a ′） ］，正如P 中的根的函数给出了所有对应的Y 中的系数。因此，由条目347可知，我们可以这样由Y 导出Y ′：用（f ，a ′），（f ，a ′g ），（f ，a ′g 2 ），…分别代替Y 中所有的（f ，1），（f ，g ），（f ，g 2 ），…。同理，Y ″可以这样从Y 中推导出来：用（f ，a ″），（f ，a ″g ），（f ，a ″g 2 ），…分别代替Y 中所有的（f ，1），（f ，g ），（f ，g 2 ），…。因此，一旦我们得到了函数Y ，就可以轻松推导出剩下的函数Y ′，Y ″，…。
2．假设
Y ＝x f -αx f -1 ＋βx f -2 -…
那么，系数α 等于方程Y ＝0的根的和，即量φω ，φaω ，φbω ，…的和，β 等于它们两两的乘积之和，…。不过，通过与条目349类似的方法，我们可以更加轻松地求得这些系数，也就是通过计算根φω ，φaω ，φbω ，…的和，它们的平方和，它们的立方和，…，并且由牛顿定理推导出我们要求的系数。当φ 表示正切、正割、余切、余割时，我们还有其他的方法简化计算过程，但这里就不讨论了。
3．f 是偶数的情况值得我们特别讨论，因为，这时每个周期P ，P ′，P ″，…都是 个由2项组成的周期所组成的。设P 包含周期（2，1），（2，a ），（2，b ），（2，c ），…；那么数1， ，…和数n -1， ，…合在一起，就与数1，a ，b ，c ，…重合，或者至少（实际上是一样的） 对于模n 与它们同余。而且，φ （n -1）ω ＝±φω ，φ （n ，…，当φ 表示余弦或者正割时，取正号，当φ 表示正弦、正切、余切或者余割时，取负号。由此推出，在前两种情况中，构成Y 的因式是两两相等的，因而Y 是一个平方，即Y ＝y 2 ，假设y 等于x -φω ， ，…的乘积。在同样的情况下，其他的函数Y ′，Y ″，…也是平方。假设P ′包含 ，…；P ″包含 ，…；等等。并且，设因式 ，…的乘积等于y ′，因式 ，…的乘积等于y ″；…。那么，Y ′＝y ′y ′，Y ″＝y ″y ″，且函数Z 也是一个平方 （参考条目337） ，而它的平方根是y ，y ′，y ″，…的乘积。显然，像我们在情况1中所说的Y ′，Y ″，…可以由Y 推导出一样，y ′，y ″，…也可以由y 推导出来。进而，y 中的每个系数可以化归为下面的形式
A ＋B （f ，1）＋C （f ，g ）＋…
这是因为方程y ＝0的根的各次幂的和等于方程Y ＝0的根的相同次幂的和的一半。但是，在后四种情况下，Y 就是以下因式的乘积
因而它属于这样的形式
显然，系数λ ，μ ，…可以由根 ，…的平方和，四次方和，…推出。对于函数Y ′，Y ″，…也有同样的结论。
例1：令n ＝17，f ＝8，并且令φ 表示余弦，那么，我们就得到
因而 就分解成2个四次因数y ，y ′。周期P ＝（8，1）就包含（2，1），（2，9），（2，13），（2，15），所以y 就是因式
的乘积。用 代替φkw ，我们得到
类似地，三次方的和等于 ，四次方的和等于 。那么，根据牛顿定理，y 中的系数就是
由y 中（8，1）和（8，3）的互换可以推导出y ′。因此，如果我们用 替换（8，1），（8，3），我们可得到
类似地， 可以分解成4个二次因式。第1个因式是（x -φω ）（x -φ 13ω ），第2个因式是（x -9ω ）（x -φ 15ω ），第3个因式是（x -φ 3ω ）（x -φ 15ω ），第4个因式是（x -φ 10ω ）（x -φ 11ω ），且这些因式的所有系数可以用4个和（4，1），（4，9），（4，3），（4，10）来表示。显然，第1个因式和第2个因式的乘积就是y ，第3个因式和第4个因式的乘积就是y ′。
例2：假设φ 表示正弦，其他条件都不变，使得
分解成2个八次因式的乘积，分别用y ，y ′表示它们。那么，y 就是4个二次因式
的乘积。现在，由于
我们得到
那么，根φω ，φ 9ω ，φ 13ω ，φ 15ω 的平方的和就是 （8，1）；它们的四次方和的值等于 （8，1）；它们的六次方的和等于 ；它们的八次方的和等于 。由此我们可得
在y 中把（8，1），（8，3）互换就得到y ′，因此，代入这些和的值，我们得到
那么，Z 就可以分解成4个因式，它们的系数可以由4项构成的和表示；其中2个因式的乘积等于y ，另外2个因式的乘积等于y ′。
第18节 以上研究在三角函数中的应用——通过解二次方程或者尺规作图能够实现的圆周的等分
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通过前面的讨论，我们已经把将圆周等分为n 份的问题（如果n 是质数） 化归为解如下方程：它们的个数n -1就等于数的因数，方程的次数是由因数的值决定的。因此，当n -1是数2的方幂时，即n 的值是3，5，17，257，65 537，…时就属于这种情况，圆的划分就可被简化为求解二次方程，且关于角 ，…的三角函数就可以通过不同复杂程度的（复杂程度取决于n 的大小） 二次根式来表示。那么，在这些情况下，圆周分成n 等份或者作正n 边形就可以通过尺规作图来实现。
例如，对于n ＝17，根据条目354，361，我们得到角 的余弦表达式为
这个角的倍数的余弦有类似的形式，但是正弦就要多一层根号。尽管在欧几里得的时代，人们就已经知道可以用尺规作图把圆分成3等份和5等份，但是之后两千年来再也没有新的发现，这的确令人感到惊讶。所有的数学家都声称，除了这些等分，以及直接可以由它们推导出的等分（也就是将圆划分成15，3×2 μ ，5×2 μ 以及2 μ 等份） 之外，没有其他的等分能够通过尺规作图实现。
不难证明，如果质数n ＝2 m ＋1，那么指数m 除了2之外不可能有其他质因数，因而它等于1或者2，或者2的更高次幂。假设m 能够被任何奇数ζ （大于1） 整除，使得m ＝ζη ，那么2 m ＋1一定能够被2 η ＋1整除，因而它一定是合数。因此，n 的所有的能够化归为二次方程的值都属于 的形式。因此，如果取v ＝0，1，2，3，4，即m ＝1，2，4，8，16，就得到n 的5个值：3，5，17，257，65 537。但是，并不是对于属于这个形式的所有的数，都能通过尺规作图实现对圆的等分，而是仅适用于其中的质数。费马受到他的归纳法的误导，断言所有属于这种形式的数都是质数；但是，杰出的欧拉第一个发现对于v ＝5，即m ＝32，这个法则是错误的，因为232 ＋1＝4 294 967 297包含因数641。
当n -1包含2之外的质因数时，就一定会出现更高次数的方程，即：如果3在n -1的质因数中出现一次或者若干次，就会出现1个或者更多个三次方程，如果n -1能够被5整除，就会出现五次方程，等等。我们可以严格证明这些高次方程是不可能以任何方式避免的，也不可能化归为低次方程。 尽管篇幅受限，这里不给出这个证明，但我们提出这样的忠告，以免有人试图用尺规作图将圆等分成我们的理论中认为不可能的那些份数（例如，7，11，13，19，等等） ，这只会浪费他们的时间。
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如果要把圆周等分成a α 份，这里a 是质数，那么，当a ＝2时，这显然可以用几何方法完成。但是如果α ＞1，那么对于a 的任何其他值来说，这件事都不能用几何方法来完成，因此，除了要解对应于把圆周分成a 份的方程之外，还要解其他α -1个a 次方程——这是不可避免的，而且这些方程也不能简化。因此，一般地，方程的次数可以由数（a -1）a α -1 的质因数来得知（也包括α ＝1的情况） 。
最后，如果要把圆周等分成N 份，N ＝a α b β c γ …，这里a ，b ，c ，…是不相等的质数，那么，只要能实现把圆周等分成a α ，b β ，c γ ，…份就能做到（条目336） 。因此，为了知道所需的方程的次数，我们一定要考虑数（a -1）a α -1 ，（b -1）b β -1 ，（c -1）c γ -1 ，…的质因数，也即考虑它们的乘积的质因数。我们指出，这个乘积显示出与N 互质且小于N 的数的个数（条目38） ，因此，只有当这个数是2的方幂时，才能够用几何方法实现等分。但是，如果因数包含除了2之外的质数，比如说p ，p ′，…，那么解次数为p ，p ′，…的方程就是不可避免的。因此，一般地，为了能够用几何方法把圆等分成N 份，N 要么是2或者2的更高次幂，要么是形如2 m ＋1的质数，要么是这种形式的几个质数的乘积，要么是一个或者几个这种不同的质数的乘积再乘以2或2的更高次幂。简而言之，N 既不能包含非形如2 m ＋1的奇质数，也不能包含超过一个的形如2 m ＋1的质因数。下面是N 小于300的38个值
2，3，4，5，6，8，10，12，15，16，17，20，24，30，32，34，40，48，51，60，64，68，80，85，96，102，120，128，136，160，170，192，204，240，255，256，257，272
[1] 下面我们也把这个和称作周期的数值，在不会发生歧义的情况下，简称周期。
[2] 对称函数是指，它的所有的未知数都以相同的方式出现，或者更清楚地说，不论未知数怎样排列，函数都不变。例如，未知数的和，它们的积，它们成对的乘积之和，等等。
[3] 这个技巧的真正基础是，我们能够预知这个乘积不是包含4项的和，而是包含8项的和。训练有素的数学家能轻松地明白这里的原因，为简洁起见，我们这里将其省略。
[4] 以这样的方式，我们就给出了以下定理的新证明：-1是所有形如4k ＋1的质数的剩余，以及所有形如4k ＋3的质数的非剩余（条目108，109，262）。我们已经用各种方法证明了这个定理。如果这个定理成立，那么就无须区分这两种情况，因为β 和γ 已经是整数。
