[6] 显然，M 不可能是3z 的形式，否则，4n 就能够被3整除。关于b -c 必须等于N 还是必须等于-N 的问题，这里没有必要讨论，且由这个问题的本质可知，这个问题是不能被确定的，因为它取决于对原根g 的选择。对于某些原根，b -c 是正的；对于另外一些原根，b -c 是负的。
[7] 如果两个角的差等于周角，或者是周角的整数倍，那么我们就说这两个角相同。如果我们想在更广的意义上使用术语“同余”，那么可以说这两个角对于周角同余。
附注
条目28
不定方程ax ＝by ±1的解最早并不是由杰出的欧拉给出的（如同本节中所说过的那样） ，而是由17世纪的数学家巴歇德梅齐里亚克给出，他是丢番图著作的著名编辑和评论家。杰出的拉格朗日将这份荣誉归功于欧拉（见欧拉的Algèbre第525页，他还同时指出了这个方法的本质 [1] ） 。巴歇在他的著作Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres 的第2版（1624） 中发表了他的发现。该书在第1版（Lyon ，1612） 中没有收录这个发现，仅仅是有提到，我只见到过这个版本。
条目151，296，297
著名的勒让德在他的杰出的著作Essai d'une théorie des nombres （第214页及其后） 中再一次给出了他的证明，但这个证明和之前的证明没有什么区别。所以，我们在条目297中提出的反对意见对这个方法依然有效。诚然，相对于原先的那个定理（前一个假设是以这个定理为基础） ，即“如果k 和l 没有公约数，那么任意数列l ，l ＋k ，l ＋2k ，…包含质数”，这一次他叙述得更加充分（见第12页及其后） ，但似乎表述得不够严密。即使这个定理得到了充分证明，还有另一个假定未证（即存在形如4n ＋3的质数，使得给定的正的形如4n ＋1的质数是它的二次非剩余） 。而且，我怀疑如果不先假定基本定理成立，那么就无法严格 证明这后一个假定。但必须说明的是，勒让德没有默认这后一个假定是成立的，也没有试图隐藏这个事实（第221页） 。
条目288—293
这里的问题是作为三元型理论的特殊应用提出的，且这个问题就它的严格性和普遍性而言堪称登峰造极，似乎不能再对它有所要求了。著名的勒让德在他的作品的第3部分（第321页到第400页 [2] ） 中对其做了更加充分的讨论。他使用的原理和方法与我们的大相径庭，但他的方法使得他遇到很多困难，无法为这些著名的定理提供严格的证明。他诚恳地指出了这些困难。但是，如果我没有错，这些定理就可以通过刚刚提到的定理（开头是“在任意数学级数中”的那个） 更加容易地证明（第371页的脚注） 。
条目306.8
在第3组1000个负行列式中，有37个是非正则的；其中18个非正则指数是2，另外19个非正则指数是3。
条目306.10
我们最近成功地充分证明了这里提出的问题。我们很快会在本书的续本中发表该讨论。它完美地诠释了高等算术和分析数学中的很多内容。这个解法证明了条目304中的系数m ＝γπ ＝2.345 884 761 6，其中γ 是和条目302中的同一个量，π 是半径为1的圆的周长的一半。
[1] 见该书第11页注释。
[2] 想必读者已经无须我们提醒，不会将我们所说的三元型与勒让德所说的“forme ternaire d'un nombre ”相混淆，后者是指将一个数表示为三个平方数之和。
附表
表1（条目58，91）
表2（条目99）
表3（条目316）
3 （0）..3；（0）..6；
7 （0）..142857
9 （0）..1；（1）..2；（2）..4；（3）..8；（4）..7；（5）..5.
11 （0）..09；（1）..18；（2）..36；（3）..72；（4）..45.
13 （0）..076923；（1）..461538.
17 （0）..0588235294 117647.
19 （0）..0526315789 47368421.
23 （0）..0434782608 06956521739 13.
27 （0）..037；（1）..074；（2）..148；（3）..296；（4）..592；（5）..185
29 （0）..0344827586 2068965517 24137931.
31 （0）..032280645 16129；（1）..5483870967 74193.
37 （0）..027；（1）..135；（2）..675；（3）..378；（4）..891；（5）..459；（6）..297；（7）..486；（8）..432；（9）..162；（10）..810；（11）..054；
41 （0）..02439；（1）..14634；（2）..87804；（3）..26829；（4）..60975；（5）..65853（6）..95121；（7）..70731；
43 （0）..0232558139 5348837209；（1）..6511627906 9767441860 4.
47 （0）..0212765957 4468085106 3829787234 0425531914 893617.
49 （0）..0204081632 6530612244 8979591836 7346938775 51.
53 （0）..0188679245 283；（1）..4905660377 358；（2）..7547169811 320；（3）..6226415094 399；
59 （0）..0169491525 4237288135 5932203389 8305084745 7627118644 06779661
61 （0）..0163934426 2295081967 2131147540 9836065573 7704918032 7868852459
67 （0）..0149253731 3432835820 895522388 597；（1）..17910044776 1194029850 7462686567 164.
71 （0）..0140845070 4225352112 6760563380 28169；
（1）..8732394366 1971830985 9154929577 46478.
73 （0）..01369863；（1）..06849315；（2）..34246575；（3）..71232876；（4）..56164383；（5）..80821917；（6）..04109589；（7）..20547945；（8）..02739726；
79 （0）..0126582278 481；（1）..3670886075 949；（2）..6555696020 631；（3）..7215189873 417；（4）..9240506329 113；（5）..7974683544 303；
81 （0）..012345679；（1）..135802469；（2）..493827160；（3）..432098765；（4）..753086419；（5）..283950617；
83 （0）..0120481927 7108433734 9397590361 4457831325 3；
（1）..6024096385 5421686746 9879518072 2891566265 0
89 （0）..0112359550 5617977528 0898876404 4943820224 7191；
（1）..3370786516 8539325842 6966292134 8314606741 5730；
97 （0）..0103092783 5051546391 7525773195 87628865979 381443298 9690721649 4845360824 7422680412 3711340206 185567；
