32
从上面的结论，解决问题“对于给定的模，求与给定剩余所同余的数的方法” 是很容易的，在下面的讨论中也会很有用。指定模A ，B ，我们求数z ，对于模A ，B 分别与数a ，b 同余。所有z 的值都形如Ax ＋a ，x 是未知数，而且要满足Ax ＋a ≡b （mod B ）。现在如果数A ，B 的最大公约数是δ ，同余方程的完整解的形式为x ≡v （mod B /δ ）或者用等价的等式表达，x ＝v ＋kB /δ ，k 为任意整数。因此，公式Av ＋a ＋kAB /δ 包括了z 的所有值，即z ≡Av ＋a （mod AB /δ ）是这个问题的完整解。如果我们在模A ，B 的基础上再加一个模C ，并且对于模C ，z ≡c ，我们可以按照同样的方式开展，因为先前两个条件已经合并为一个。因此，如果AB /δ 和C 的最大公约数为e ，并且假设同余方程（AB /δ ）x ＋Av ＋a ≡c （mod C ）的解为x ≡w （mod C /e ），那么问题的解完全可以通过同余方程z ≡ABw /δ ＋Av ＋a （mod ABC /δe ）解得。我们观察到AB /δ 是A 和B 的最小公倍数，ABC /δ 是数A ，B 和C 的最小公倍数，那么容易推出不论有多少个模A ，B ，C ，…，如果它们的最小公倍数是M ，全部的解都可以用z ≡r （mod M ）来表示。但是当并非所有的辅助同余方程都可解时，我们断定这个问题存在不可解的情况。但是显然，当所有的数A ，B ，C ，…互质时，这种情况是不可能发生的。
例如，令数A ，B ，C ，a ，b ，c 分别为504，35，16，17，-4，33。这里的两个条件z ≡17（mod 504）和z ≡-4（mod 35）等价于一个条件z ≡521（mod 2520），加上条件z ≡33（mod 16），我们最终得到z ≡3041（mod 5040）。
33
当所有数A ，B ，C ，…都互质，可知它们的乘积是它们的最小公倍数。在这种情况下，多个同余式z ≡a （mod A ），z ≡b （mod B ），z ≡c （mod C ）…合起来就与单个同余式z ≡r （mod R ）等价，式中R 是数A ，B ，C ，…的乘积。反过来，单个条件z ≡r （mod R ）也可以分解为多个条件，即如果R 以任意方式分解为互质的因数A ，B ，C ，…，那么条件z ≡a （mod A ），z ≡b （mod B ），z ≡c （mod C ），…就把原始条件全部涵盖。这条结论不仅提供了一个发现方程无解的快捷的方法，也是一种令人满意的、优雅的运算方式。
34
如上，令z ≡a （mod A ），z ≡b （mod B ），z ≡c （mod C ）。将所有模都分解为互质的因数：A 分解为A ′A ″A ，…；B 分解为B ′B ″B ，…；使得数A ′，A ″，…，B ′，B ″，…要么都是质数，要么都是质数幂。如果数A ，B ，C ，…中的任何一个数已经是质数或质数幂，则不用分解。可知，上述条件可以用下面的条件来代替：z ≡a （mod A ′），z ≡a （mod A ″），z ≡a （mod A ），…；z ≡b （mod B ′），z ≡b （mod B ″），…；…。现在如果不是所有的数A ，B ，C ，…都互质（例如A 和B 非互质） ，显然A ，B 的所有质除数并非都各不相同。在因数A ，A ″，A ，…中必定有一个因数在B ′，B ″，B ，…能够找到等于它，或是它的倍数，或是它的除数的因数。假设第一个可能性是A ′＝B ′。那么条件z ≡a （mod A ′）和条件z ≡b （mod B ′）必定相同，即a ≡b （mod A ′或B ′） ，因此其中一个可以忽略。但是如果z ≡a （mod A ′）不成立，这个问题就无解。其次，假设B ′是A ′倍数，那么条件z ≡a （mod A ′）就一定包含在条件z ≡b （mod B ′）中，即从后者推出的z ≡b （mod A ′）必须与前者相同。由此可以推出条件z ≡a （mod A ′）可以忽略，除非它与其他条件矛盾（如果这样问题便无解） 。当所有多余的条件都忽略以后，因数A ′，A ″，A ，…；B ′，B ″，B ，…；…中剩下的模就都是互质的。然后我们就能确定问题是否可解，并按照上文描述的方法求解。
35
例如，如果按照上文 （参考条目32） ，z ≡17（mod 504），z ≡-4（mod 35）和z ≡33（mod 16），那么这些条件可以分解为下面的条件：z ≡17（mod 8），z ≡17（mod 9），z ≡17（mod 7），z ≡-4（mod 5），z ≡-4（mod 7），z ≡33（mod 16）。在这些条件中，z ≡17（mod 8）和z ≡17（mod 7）可以忽略，因为前者已经包含在条件z ≡33（mod 16）中，后者同于条件z ≡-4（mod 7）。还剩条件
并且从这些条件我们有z ≡3041（mod 5040）。显然，通常这样做会比较方便：把从同一个条件推导出的剩下的条件分别重新组合：例如，当条件z ≡a （mod A ′），z ≡a （mod A ″），…中的一些被去掉之后，剩下的全部条件可以用z ≡a 取代，它的模是A ′，A ″，A ，…中所有剩下的模的乘积。因此，在我们的例子中，条件z ≡-4（mod 5），z ≡-4（mod 7）都被条件z ≡-4（mod 35）所取代。进一步可知，就简化计算来说，去掉多余的条件并不是无关紧要的。但是，讨论这些内容或其他具体的技巧并不是我们的目的，这些方法的学习通过自己实践比听他人讲述更加容易。
36
当所有的模A ，B ，C ，D ，…都彼此互质，通常采用下面的方法更好。确定一个数α ，它对于模A 同余于1，而对于剩余所有模的乘积同余为0，即α 是BCD …乘以表达式1/BCD …（mod A ）的一个值（优先选取最小值） （参考条目32） 。类似地，令β ≡1（mod B ）及β ≡0（mod ACD …），γ ≡1（mod C ）及γ ≡0（mod ABD …），…。因此，如果我们求z 使得它对于模A ，B ，C ，D ，…分别同余于a ，b ，c ，d ，…，我们可以取
z ≡αa ＋βbγc ＋δd ＋…（mod ABCD …）
因为，显然αa ≡a （mod A ）且剩下所有的数βb ，γc ，δd ，…都对于模A 同余为0，所以z ≡a （mod A ）。对于其他的模可以做类似证明。当我们解几个同样类型的问题，它们中的所有的模A ，B ，C ，…的值保持不变，那么这种解法要优于前一种解法，因为α ，β ，γ ，…取同样的值。在年代学中有这样的问题：给定某年的小纪，黄金数以及太阳活动周，确定它的儒略年份。在这里可以取A ＝15，B ＝19，C ＝28；因为表达式1/（19×28）（mod 15）或1/532（mod 15）的值是13，所以α ＝6916，按照同样的方法可得β ＝4200和γ ＝4845。因此，我们要求的数是6916a ＋4200b ＋4845c 的最小剩余，其中a 是小纪，b 是黄金数，c 是太阳活动周。
