45
定理
在任何几何数列1，a ，a 2 ，a 3 ，……中，除了首项1之外，还有另外一项a t 对于与a 互质的模p 同余于1，且指数t ＜p 。
证明
因为模p 是与a 互质的数，因此模p 与a 的任何次幂都互质，此数列中没有一项被p 整除，但是每一项将同余于数1，2，3，…，p -1中的一个。因为这些数的个数是p -1，显然，如果我们考虑这个数列的项数比p -1多时，它们的最小剩余不会完全不同。所以，在项1，a ，a 2 ，a 3 ，…，a p -1 中，至少可以找到两项彼此同余。因此令a m ≡a n ，且m 大于n 。两边除以a n ，我们得到a m -n ≡1 （参考条目22） ，这里0＜m -n ＜p 。证明完毕。
例：在数列2，4，8，…中，对于模13同余于1的第一项是212 ＝4096。但是还在这个数列中，对于模23，我们有211 ＝2048≡1。类似地，数5的6次幂15625对于模7同余于1，而对模11则是3125，即数5的5次幂。因此在一些情况下指数小于p -1的方幂就已经同余于1，但是在其他情况下必须达到p -1次幂。
46
当继续考察此数列中同余于1的项后面的项时，则从开始起的同样的那些余数将会再次出现。因此，如果a t ≡1，则有a t ＋1 ≡a ，a t ＋2 ≡a 2 ，…，直到项a 2t ，它的最小剩余又是1，并且剩余的周期重新开始。因此形成由t 个剩余构成的周期，一个周期结束之后就会从第1项重复开始；除出现在周期里的项之外，任何其他项都不可能出现在整个数列中。一般地，我们有a mt ≡1和a mt ＋n ≡a n 。根据我们的符号可以用下式表达：如果r ≡ρ （mod t ），那么a r ≡a ρ （mod p ）。
47
这则定理帮助我们求得不论指数多大的方幂的剩余，只要我们找到了同余于1的方幂。例如，如果我们要求31000 被13去除后所得的剩余，因为33 ≡1（mod 13）得出t ≡3；所以从1000≡1（mod 3），得出31000 ≡3（mod 13）。
48
当a t 是同余于1的最小次幂（除了a 0 ＝1，这种情况我们不在这里考虑） ，构成剩余周期的所有的t 项都是彼此不同的，这一点从条目45的证明可知。在这种情况下，条目46的逆定理也成立：如果a m ≡a n （mod p ），我们有m ≡n （mod t ）。因为如果m ，n 对于模t 不同余，那么它们的最小剩余μ ，v 就不同。但是，如果a μ ≡a m ，a v ≡a n ，则a μ ≡a v ，即并非所有小于a t 的方幂都不同余，这与我们的假设矛盾。
因此，如果a k ≡1（mod p ），那么k ≡0（mod t ），即k 可以被t 整除。
到目前为止，我们仅讨论了与a 互质的任意模；现在我们专门讨论质数模，在此基础上我们做更一般的研究。
