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因为 是整数，可以通过在同余式a t ≡1两边自乘 次，得出a p -1 ≡1，或者说，当p 是不整除a 的质数时，a p -1 -1总被p 整除 。
这则定理因为它的优美和实用性而值得注意。它通常被称为费马定理——名称来自于发现它的人（见费马所著Opera Mathem ，第163页） 。虽然他说已经找到了证明方法，他并没有给出证明。欧拉率先在他的论文Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio 中发表了证明。证明是基于展开（a ＋1） p ，从展开式的系数的形式很容易发现（a ＋1） p -a p -1总是可以被p 整除，因此，只要a p -a 可以被p 整除，那么（a ＋1） p -（a ＋1）也一定可以被p 整除。那么，因为1 p -1总是可以被p 整除，2 p -2也是如此，3 p -3也是如此，以此类推，a p -a 也是如此。并且如果p 不能整除a ，a p -1 -1将能够被p 整除。著名的兰伯特在Nova acta erudit 第109页给出了类似的证明。但是，因为展开二项式的方幂的方法看起来不符合数论的风格，欧拉在Novicomm. acad. Petrop 上给出了另外一种证明，完全符合我们在上一条中的证明。我们后面还会再给出一种证明。这里我们将根据类似欧拉第一个证明的原理，补充另一个推论。下面的定理对其他研究也将会是有用的，而费马定理只是它的一种特殊情况。
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如果p 是质数，那么多项式a ＋b ＋c ＋…的p 次幂对于模p 同余于表达式a p ＋b p ＋c p ＋…。
证明
显然，多项式a ＋b ＋c ＋…的p 次幂是由形如xa α b β c γ …的数组成，其中α ＋β ＋γ ＋…＝p 并且x 是p 个元素（它们是a ，b ，c ，…分别出现α 次，β 次，γ 次，…） 的不同的排列的个数。但是在条目41我们已经证明，除非所有的这p 个元素都相同——数α ，β ，γ ，…中的某一个数等于p ，并且其余所有的数等于0——否则数x 一定总是被p 整除。由此可以推出（a ＋b ＋c ＋…） p 中的所有的项，除a p ，b p ，c p ，…之外，都可以被p 整除；并且当我们处理一个对于模为p 的同余式时，我们总是可以安全地忽略那些项，从而得到（a ＋b ＋c ＋…） p ≡a p ＋b p ＋c p ＋…。证明完毕。
如果所有的数a ，b ，c …都等于1，一共有k 个，那么，可得出上个条目中的k p ≡k 。
