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第6节 指标的运算

作者:德-卡尔·弗里德里希·高斯/译者:邵林 当前章节:879 字 更新时间:2026-7-17 01:14

58

关于指标的定理与关于对数的定理是完全相似的。

任意多个因数的乘积的指标对于模p -1与各个因数的指标的和同余。

一个数的方幂的指标对于模p -1与这个数的指标与幂指数的乘积同余。

因为上述定理比较简单,这里省去对它们的证明。

从上文可知,如果要构造出这样一张表,表中给出所有的数对于不同的模的指标,可以忽略所有比模大的数以及所有的合数。本书结尾给出了一张样表(表1) 。此表第1列是从3到97的所有质数以及质数幂,这些数将作为模;在下一列,和这些数相邻的,是那些被选作为基数的数;接下来是连续质数的指标。在每一列第1排,这些质数按照同样的顺序排列,这样便于找到对应一个给定质数关于给定模的指标。

例如,如果p =67,基数为12,Ind 60≡2Ind 2+Ind 3+Ind 5(mod 66)≡58+9+39≡40。

59

如果a ,b 都不能被p 整除,形如a /b (mod p )的表达式的值 (参考条目31) 的指标对于模p -1同余于分子a 的指标与分母b 的指标的差。

令c 是表达式的任意一个值,则bc ≡a (mod p ),所以

Ind b +Ind c ≡Ind a (mod p -1)

以及

Ind c ≡Ind a -Ind b

那么,如果有两张表,其中一张表给出任意整数对于任意质数模的指标,另一张表给出属于给定指标的整数,那么,所有的一次同余方程都能轻易解出,因为它们能简化为模为质数的同余方程(条目30) 。例如,给定同余方程29x +7≡0(mod 47),简化为x ≡(-7)/29(mod 47)。从而有Ind x ≡Ind(-7)-Ind 29≡Ind 40-Ind 29≡15-43≡18(mod 46)。现在3的指标是18,所以x ≡3(mod 47)。我们还没有给出第2张表,但到了第6章我们给出另一张表,可以实现相同的作用。

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