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现在回来讨论我们所谓的原根。我们已经证明，如果取任意一个原根作为基数，那么，所有的指标与p -1互质的数也是原根，并且除了这些之外没有其他的原根，我们就同时知道了原根的个数（条目53） 。一般地，选择哪个原根作为基数可以由我们自己说了算。这里正如对数运算一样，可以有很多不同的系统 [2] 。我们来看一下这些系统之间有什么样的联系。令a ，b 为两个原根，m 是另外一个数。当取a 作为基数时，假设b 的指标同余于β ，数m 的指标同余于μ （mod p -1）。但当取b 作为基数时，假设a 的指标同余于α ，数m 的指标同余于v （mod p -1）。现在，a β ≡b ，且a αβ ≡b α ≡a （mod p ）（通过假设），所以αβ ≡1（mod p -1）。通过类似的过程，我们求得v ≡αμ ，且μ ≡βv （mod p -1）。因此，如果我们有一张基数为a 的指标表，可以方便地将它转换成另一张基数为b 的指标表。因为，如果基数为a ，b 的指标同余于β ，基数为b ，a 的指标就同余于 （mod p -1），并且将这个数乘以这张表中的所有指标，就得到了基数为b 的所有的指标。
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尽管一个给定的数因不同的原根作为基数会产生不同的指标，但它们都有一个共同点——每个指标和p -1的最大公约数都是一样的。因为，如果给定的数以a 为基数的指标是m ，以b 为基数的指标是n ，并且我们假设这两个数与p -1的最大公约数分别是不相等的μ ，v ，那么，其中一个必定大于另一个。例如，μ ＞v ，因而μ 就不能整除n 。现在，假设b 是基数，令α 为数a 的指标，我们就有 （参考上一条目） n ≡αm （mod p -1），因此，μ 能够整除n ，这与假设矛盾。证明完毕。
我们还可以观察到，一个给定的数的指标和p -1的最大公约数不取决于原根，因为这个最大公约数等于（p -1）/t 。这里的t 是这个数所属的指数。因为，如果任何基数的指标是k ，则t 就是这样的最小整除（0除外），使得它和k 的乘积是p -1的倍数（参考条目48 ，58 ） ，也就是表达式0/k （mod p -1）的最小值（0除外） 。从条目29不难推出，t 等于数k 和p -1的最大公约数。
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总是可以取到这样的基数，使得属于指数t 的数对这个基数的指标是任意指定的这样一个数，只要它与p -1的最大公约数等于（p -1）/t 。我们用d 表示这个除数，令指定的指标同余于dm ，并且当取某个原根a 为基数时，令所给数的指标同余于dn ；m 和n 就与（p -1）/d 即t 互质。那么，如果ε 是表达式dn /dm （mod p -1）的一个值，并且它同时与p -1互质，a ε 就是一个原根。以这个原根为基数，那么所给的数就有我们想要的指标dm （因为，a εdm ≡a dn ≡所给的数） 。为了证明表达式dn /dm （mod p -1）有与p -1互质的值，我们按照如下方式进行。这个表达式等价于n /m ［mod（p -1）/d ］，或者等价于n /m （mod t ）（参考条目31 性质2） ，并且它的所有值都与t 互质；因为，如果任何值e 与t 有公约数，这个除数一定也能整除me ，因而也能整除n ，因为me 相对于模t 同余于n 。但是这与假设相矛盾，因为假设要求n 与t 互质。因此，当所有p -1的质因数都整除t ，那么表达式n /m （mod t ）的所有值都与p -1互质，并且这些值的个数为d 。但是，当p -1还有不能整除t 的质除数f ，g ，h ，…，那么，取表达式n /m （mod t ）的一个值同余于e 。但是，因为所有的数t ，f ，g ，h ，…，都是两两互质的数，那么能够找到这样的数ε 相对于模t 同余于e ，并且，对于模f ，g ，h ，…分别同余于任意与相应的模互质的数 （参考条目32） 。这样一个数一定不能被p -1的任一质因数整除，因而与p -1互质，这正是我们要求的。最后，从组合理论不难推出这样的值的个数就等于
但为了不至于离题太远，这里就省去了证明。对于本书的目的来说，这是没有必要深入探讨的。
