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如果我们取质数p 作为模，则在数1，2，3，…，p -1中，一半是二次剩余，剩下的是非剩余；即，剩余有 个，非剩余也有 个。
容易证明所有的平方数1，4，9，…， 都是彼此不同余的。因为，如果r 2 ≡（r ′）2 （mod p ），这里数r ，r ′不相等且均不大于 ，那么，可设r ＞r ′，得到（r -r ′）（r ＋r ′）是正数并且能被p 整除。但是两个因数（r -r ′）和（r ＋r ′）都小于p ，因此假设不成立 （参考条目13） 。因此，在数1，2，3，…，p -1中有 个二次剩余。不可能有比这更多个的二次剩余，因为，如果我们增加剩余0，就得到 个二次剩余，但所有剩余的个数不能大于这个数。那么，剩下的数就是非剩余，它们的个数是 。
因为0总是剩余，所以我们在研究中就排除0以及所有可以被模整除的数。这种情况本身是清楚的，讨论它只会让定理不再优雅。出于同样的原因，我们也排除2是模的情况。
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因为本章中要证明的很多结论可以从上一章的原理中推导出来，而且用不同的方法去发现相同的结论也无妨，我们就继续指出这种联系。容易证实的是，所有同余于平方数的数都有偶数 指标，所有不同余于平方数的数都有奇数 指标。并且，因为p -1是一个偶数，所以偶数指标的个数与奇数指标的个数相同，各有 个，因而剩余和非剩余的个数也相同。
例：
且所有小于这些模的其他的数都是非剩余。
