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定理
-1是所有形如4n ＋1的质数的二次剩余，并且是所有形如4n ＋3的质数的二次非剩余。
例：从数2，5，4，12，6，9，23，11，27，34，22，…的平方可以发现，-1分别是数5，13，17，29，37，41，53，61，73，89，97，…的剩余；并且，-1是数3，7，11，19，23，31，43，47，9，67，71，79，83，…的非剩余。
在条目64中我们提到了这个定理，从条目106可以轻松得到对这个定理的证明。因为，对于形如4n ＋1的质数我们有（-1）2n ≡1，对于形如4n ＋3的质数我们有（-1）2n ＋1 ≡-1。这个证明与条目64中的证明一致。因为这个定理非常优雅、实用，我们再给出一个证明。
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我们用字母C 表示质数p 的所有小于p 但不包括0的剩余组成的总体。这些剩余的个数总是等于 ，因此，当p 是形如4n ＋1时，这些剩余的个数显然是偶数；当p 是形如4n ＋3时，这些剩余的个数显然是奇数。沿袭条目77中的说法（那里的数是任意数） ，我们就把那些乘积同余于1（mod p ）的数称为关联剩余 ；因为，如果r 是剩余，那么 （mod p ）也是剩余。因为一个剩余在C 中不可能有多个关联剩余，显然，所有的剩余C 可以划分为若干组，每组含一对关联剩余。如果没有与自身关联的剩余，即，如果每组都含一对不相等的剩余，所有剩余的个数就是组数的两倍；但是，如果存在某些剩余是其自身的关联剩余，那么就存在某些组只包含一个剩余，或者也可以说只包含两个一样的剩余，所有剩余C 的个数就等于a ＋2b ，其中a 是第二种类型的组数，b 是第1种类型的组数。那么，当模p 是形如4n ＋1，a 就是偶数；当p 是形如4n ＋3，a 就是奇数。但是，除了1和p -1之外，不存在小于p 并且与自身关联的数 （参考条目77） ；且第1种类型的剩余里面必然有1。那么，p -1（或-1，也是同样地） 在前一种情况下必定是剩余，在后一种情况下必定是非剩余。否则的话，在前一种情况下就有a ＝1，在后一种情况下有a ＝2，这是不可能的。
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这个证明归功于欧拉。他也是发现之前的证明方法的第一人（见Opuscula Analytica [4] ） 。容易发现的是，这个证明与我们对威尔逊定理的第2个证明所依赖的原理非常相似 （参考条目77） 。并且，如果我们假设这个定理是成立的，上面的证明就会变得非常简单。因为，在数1，2，3，…，p -1中，有 个p 的二次剩余，还有 个p 的二次非剩余；所以，当p 形如4n ＋1时，非剩余的个数就是偶数；当p 形如4n ＋3时，非剩余的个数就是奇数。那么，在前一种情况下，所有数1，2，3，…，p -1的乘积就是剩余；在后一种情况下，它就是非剩余 （参考条目99） 。但是，这个乘积总是同余于-1（mod p ），因而，在前一种情况下，-1是一个剩余，在后一种情况下，-1是一个非剩余。
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因此，如果r 是任何形如4n ＋1的质数的剩余，那么-r 也是这个质数的剩余；并且，即使它的所有非剩余取负号，它们仍旧是非剩余 [5] 。对于形如4n ＋3的质数，上面的结论反过来也是成立的，即，当它的所有剩余取负号，它们就会变成非剩余，反之亦然 （参考条目98） 。
从上面的讨论可以推出这个一般规律：-1是所有既不能被4整除，也不能被任何形如4n ＋3的质数整除的数的剩余；它是所有其他数的非剩余 （参考条目103 和105 ） 。
