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我们现在继续讨论剩余为＋3和-3的情况，先从-3开始。
从表2我们发现，-3是3，7，13，19，31，37，43，61，67，73，79，97的剩余，这里面没有形如6n ＋5的数。在这个表之外，也不会有形如6n ＋5的数以-3为剩余。我们按下面方法证明：首先，任何形如6n ＋5的合数必然有一个同样形如6n ＋5的质因数。那么，如果以某个数为界限，所有形如6n ＋5的质数都不以-3为剩余，并且，到这个界限为止，所有的合数也不会以-3为剩余。现在假设在我们的表以外存在以-3为剩余的数，假设其中最小一个数为t ，并且令-3＝a 2 -tu 。现在，如果我们取a 为小于t 的偶数，就有u ＜t ，且-3是u 的一个剩余。但是，如果a 是形如6n ±2的数，tu 就是形如6n ＋1的数，且u 的形式就是6n ＋5。但这是不可能的，因为，我们假设t 是与我们归纳的结论矛盾的最小一个数。现在，如果a 形如6n ，tu 的形式就是36n ＋3，则 的形式为12n ＋1，那么 的形式就是6n ＋5。但是，显然-3也是 的剩余且 ，但这是不可能的。因此，显然-3不可能是任何形如6n ＋5的数的剩余。
因为所有形如6n ＋5的数都必然包含于那些形如12n ＋5或12n ＋11的数中，又因为前者包含于形如4n ＋1的数中，后者包含于形如4n ＋3的数中，我们得到这些定理：
1．对于所有形如12n ＋5的质数，-3和＋3都是非剩余。
2．对于所有形如12n ＋1的质数，-3是非剩余，＋3是剩余。
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从表2我们发现，＋3是这些数的剩余：3，11，13，23，37，47，59，61，71，73，83，97。这些数都不是形如12n ＋5或12n ＋7的数。我们可以用与在条目112、条目113和条目117中使用的相同的方法来证明：在所有形如12n ＋5或12n ＋7的数中没有一个数以＋3为剩余。我们省略具体步骤。将这些结论与条目111中的结论相结合，我们得到以下定理：
1．对于所有形如12n ＋5的质数，＋3和-3都是非剩余 （如同我们在上一条目中发现的那样） 。
2．对于所有形如12n ＋7的质数，＋3是非剩余，-3是剩余。
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然而，关于形如12n ＋1的数的规律，用这种方法我们什么也得不到。因此，我们必须凭借特殊的方法。通过归纳的方法容易发现的是，＋3和-3是所有形如12n ＋1的数的剩余。但是就这一点我们只需要证明-3是剩余，便可由此推出＋3也是剩余 （参考条目111） 。然而，我们要证明一个更具普遍性的结论，即，-3是所有形如3n ＋1的质数的剩余 。
令p 是这样的质数，a 是对于模p 属于指数3的一个数（因为3可以整除p -1，从条目54可知存在这样的数） 。因此，我们有a 3 ≡1（mod p ）；即，a 3 -1或（a 2 ＋a ＋1）（a -1）可以被p 整除。但是，显然a 不同余于1（mod p ），因为1属于指数1；因此，a -1就不能被p 整除，但是a 2 ＋a ＋1可以被p 整除。因此，4a 2 ＋4a ＋4也可以被p 整除；即（2a ＋1）2 ≡-3（mod p ），所以-3是p 的剩余。证明完毕。
显然这个证明（与之前的证明是独立的） 也包含了形如12n ＋7的质数，在上个条目中我们已经讨论过了。
我们进一步指出，我们可以使用条目109和条目115中的方法，但是，为了简洁，这里不再讨论。
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从这些结论我们可以轻易地推导出以下定理（参考条目102 ，103 ，105 ） ：
1．-3是不能被8或9或形如6n ＋5的任意质数整除的所有数的剩余。它是所有其他数的非剩余。
2．＋3是不能被4或9或形如12n ＋5或12n ＋7的任意质数整除的所有数的剩余。它是所有其他数的非剩余。
注意，这里有一种特殊情况：
-3是所有形如3n ＋1的质数的剩余，或者也可以说，-3是所有的是数3的剩余的质数的剩余；并且，-3是所有形如6n ＋5的质数的非剩余；或者也可以说，-3是除了2之外的所有形如3n ＋2的质数，即，-3是所有是数3的非剩余的质数的非剩余。所有其他情况可以自然地由此推出。
费马（Opera Mathem. Wall ）已经知道这些关于剩余＋3和-3的定理，但是，第一个给出证明的人是欧拉（Novi comm. Acad. Petrop ，1763）。但欧拉未能找出关于剩余＋2和-2的定理的证明，这是令人惊讶的事实——因为它们的证明是基于相同的原理。关于这一点，也可见拉格朗日在Nouv. mêm. Acad. Berlin 上面的评注。
