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通过类似的方法，我们可以证明：-7是任何是7的非剩余的数的非剩余 。
通过归纳的方法，我们可以得出：-7是任何是7的剩余的质数的剩余 。
不过到目前为止，还没有人严格地证明过这个定理。对于那些形如4n -1的是7的剩余的质数，这个证明是容易的；因为，通过上一条目的方法，可以证明：＋7总是这样的质数的非剩余，因而-7是它们的剩余。但是这并起不到多大作用，因为对于剩下的情况不能用同样的方法来处理。一种情况可以用条目119和123中的方法解决。如果p 是形如7n ＋1的质数，a 对于模p 属于指数7，容易发现
能够被p 整除，因而-7（a 2 ＋a ）2 是p 的剩余。但是，平方数（a 2 ＋a ）2 也是p 的剩余，且它不能被p 整除；这是因为，我们假设a 属于指数7，它既不能被p 整除，也不能同余于-1（mod p ），即，不论是a 还是a ＋1［以及平方数（a ＋1）2 a 2 ］ 都不能被p 整除。因此，-7就是p 的剩余。证明完毕。但是，形如7n ＋2或7n ＋4的质数都不能用到目前为止所讨论过的方法处理。上面的证明也是首先由拉格朗日发现的，并出现在他的同一部著作中。到第7章我们会证明表达式 总能简化为X 2 ±pY 2 的形式，当p 是形如4n ＋1的质数时取负号；当p 是形如4n ＋3的质数时取正号。这里X 和Y 是x 的整有理函数。拉格朗日的分析限定在p ≤7的范围内（参考Lagrange ，loc. cit ，第352页） 。
