130
我们已经严格证明了“形如4n ＋1的任意质数，不论是取正号还是负号，都是某个小于它的质数的非剩余”，我们进而要更加准确、更加一般地对两个质数什么时候是对方的剩余或非剩余作出结论。
我们在前文中已经证明了-3和＋5分别是某些质数的剩余或非剩余，这些质数分别是3和5的剩余或非剩余。
我们通过归纳发现，数-7，-11，＋13，＋17，-19，-23，＋29，-31，＋37，＋41，-43，-47，＋53，-59，…是所有这样的质数的剩余或非剩余：它们取正号后，分别是前面质数的剩余或者非剩余。借助表2的帮助，我们可以轻松地进行这些归纳。
我们可以发现，在这些质数中，形如4n ＋1的质数取正号，形如4n ＋3的质数取负号。
131
我们马上就会证明通过归纳发现的结论在一般情况下也成立。但是，在此之前，假设这个结论成立，有必要找出这个定理的所有可能的结果。我们对定理的表述如下：
如果p 是形如4n ＋1的质数，＋p 是任意质数q 的剩余或非剩余：q 取正号后是p 的剩余或者非剩余。如果p 是形如4n ＋3的质数，则-p 具有相同的性质。
因为几乎所有关于二次剩余的结论都基于这则定理，因此我们从现在起将其称为“基本定理 ”应该是没什么问题的。
为了用尽可能简单的公式来表述我们的推论，我们就用字母a ，a ′，a ″，…来表示形如4n ＋1的质数，用字母b ，b ′，b ″，…来表示形如4n ＋3的质数；用A ，A ′，A ″，…来表示形如4n ＋1的任意数，用B ，B ′，B ″，…来表示形如4n ＋3的任意数；最后，两个数之间的字母R 表示前者是后者的剩余，两个数之间的字母N 表示非剩余。 例如，＋5 R 11表示＋5是11的剩余，±2 N 5表示＋2或-2是5的非剩余。现在，借助于条目111中的定理，我们由基本定理可以轻松地推导出下面的定理：
序号 如果 就有
1 ±a R a ′ ±a ′ R a
2 ±a N a ′ ±a ′N
3 a ＋a R b ±b R a
-a N b
4 ＋a N b ±b N a
-a R b ′
5 ±b R a ＋a R b
-a N b
6 ±b N a ＋a N b
-a R b
7 ＋b R b ′ ＋b ′ N b
-b N b ′ -b ′ R b
8 ＋b N b ′ ＋b ′ R b
-b R b ′ -b ′ N b
9 ±a R A ±A R a
10 ±b R A ＋A R b
-A N b
11 ＋a R B ±B R a
12 -a R B ±B N a
13 ＋b R B -B R b
＋B N b
14 -b R B ＋B R b
-B N b
132
上表囊括了比较两个质数时的所有情况；下表是关于质数与任意数之间的关系，但它们的证明没有前者那么显然。
因为所有这些定理的证明是基于相同的原理，所以没有必要一一给出。作为示例，我们对定理9进行证明就足够了。首先，我们发现任何形如4n ＋1的数，要么没有形如4n ＋3的因数，要么这样的因数有2个，或4个，…，即，这样的因数（其中可以有相等的） 的个数总是偶数；而任何形如4n ＋3的数总是包含奇数个形如4n ＋3的因数（1个，或3个，或5个，…） 。形如4n ＋1的因数的个数仍是不确定的。
定理9可以按照下面的步骤证明：令A 为质因数a ′，a ″，a ，…，b ，b ′，b ″，…的乘积；因数b ，b ′，b ″，…的个数是偶数（或者不存在，可以化简为同一种情况） 。现在，如果a 是A 的剩余，那么它就是因数a ′，a ″，a ，…，b ，b ′，b ″，…的剩余。由前一个条目的定理1和定理3可知，这些因数中的每一个都是a 的剩余，所以它们的乘积A 也是a 的剩余，-A 也是a 的剩余。另一种情况，如果-a 是A 的剩余，由这一事实可知，它是所有因数a ′，a ″，a ，…，b ，b ′，b ″，…的剩余；a ′，a ″，a ，…中每一个都是a 的剩余，b ，b ′，b ″，…每个都是a 的非剩余。但是，因为后者的个数是偶数，它们的乘积，即A 就是a 的剩余，因而-A 也是a 的剩余。
133
我们现在做更加一般的研究——考虑两个互质的带任意符号的奇数P 和Q 的情况。我们先不考虑P 的正负号，将其分解为质因数，并将其中以Q 为其非剩余的因数的个数表示为p 。如果以Q 为其非剩余的某个因数在P 的因数中出现若干次，那么它也被重复计数同样多次。类似地，将以P 为其非剩余的Q 的质因数的个数表示为q 。这样，我们将发现数p 和q 之间存在某种关系，这种关系取决于数P 和Q 的形式。我们在下表中演示这种关系：
如果数P 或Q 有如下的形式，那么数p ，q 同时为偶数或者同时为奇数
1．＋A ＋A ′
2．＋A -A ′
3．＋A ＋B
4．＋A -B
5．-A -A ′
6．＋B -B ′
反之，若数p ，q 中有一个数是偶数，有一个是奇数，则P ，Q 有如下的形式
7．-A ＋B
8．-A -B
9．＋B ＋B ′
10．-B -B ′ [13]
例：设给定的数是-55和＋1197，这是第4种情况；1197是55的唯一一个质因数5的非剩余。但是，-55是1197的3个质因数——3，3，19——的非剩余。
如果P 和Q 都是质数，则这些定理就简化为我们在条目131中讨论的定理。这里p 和q 不可能是大于1的数，因而，当p 是偶数时，它一定等于0；即，Q 就是P 的剩余。但是，当p 是偶数时，Q 就是P 的非剩余，反之亦然。因而，如果用字母a 代替A ，b 代替B ，从第8种情况就能推出，如果-a 是b 的剩余或非剩余，那么-b 就是a 的非剩余或剩余，这与条目131的定理3和4是一致的。
一般地，除非p ＝0，Q 不可能是P 的剩余；因为，如果p 是奇数，Q 就一定是P 的非剩余。
上个条目中的定理可以由这个事实毫不费力地推导出来。
很快我们就会明白，这种一般性讨论不会沦为毫无意义的猜想，因为没有它就完成不了基本定理的证明。
134
我们现在开始推导这些定理。
1．我们像之前一样，不考虑符号，将P 分解成它的质因数。而通过任意方式将Q 分解为它的质因数时，我们要考虑Q 的符号。现在，将前者的每个因数和后者的每个因数组合起来。如果s 代表所有Q 的因数是P 的因数的非剩余的组合的个数，那么p 和s 要么都是偶数，要么都是奇数。因为，设P 的质因数为f ，f ′，f ″，…。在Q 的所有因数中，令其中是f 的非剩余有m 个，是f ′的非剩余有m ′个，是f ″的非剩余有m ″个，…。那么，显然地
s ＝m ＋m ′＋m ″＋…
并且，p 代表m ，m ′，m ″，…中的奇数的个数。那么，当p 是偶数时，s 就是偶数；当p 是奇数时，s 就是奇数。
2．一般地，不论Q 怎么分解因数，这个结论总是成立的。现在我们讨论几种特殊情况。对于第1种情况，令两个数中的P 为正数，另一个数Q 的形式为＋A 或-B 。将P 和Q 分解为它们的质因数，将P 的每个因数取正号；对应于Q 的每个因数是a 的形式还是b 的形式，分别取正号或负号。显然，正如要求的一样，Q 的形式为＋A 或-B 。将P 的每个因数和Q 的每个因数组合起来，像之前一样，用s 表示所有Q 的因数是P 的因数的非剩余的组合的个数。类似地，令t 表示所有P 的因数是Q 的因数的非剩余的组合的个数。但是，由基本理论可以推出，这些组合的个数是相同的，因此s ＝t 。最后，由我们已经证明的结论可知，p ≡s （mod 2），q ≡t （mod 2），因而，p ≡q （mod 2）。
那么，我们就得到了条目133中的定理1，3，4和6。
贾宪三角
贾宪三角，也称杨辉三角，欧洲也称其为帕斯卡三角。这一三角排列法将二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，成为一种离散型的数与形的结合，是中国古代数学的杰出研究成果之一。
其他的定理可以用同样的方式直接证明，但是它们需要一种不一样的讨论。按照下面的方式，我们比较容易从前面的结论推导出这些定理。
3．我们再用P ，Q 表示任意互质的奇数，p 表示P 中以Q 为非剩余的质因数的个数，q 表示Q 中以P 为非剩余的质因数的个数。并且，令p ′为P 的以-Q 为非剩余的质因数的个数（当Q 为负数时，-Q 显然为正数） 。现在，将P 的所有质因数分成以下四类：
1）以Q 为剩余的形如a 的因数。
2）以Q 为剩余的形如b 的因数，令这些因数的个数为χ 。
3）以Q 为非剩余的形如a 的因数，令这些因数的个数为ψ 。
4）以Q 为非剩余的形如b 的因数，令这些因数的个数为ω。
容易发现的是，p ＝ψ ＋ω，p ′＝χ ＋ψ 。
现在，当P 形如±A 时，χ ＋ω 是偶数，因而χ -ω 也是偶数，得出：p ′＝p ＋χ -ω ≡p （mod 2）。当P 形如±B 时，通过类似的计算我们发现数p 和p ′对于模2不同余。
4．我们把这个结论应用于条目133中的每种情况。设P 和Q 都是形如＋A 的数。从定理1，我们得出p ≡q （mod 2），又p ′≡p （mod 2），所以p ′≡q （mod 2）。这与定理2一致。类似地，如果P 的形式是-A ，Q 的形式是＋A ，从刚证明的定理2我们得出p ′≡q （mod 2），又因为p ′≡p ，我们得出p ′≡q ，那么，定理5得证。
用同样的方式可以从定理3推导出定理7，从定理4或定理7可以推导出定理8，从定理6可以推导出定理9，从定理6可以推导出定理10。
