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在前面的证明中，我们总是对e 取偶数值（条目137到144） ，我们也可以使用奇数值，但是这会引出更多的需要讨论的情况（喜欢这项研究的人会发现投身于这项任务大有裨益） 。而且，必须预先假定与剩余＋2和-2有关的定理。但是，因为我们在不具备这些定理的情况下完成了上面的证明，这就使我们得到了一种证明它们的新方法。我们不应轻视这种方法，因为这种方法比我们上面使用的证明±2是任何形如8n ＋1的质数的剩余的方法要来得更加直接。我们假设其他的情况（关于形如8n ＋1，8n ＋5，8n ＋7的质数） 已经用上面的方法给出了证明，而这个定理仅是由归纳法发现的。通过下面的讨论，我们将证明这个归纳出来的结论是正确的。
如果±2不是所有形如8n ＋1的质数的剩余，则令以±2为其非剩余的最小的质数为a ，那么对于小于a 的质数，这个定理都成立。现在，取某个以a 为非剩余的小于 的质数（从条目129可知，这是可以做到的） 。令这个数为p 且通过基本定理可知，p N a 。因而，±2p R a 。因此，令e 2 ≡2p （mod a ），e 是小于a 的奇数。那么，必须区分两种情况：
1．当e 是不能被p 整除的数时，令e 2 ＝2p ＋aq ；q 就是形如8n ＋7或8n ＋3的正数（对应于p 形如4n ＋1或4n ＋3） ，并且，q 小于a 且不能被p 整除。现在，所有q 的质因数都分成4类：形如8n ＋1的有e 个，形如8n ＋3的有f 个，形如8n ＋5的有g 个，形如8n ＋7的有h 个。令所有第1类因数的乘积为E ，另外F ，G ，H 分别代表所有第2类、第3类、第4类因数的乘积 [14] 。首先，我们考虑第1种情况，p 的形式是4n ＋1，q 的形式是8n ＋7。显然，我们有2RE ，2RH ，因此p R E ，p R H ，并且还有E R p ，H R p 。进而，2就是形如8n ＋3或8n ＋5的数的所有因数的非剩余，因而也是p 的非剩条，那么，这样一个因数就是p 的非剩余。由此可以推出，如果f ＋g 是偶数，FG 就是p 的剩余；如果f ＋g 是奇数，FG 就是p 的非剩余。但是f ＋g 不可能是奇数，因为，不论e ，f ，g ，f 各自是偶数或奇数，只要f ＋g 是奇数，在每一种情况下，EFGH 或q 就是形如8n ＋3或8n ＋5的数，这与假设矛盾。因此，我们得到FG R p ，EFGH R p ，或q R p 。但是，因为aq R p ，这就意味着a R p ，这与假设矛盾。其次，当p 是形如4n ＋3的数时，我们可以用类似的方法证明p R E ，因而E R p ，-p R F ，从而F R p ，因为g ＋h 是偶数，我们有GH R p ，由此可以推出q R p ，a R p ，这与假设矛盾。
2．当e 能够被p 整除时，可以用类似的方法来证明定理。熟练的数学家（本条目是为他们准备的） 可以毫不费力地完成证明。为了简洁，这里就省略了。
