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如果给定一个数A ，可以指出某个公式，其中包含所有以A 为剩余且与A 互质的数，或者所有成为形如x 2 -A 的数的除数的数（式中x 2 是一个不确定的平方数） [16] 。为了简洁，我们只考虑那些为奇数且与A 互质的除数，因为其他的除数都可以轻易简化为这些情况。
首先，假设A 为一个形如4n ＋1的正质数，或者为一个形如4n -1的负质数。那么，根据基本定理，所有取正号的质数都是A 的剩余，它们是x 2 -A ，并且，所有是A 的非剩余的质数（2除外，它总是除数） ，就是x 2 -A 的非除数。假设A 的所有小于A 自身的剩余（0除外） 分别用r ，r ′，…表示，所有小于A 自身的非剩余分别用n ，n ′，…表示。那么，包含在形如Ak ＋r ，Ak ＋r ′，…中的任何一个质数都是x 2 -A 的除数，而包含在形如Ak ＋n ，Ak ＋n ′，…中的任何一个质数都是x 2 -A 的非除数。在这些公式中，k 是不确定的整数。我们称第1组形式为x 2 -A 的除数 ，称第2组形式为x 2 -A 的非除数 。每组数的个数为 。进而，如果B 是奇合数且A R B ，则B 的所有质因数都包含于上述形式中的一个，因而B 也属于上述形式中的一个。因此，任何包含于某个非除数的形式中的奇数就一定是x 2 -A 的一个非除数。这个定理是不可逆的。因为，如果B 是奇合数且是x 2 -A 的非除数，那么B 的某些质因数就是非除数。但是，如果这些质因数有偶数个，那么B 自身就是某个除数的形式 （参考条目99） 。
例：对于A ＝-11，x 2 ＋11的除数的形式就是11k ＋1，11k ＋3，11k ＋4，11k ＋5，11k ＋9，非除数的形式就是11k ＋2，11k ＋6，11k ＋7，11k ＋8，11k ＋10。那么，-11就是后一种形式中包含的所有奇数的非剩余，是前一种形式的所有质数的剩余。
不论数A 是什么，对于x 2 -A 的除数和非除数，我们都有类似的形式。显然，我们应当只讨论不能被某些平方数整除的那些A 的值。这是因为，如果A ＝a 2 A ′，那么x 2 -A 的所有除数也是x 2 -A ′的除数，对于非除数也有同样的结论。但是，我们必须区分3种情况：①A 的形式是＋（4n ＋1）或-（4n -1）；②A 的形式是-（4n ＋1）或＋（4n -1）；③A 的形式是±（4n ＋2），即偶数。
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第1种情况，A 的形式是＋（4n ＋1）或-（4n -1）。将A 分解成它的质因数，对那些形如4n ＋1的质数取正号，对那些形如4n -1的质数取负号（这些因数的乘积就等于A ） 。假设这些因数为a ，b ，c ，d ，…。现在，将所有小于A 且与A 互质的数分成两类。第1类是所有这样的数：它们不是数a ，b ，c ，d ，…中任何一个数的非剩余，或者是其中2个数的非剩余，或者是其中4个数的非剩余，或者，一般地，是它们中偶数个数的非剩余。第2类是所有这样的数：它们是数a ，b ，c ，d ，…中某个数的非剩余，或者它们是其中某3个数的非剩余，或者，一般地，它们是其中奇数个数的非剩余。将前一类数表示为r ，r ′，…，将后一类数表示为n ，n ′，…。那么，Ak ＋r ，Ak ＋r ′，…就是x 2 -A 的除数的形式；Ak ＋n ，Ak ＋n ′，…就是x 2 -A 的非除数的形式（即，除了2之外的所有质数，它的形式是属于前一种形式还是后一种形式，取决于它们是x 2 -A 的除数还是非除数） 。因为，如果p 是质数，并且它是数a ，b ，c ，…中某个数的剩余或者非剩余，那么，这个数就是p 的剩余或非剩余（基本定理） 。所以，如果在数a ，b ，c ，…中存在m 个以p 为非剩余的数，那么，它们中存在同样m 个数是p 的非剩余。因此，如果p 的形式属于前一种形式，m 就是偶数，且A R p ；如果p 的形式属于后一种形式，m 就是奇数，且A N p 。
例：假设A ＝＋105＝（-3）×（＋5）×（-7）。那么，数r ，r ′，r ″，…是这些数：1，4，16，46，64，79（它们不是数3，5，7中任何一个数的非剩余） ；2，8，23，32，53，92（它们是数3，5的非剩余） ；26，41，59，89，101，104（它们是数3，7的非剩余） ；13，52，73，82，97，103（它们是数5，7的非剩余） 。数n ，n ′，n ″，…是这些数：11，29，44，71，74，86（它们是数3的非剩余） ；22，37，43，58，67，88（它们是数5的非剩余） ；19，31，34，61，76，94（它们是数7的非剩余） ；17，38，47，62，68，83（它们是数3，5，7的非剩余） 。
由组合理论和条目32、条目96，我们很容易发现，数r ，r ′，r ″，…的个数为
并且，n ，n ′，n ″，…的个数为
式中，l 表示数a ，b ，c ，…的个数；t ＝2-l （a -1）（b -1）（c -1）…，并且，每组级数要一直继续到无法继续为止（有t 个数是数a ，b ，c ，…的剩余，有 个数是数a ，b ，c ，…其中两个数的非剩余。为了简洁，不做详细的解释） 。每组级数的和为2 t -1 [17] 。这可以通过分别求出组合级数
的项来得到：对第1个级数，把它的第2和第3项相加，第4和第5项相加，…；对第2个级数，把它的第1和第2项相加，第3和第4项相加，…。因此，表达式x 2 -A 的除数形式和非除数形式一样多，即都是 个。
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我们可以把第2种和第3种情况一起讨论。我们可以把A 表示为（-1）Q ，或（＋2）Q ，或（-2）Q ，其中Q 是形如＋（4n ＋1）或-（4n -1）的数，如同我们在上一条目中讨论的。一般地，令A ＝αQ ，其中α ＝-1或±2。那么，A 就是所有这样的数的剩余，它们都以数α 和Q 为剩余或非剩余，并且，A 是所有这样的数的非剩余，它们都只以数α 和Q 中的一个为其剩余。由此，我们容易推出x 2 -A 的除数和非除数的形式。如果α ＝-1，则将所有小于4A 且与其互质的数分为两类：第1类是属于表达式x 2 -Q 的某个除数的形式，同时又是形如4n ＋1的数，以及属于x 2 -Q 的某个非除数的形式，同时又是形如4n ＋3的数；所有其他的数都属于第2类。将第1类的数表示为r ，r ′，r ″，…，将第2类的数表示为n ，n ′，n ″，…。A 就是包含在形如4Ak ＋r ，4Ak ＋r ′，4Ak ＋r ″，…的数中的所有质数的剩余；也是所有包含在形如4Ak ＋n ，4Ak ＋n ′，…的数中的所有质数的非剩余。如果α ＝±2，将所有小于8Q 且与其互质的数分成两类：第1类是所有这样的数，它们属于表达式x 2 -Q 的除数的某个形式，它们的形式要么是8n ＋1或8n ＋7（当2取正号时） ，要么是8n ＋3或8n ＋7（当2取负号时） ；所有其他的数都属于第2类。如果将第1类数表示为r ，r ′，r ″，…，将第2类数表示为n ，n ′，n ″，…，那么，±2Q 就是所有包含在8Qk ＋r ，8Qk ＋r ′，8Qk ＋r ″，…任意形式中的质数的剩余，也是所有包含在8Qk ＋n ，8Qk ＋n ′，8Qk ＋n ″，…任意形式中的质数的非剩余。同样地，这里容易证明表达式x 2 -A 的除数的形式和非除数的形式的个数相同。
例：通过这种方法我们发现，＋10是所有形如40k ＋1，40k ＋3，40k ＋9，40k ＋13，40k ＋27，40k ＋31，40k ＋37，40k ＋39的质数的剩余，也是所有形如40k ＋7，40k ＋11，40k ＋17，40k ＋19，40k ＋21，40k ＋23，40k ＋29，40k ＋33的质数的非剩余。
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这些形式有很多显著的性质，但是我们只指出其中的一个。假设B 是一个与A 互质的合数，如果在B 的质因数中有2m 个属于x 2 -A 的非除数的形式，那么，B 就属于x 2 -A 的一个除数的形式；如果有奇数个B 的质因数属于x 2 -A 的非除数的形式，那么，B 就属于x 2 -A 的一个非除数的形式。我们省略证明，它并不困难。由此可以推出，不仅是每个质数，而且，每个与A 互质且属于某个非除数形式的奇合数，它本身也是非除数。这是因为，这样的数必须有一个质因数是非除数。
