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基本定理可以列为最优雅的定理之一。迄今还没有人能够像我们在上文那样用这种简洁的方式把定理呈现出来。还有更加令人惊讶的就是，我们已经知道了基于基本定理的一些其他定理，由这些定理可以方便地推出基本定理。欧拉知道，存在这样的一些形式，它们包含形如x 2 -A 的数的全部质除数，并且，还有另外一些形式，它们包含形如x 2 -A 的所有是质数的非除数。这两种形式是互相不包含的。欧拉还知道求出这些形式的方法，但是他尝试做的所有证明的努力都失败了。不过，他通过归纳法使得定理更接近于真理。在一份标题为Novae demostrationes circa divisores numerorum formae xx ＋nyy 的研究报告中（他于1775年11月20日在圣彼得堡研究院宣读了这份研究报告，他死后，这份研究报告得以发表 [18] ） ，他似乎认为他已经完成了证明。但是，他无意中发现了错误，因为在第65页他心里预先假定存在这些形式的除数和非除数 [19] ，由此不难发现这些形式是什么。但是，他用来证明这一假设的方法似乎并不合适。在另一个文献De criteriis aequationis fxx ＋gyy ＝hzz utrum ea resolutionem admittat necne （这里f ，g ，h 是给定的，而x ，y ，z 是未知数） 中，通过归纳法，他发现，如果对于h ＝s 的一个值方程可解，那么，对于所有的对于模4fg 同余于s 的值（只要它是质数） ，该方程也可解。由这个定理，可以轻易地证明我们的假设。但是，尽管欧拉做出了各种努力，却未能获得这个定理的证明 [20] 。这并不奇怪，因为，我们的判断是这个定理的推导必须由基本定理开始。由下一章我们给出的结论可以自然而然地得出这个定理的正确性。
欧拉之后，著名的勒让德在他的优秀作品《不定分析研究》（Hist. Acad. Paris ，1785年，第465页及其后） 中积极地研究了同样的问题。他得到了与基本定理基本相同的定理。他这样叙述道：如果p ，q 是两个正的质数，那么，当p 或者q 其中一个的形式是4n ＋1时，方幂 和 分别对于模q 和p 的绝对最小剩余就同时为＋1或者-1；当p 和q 都是4n ＋3型时，其绝对最小剩余就是相反的。这个定理包含于条目131的定理中，由条目133里的定理1，定理3，定理9也可以推出。另一方面，由这个定理也可以推导出基本定理。勒让德还尝试了一种证明方法，因为它非常巧妙，我们下一章会花些篇幅介绍。然而，他在未证明的情况下假定了很多结论的成立。（他本人在第520页承认了这一点。其中有些结论至今也未能被任何人证明；还有一些结论，我们判断，必须借助基本定理自身才能证明，所以看起来他走的路是一条死路。因此，我们的证明理应作为对这个定理的第一个证明。下面我们还要给出这个最重要定理的另外两个证明 ，它们与前面的证明完全不同，它们之间也完全不同。）
