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到目前为止，我们已经讨论过最简形式的二阶同余方程x 2 ≡A （mod m ），我们还学会了判断方程是否有解。根据条目105，对方程根本身的研究，被简化为当m 要么是质数，要么是质数幂的情况；而通过对后者使用条目101中的结论，它也可以归结为m 是质数的情况。就这种情况来说，我们在条目61中所讨论的结论，以及我们在第5章准备做的讨论，就包括了几乎可以用直接法所推导出的结论。但是，当我们使用直接法的时候，它们比我们要在第6章讨论的间接法要冗长得多。因此，它们的意义不在于它们的实用性，而在于它们的优美。非最简形式的二阶同余方程可以轻松化简成最简形式的二阶同余方程。 假设给定同余方程
ax 2 ＋bx ＋c ≡0
求该方程对于模m 的根。下面这个同余方程和它是等价的
4a 2 x 2 ＋4abx ＋4ac ≡0（mod 4am ）
也就是说，满足任何一个方程的数都满足另外一个。第2个同余方程可以变换为形式
（2ax ＋b ）2 ≡b 2 -4ac （mod 4am ）
由此可以求出小于4am 的2ax ＋b 的所有的值，只要它们存在。如果我们用r ，r ′，r ″，…表示它们，求所给的同余方程的解可以简化为求同余方程的解
2ax ≡r -b ，2ax ≡r ′-b ，…（mod 4am ）
我们在第2章已经讨论了怎样求解。但是，我们发现通过一些方法可以简化求解过程。例如，我们可以找到一个等价的方程代替给定的同余方程
a ′x 2 ＋2b ′x ＋c ′≡0
其中a ′整除m 。由于篇幅所限，具体讨论参见最后1章。
[1] 实际上，在这里我们对这些术语赋予了不同于至今所用的含义。当r ≡a 2 （mod m ）时，我们应当说r 是平方数a 2 对模m 的剩余；但是，为了简洁，本章中我们就称r 是数m 本身的二次剩余，并且不会导致歧义。从现在起，只有当处理最小剩余时，我们才在“同余的数”的意义上使用“剩余”，而在这种情况下不可能产生任何歧义。
[2] 我们很快就能看出如何省去合数模。
[3] 因为小于2 n -2 的奇数有2 n -3 个。
[4] 参考第48页。
[5] 因此，当我们提到一个形如4n ＋1的数的剩余或者非剩余时，我们可以完全忽略它的符号，或者可以使用±号。
[6] 把-2看作＋2和-1的乘积（参考条目111 ）。
[7] 见第42页。
[8] 论文8，见第62页。
[9] 显然我们必须把＋1排除在外。
[10] 参考条目98 可知，a 2 是q 的剩余且不能被q 整除，否则质数p 就被q 整除，这是荒谬的。
[11] 如果r ≡-f ≡＋f （mod p ），2f 和2a 就能够被p 整除［因为f 2 ≡a （mod p ）］。除非p ＝2，否则这是不可能的，因为，根据假设a 和b 是互质的。但是我们已经讨论了这种情况。
[12] b 2 -r 2 ＝（b -r ）（b ＋r ）包含两个因数，一个因数能够被p 整除（根据假设），另一个因数能够被2整除（因为b 和r 都是奇数）；因而，b 2 -r 2 能够被2p 整除。
[13] 如果P ≡Q ≡3（mod 4），设l ＝1；其他情况设l ＝0。如果P 和Q 都是负数，设m ＝1；其他情况则设m ＝0。那么，这种关系依赖于l ＋m 。
[14] 如果没有因数来自于这几类，就用数1代替乘积。
[15] 这里“剩余”的含义与条目4中“剩余”的含义一致，通常取绝对最小剩余更好。
[16] 我们将这些数简单地称为x 2 -A 的除数；非除数的含义是显然的。
[17] 以后不计因数t 。
[18] Nova acta acad. Petrop ，1787，第47-74页。
[19] 也就是确实存在小于4A 且各不相同的数r ，r ′，r ″，…，n ，n ′，n ″…，使得x 2 -A 的所有质除数属于4Ak ＋r ，4Ak ＋r ′，…形式之一，并且所有是质数的非除数属于4Ak ＋n ，4Ak ＋n ′，…形式之一（k 是任意整数）。
[20] 正如他自己承认的（Opuscula Analytica ）：“即使那么多人花了那么长的时间研究这个定理的证明方法依然未果，大家仍未放弃寻找……任何成功找到它的证明方法的人应当被认为是最杰出的人。”这个伟大的人带着极大的热情寻找这个定理的证明方法，以及一些只是基本定理的特殊情况的证明，我们还可以在很多其他地方看到。
