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本章我们专门研究含有两个未知数x ，y 的形如ax 2 ＋2bxy ＋cy 2 的函数，其中a ，b ，c 是指定整数。我们将这些函数称为二次型 ，或简称为型 。这项研究是著名的求二次不定方程通解的问题的基础。两个未知数的值为整数或有理数。拉格朗日已经解决了这个问题，并且他和数学家欧拉还发现了跟型 的性质有关的很多结论。他们还为费马的一些早期发现提供了证明。然而，对型的性质的细致研究显示出许多新的结论，我们认为非常值得从头回顾这个课题——因为，这些学者的发现散布于不同的书籍，很少有学者知道它们；而且，我们研究这一课题所使用的方法是我们独创的，与众不同；最后，如果不对前人的发现重新阐述，读者就很难理解我们在原有的基础上新增的结论。我们相信，还有很多关于型的结论尚未为人发现，对于其余的人是一种挑战。在本书恰当的地方，我们会指出重要结论的历史。
当我们不关注未知数x ，y 时，我们用符号（a ，b ，c ）来表示型ax 2 ＋2bxy ＋cy 2 。因此，这个表达式表示三个被加项的和：给定的数a 与一个任意的未知数的平方的乘积，数b 与这个未知数以及另外一个未知数的乘积的两倍，最后是数c 与第2个未知数的平方的乘积。例如，（1，0，2）表示一个平方数与另一个平方数的两倍之和。如果只关注被加项本身 ，（a ，b ，c ）和（c ，b ，a ）表示相同的东西，然而，如果我们注意到被加项的顺序 ，它们就不同了。因而，我们必须仔细区分。这样做的好处我们以后会看得非常清楚。
