第3节 数M 由型（a ，b ，c ）表示时所属表达式 （mod M ）的值)
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现在μ （mb ＋nc ）-ν （ma ＋nb ）就是表达式 （mod M ）的一个值。但是，可以用无限多种方式确定数μ ，ν 的值，使得μm ＋νn ＝1，因此可以得到这个表达式的很多不同的值。让我们来审视一下它们之间的关系。设μm ＋νn ＝1，再设μ ′ m ＋ν ′n ＝1；并且令
用μ ′乘等式μm ＋νn ＝1，用μ 乘等式μ ′ m ＋ν ′n ＝1，再相减，我们得到μ ′-μ ＝n （μ ′ν -μν ′）。类似地，用ν ′乘第1个方程，用ν 乘第2个方程，再相减，我们得到ν ′-ν ＝m （μν ′-μ ′ν ）。由此，我们直接得到
或者υ ′≡υ （mod M ）。因此，不论如何确定μ ，ν ，公式μ （mb ＋nc ）-ν （ma ＋nb ）不可能给出 （mod M ）不同的（即不同余的） 值。因此，如果υ 是这个公式的一个值，我们就说数M 由型ax 2 ＋2bxy ＋cy 2 给出的表示（其中x ＝m ，y ＝n） 属于表达式 （mod M ）的值为υ 。并且，容易证明的是，如果这个公式的一个值是υ ，且υ ′≡υ （mod M ），则对于给出值υ 的数μ ，ν ，可以找到给出值υ ′的μ ′和v ′。为此只要设
我们就得到
μ ′m ＋ν ′n ＝μm ＋νn ＝1
那么，用μ ′和ν ′所找到的该公式的值就比用μ 和ν 所找到的值多（μ ′ν -μν ′）M ，它等于（μm ＋νn ）（υ ′-υ ），即υ ′-υ ，所以这个值就等于υ ′。
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如果同一个数M 在用同一个型（a ，b ，c ）表示时有两种表达式，在每个表达式中两个未知数的值都互质，那么，它们可以属于表达式 （mod M ）的同一个值或不同的值。令
并且
很清楚的是，如果
那么不论为μ ，ν 和μ ′，ν ′选取什么合适的值，同余式总是成立。在这种情况下，我们就说两个表达式都属于表达式 （mod M ）的相同 的值。但是，如果当μ ，ν 和μ ′，ν ′选取某些值时同余式不成立，那么它就对任何值都不成立，这两个表达式就属于不同 的值。现在，如果
我们就说这两种表达式属于表达式 （mod M ）的相反的值。当我们研究同一个数由具有相同行列式的不同 的型来表示时，我们会用到所有这些术语。
例：设要讨论的型为（3，7，-8），它的行列式为73。通过这个型我们可以得到数57的两种表达式
对于第一个表达式，我们可以取μ ＝2，v ＝-1，第1个表达式所属的表达式 （mod 57）的值就等于
通过类似的方式，如果我们设μ ＝2，v ＝-1，则可求得第2个表达式属于 （mod 57）的值为＋4。因此，这两个表达式属于相反的值。
在做任何深入探讨之前，我们指出，行列式为零的型将被排除在下面的研究之外，因为这种型只会破坏所得到的定理的简洁性，因而须要分别处理。
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如果带有未知数x ，y 的型F 通过
代换转变为带未知数x ′，y ′的型F ′，其中α ，β ，γ ，δ 为整数，我们就说前者包含 后者，或者后者包含于 前者。令型F 为
且型F ′为
那么我们有如下的三个等式
令第2个等式自乘，第1个等式乘以第3个等式，令两个乘积相减，我们得到
由此推出，型F ′的行列式能够被型F 的行列式整除，且这个商是一个平方数；显然，这两个行列式有相同的符号 。并且，如果型F ′也能够通过类似的替换变成型F ，即如果F ′包含于F ，F 也包含于F ′，这两个型的行列式就是相等的 [1] ，并且（αδ -βγ ）2 ＝1。在这种情况下，我们称这两个型相等 。因此，行列式相等是型相等的必要条件，却不是充要条件。如果αδ -βγ 是正数，就称代换x ＝αx ′＋βγ ′，y ＝γx ′＋δy ′是正常代换 ；如果αδ -βγ 是负数，就称代换x ＝αx ′＋βγ ′，y ＝γx ′＋δy ′是反常代换 。如果F 能够通过正常代换或者反常代换变换成型F ′，那么我们就说型F ′正常包含于或者反常包含于型F 。因此，如果F 与F ′等价，就有（αδ -βγ ）2 ＝1。如果该变换是正常变换，则有αδ -βγ ＝＋1；如果该变换是反常变换，则有αδ -βγ ＝-1。如果有若干个代换都是正常代换，或者都是反常代换，就称它们是同型的 代换。一个正常代换和一个反常代换被称为是不同型的 代换。
