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如果型（a ，b ，c ）包含型（a ′，b ′，c ′），那么，数a ，b ，c 的任意公约数就整除数a ′，b ′，c ′；且数a ，2b ，c 的任意公约数也能整除数a ′，2b ′，c ′。
因为，如果型ax 2 ＋2bxy ＋cy 2 通过代换x ＝αx ′＋βy ′，y ＝γx ′＋δy ′，可以变换成a ′x ′x ′＋2b ′x ′y ′＋c ′y ′y ′，我们得到下面的等式
由这些等式可以立即推出定理成立，为证明定理的第2部分，我们用2aαβ ＋2b （αδ ＋βγ ）＋2cγδ ＝2b ′代替第2个等式。
欧洲的算术三角
欧洲的算术三角虽然惯常被称为“帕斯卡三角”，但事实上，早在帕斯卡之前，欧洲知道算术三角者大有人在。据载，欧洲最早发表“算术三角”的是德国人阿皮安努斯（1495—1552年），他于1527年出版的算术书中就有9阶算术三角形图，后朔伊贝尔（1494—1570年）在他的《算术》中也记有算术三角（图上），还有塔尔塔利亚（1499—1557年）在他的《数的度量通论》中也记载了此类算术三角（图下）。
由此推出，数a ，b （2b ），c 的最大公约数也是整除数a ′，b ′（2b ′），c ′的最大公约数。进而，如果型（a ′，b ′，c ′）包含型（a ，b ，c ），即这两个型是等价的，那么，数a ，b （2b ），c 的最大公约数就等于数a ′，b ′（2b ′），c ′的最大公约数，因为二者必定互相整除。因此，在这种情况下，如果数a ，b （2b ），c 没有最大公约数，即最大公约数为1，那么数a ′，b ′（2b ′），c ′就也没有最大公约数。
