第8节 一个给定的型变换为另一个给定的型时所有可能的同型变换的关系
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问题
如果型A X 2 ＋2BXY ＋CY 2 （记为F） 包含型ax 2 ＋2bxy ＋cy 2 （记为f） ，且假设已经给出前一个型变换成后一个型的代换；试从这个代换求出所有其他的同型代换 。
解：设给定的代换是X ＝αx ＋βy ，Y ＝γx ＋δy ，且首先假设我们知道另一个与它同型的代换X ＝α ′x ＋β ′y ，Y ＝γ ′x ＋δ ′y 。我们来研究由此可以推出什么结论。用D 和d 分别表示F 和f 的行列式，令αδ -βγ ＝e ，α ′δ ′-β ′γ ′＝e ′。我们有d ＝D e 2 ＝D e ′2 （参考条目157） ，因为按照假设，e 和e ′的符号相同，所以e ＝e ′。我们还能得到下面的6个等式
为了简洁，我们用a ′，2b ′，c ′来表示下面3个数
我们从前面的等式推导出下面的新等式 [2]
加上2Dee ′＝2d ＝2b 2 -2ac ，我们得到
减去D （αδ -βγ ）（α ′δ ′-β ′γ ′）＝b 2 -ac 我们得到
我们假设数a ，2b ，c 的最大公约数为m ，且确定数 使得
（条目40） 。将等式［7］，［8］，［9］，［10］，［11］，［12］分别乘以 然后将乘积相加。现在，如果为了简洁，令
其中，显然，T 和U 是整数，我们就得到了
T 2 -DU 2 ＝m 2
因此，我们得到这条优雅的结论：从型F 到型f 的任意两个同型的变换，可以得到不定方程t 2 -Du 2 ＝m 2 的整数解 ，即t ＝T ，u ＝U 。但是，由于在我们的推理中，我们没有假设代换是不同的 ，所以把同一个代换做两次必定也能给出这个方程的一组解。在这种情况下，因为α ′＝α ，β ′＝β ，…，a ′＝a ，b ′＝b ，c ′＝c ，从而得到显然的解：T ＝m ，U ＝0。
现在，我们假设第1个代换和该不定方程的解是已知的。我们研究由此如何推导出其他的代换，或者说研究α ′，β ′，γ ′，δ ′如何依赖于α ，β ，γ ，δ ，T ，U 。首先，我们用δα ′-βγ ′乘以等式［1］，用αδ ′-γβ ′乘以等式［2］，αγ ′-γα ′乘以等式［3］，γα ′-αγ ′乘以等式［4］，并且把所有的乘积相加。结果我们得到
类似地，由
我们得到
最后，由
我们得到
把等式［15］，［16］，［17］这些值代入［13］，我们得到
也即
由它来计算T 要比用等式［13］计算T 容易得多。把它和等式［15］，等式［16］以及等式［17］组合起来，我们得到ma ′＝Ta ，2mb ′＝2Tb ，mc ′＝Tc 。在等式［7］~［12］中减去a ′，2b ′，c ′的这些值，并用m 2 ＋DU 2 来代替T 2 ，再经过适当处理，我们就得到
借助等式［14］以及 的帮助，我们容易推导出下面的等式（用 首先分别乘以第1、第2和第4个等式；再分别乘以第2、第3和第5个等式；最后分别乘以第4、第5和第6个等式，然后把这些乘积相加）
用mU [3] 除以这些等式，我们有
并且，由这些等式的任何一个可以比由［14］更容易得到U 的值。还可以由此推出，不论怎么确定 （有无穷多种方式确定它们） ，我们总是可以得到相同的T 和U 的值。
现在，如果用α 乘以［18］，用2β 乘以［19］，用-α 乘以［20］，再相加，我们得到
类似地，从β ·［18］＋β ·［20］-2α ·［21］得到
从γ ·［18］＋2δ ·［19］-γ ·［20］得到
最后，从δ ·［18］＋δ ·［20］-2γ ·［21］得到
如果我们将这些公式中的a ，b ，c 用等式［1］，［3］，［5］中的值代入，我们有
α ′m ＝αT -（αB ＋γC ）U
β ′m ＝βT -（βB ＋δC ）U
γ ′m ＝γT ＋（αA ＋γB ）U
δ ′m ＝δT ＋（βA ＋δB ）U [4]
从前面的分析可以推出，不存在从F 到f 的与给定的代换同型的变换，它不包含在以下的公式中
这里t ，u 表示所有满足等式t 2 -Du 2 ＝m 2 的任意整数。我们还不能断言满足等式的t ，u 的所有值代入公式（Ⅰ）中都能给出合适的代换。但是：
1．借助等式［1］，［3］，［5］以及等式t 2 -Du 2 ＝m 2 ，通过计算容易证明，总是可以通过替换t ，u 的任意值将型F 变换为型f 。我们略去这个计算过程，因为这个计算过程并不困难，却比较冗长。
2．从这个公式推导出的任何代换都一定与所给的代换同型。因为
3．如果型F 和f 的行列式不相等，那么，对于t 和u 的某些值，公式（Ⅰ）就会产生含有分数 的代换，这是必须要摒弃的。但是，其余所有的代换都是合适且唯一的代换。
4．如果型F 和f 的行列式相等，那么型F 和f 就是等价 的，公式（Ⅰ）就不会产生含有分数的代换。在这种情况下，公式（Ⅰ）就会给出问题的完整解。证明如下：
从前面的定理可知，在这种情况下m 就是数A ，2B ，C 的公约数。我们知道t 2 -Du 2 ＝m ，所以t 2 -B 2 u 2 ＝m 2 -ACu 2 ，因而t 2 -B 2 u 2 是可以被m 2 整除的。因此，4t 2 -4B 2 u 2 也可以被m 2 整除。因而，（因为2B 能够被m 整除） 4t 2 能够被m 2 整除。由此可以推出2（t ＋Bu ）/m ，2（t -Bu ）/m 都是整数；并且，实际上（因为它们之差 是偶数） ，它们都是偶数或者都是奇数。如果它们都是奇数，它们的乘积就是奇数，但是因为整数（我们已经证明了） （t 2 -B 2 u 2 ）/m 2 的平方数一定是偶数，所以这是不可能的。因此，2（t ＋Bu ）/m ，2（t -Bu ）/m 总是偶数，且（t ＋Bu ）/m 和（t -Bu ）/m 也是偶数。由此我们可以轻松地断定，公式（Ⅰ）的所有4个系数都总是整数。证明完毕。
从前面的结论我们可以断定，如果我们得到了方程式t 2 -Du 2 ＝m 2 的所有的解，我们就能推导出从型（A ，B ，C ）到型（a ，b ，c ）的与所给代换同型的所有代换。我们这里仅仅指出，当D 是负数或一个正的平方数时，方程的解的个数只有有限个。当D 是正数但不是平方数时，方程有无穷多个解。当这种情况发生，且D 不等于d （参考上面的第3种情况） 时，我们必须进一步找出事先可以区分不含分数代换的t 和u 的值与那些给出分数代换的t 和u 的值的方法。对于这种情况，我们在条目214给出另一种方法，能避免这种麻烦。
例：型x 2 ＋2y 2 可以通过正常代换x ＝2x ′＋7y ′，y ＝x ′＋5y ′，变换为型（6，24，99）。我们希望得到从前者变换为后者的所有正常代换。这里D ＝-2，m ＝3，因而要求解的等式是t 2 ＋2u 2 ＝9。有6组解满足这个方程，即分别是t ＝3，-3，1，-1，1，-1；u ＝0，0，2，2，-2，-2。第3组和第6组解给出的是分数系数代换，因而要摒弃。剩下的解给出了如下4个代换
这些代换里的第1组和所给的代换相同。
