第10节 关于一个型既正常又反常地包含于另一个型的情况的定理系
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定理
如果型Ax 2 ＋2Bxy ＋Cy 2 （记为F） 既正常又反常地包含型A ′x ′x ′＋2B ′x ′y ′＋C ′y ′y ′ （记为F ′） ，那么，可以找到一个包含于F 的歧型，它包含型F ′ 。
假设型F 通过代换x ＝αx ′＋βy ′，y ＝γx ′＋δy ′和另一个不同型的代换x ＝α ′x ′＋β ′y ′，y ＝γ ′x ′＋δ ′y ′变换为型F ′。
用e 和e ′分别记数αδ -βγ 和α ′δ ′-β ′γ ′，我们就得到了B ′B ′-A ′C ′＝e 2 （B 2 -AC ）＝e ′e ′（B 2 -AC ），因此，ee ＝e ′e ′，并且，根据假设e 和e ′的符号相反，得出e ＝-e ′或者e ＋e ′＝0。那么，如果在F ′中用δ ′x ″-β ′y ″代替x ′，用-γ ′x ″＋α ′y ″代替y ′，显然，可以得到的型和由F 按照下述方式所得到的型是同样的
变换1：x ＝α （δ ′x ″-β ′y ″）＋β （-γ ′x ″＋α ′y ″），即（αδ ′-βγ ′）x ″＋（βα ′-α ″）y ″
y ＝γ （δ ′x ″-β ′y ″）＋δ （-γ ′x ″＋α ′y ″），即（γδ ′-δγ ′）x ″＋（δα ′-γβ ′）y ″
变换2：x ＝α ′（δ ′x ″-β ′y ″）＋β ′（-γ ′x ″＋α ′y ″），即e ′x ″
y ＝γ ′（δ ′x ″-β ′y ″）＋δ ′（-γ ′x ″＋α ′y ″），即e ′y ″
因此，如果我们用a ，b ，c ，d 表示数αδ ′-βγ ′，βα ′-αβ ′，γδ ′-δγ ′，δα ′-γβ ′，则型F 可以通过下面两个代换
x ＝ax ″＋by ″，y ＝cx ″＋dy ″；x ＝e ′x ″，y ＝e ′y ″
变换为同样的型，并且我们就得到了下面3个等式
再从a ，b ，c ，d 的值，我们得到
因此，由d ·［1］-c ·［2］得
（Aa ＋Bc ）（ad -bc ）＝（Ad -Bc ）e ′e ′
因而
A （a ＋d ）＝0
进而，由（a ＋d ）·［2］-b ·［1］-c ·［3］得
因而
B （a ＋d ）＝0
最后，由a ·［3］-b ·［2］得
（Bb ＋Cd ）（ad -bc ）＝（-Bb ＋Ca ）e ′e ′
因而
C （a ＋d ）＝0
因此，由于A ，B ，C 不能全为零，所以一定有a ＋b ＝0或a ＝-d 。
由a ·［2］-b ·［1］我们可得
（Ba ＋Cc ）（ad -bc ）＝（Ba -Ab ）e ′e ′
并且，由此可得
由等式e ＋e ′＝0，a ＋d ＝0，即
可以推出
（α ＋α ′）（δ ＋δ ′）＝（β ＋β ′）（γ ＋γ ′）
或者
（α ＋α ′）∶（γ ＋γ ′）＝（β ＋β ′）∶（δ ＋δ ′）
设这个比例 [5] 的最简分数值为m ∶n ，其中m ，n 是彼此互质的数，选取μ ，ν使得μm ＋v n ＝1。进一步地，设r 是数a ，b ，c 的最大公约数，r 2 就可以整除a 2 ＋bc 或者bc -ad 或者e 2 ，因此，r 可以整除e 。接着，如果我们假设型F 通过代换
变换为型Mt 2 ＋2Ntu ＋Pu 2 （记为G） ，那么G 是一个包含F ′的歧型。
证明
1．为了证明型G 是歧型，我们须要证明
M （bμ 2 -2aμv -cv 2 ）＝2Nr
并且，因为r 可以整除数a ，b ，c ，所以（bμ 2 -2aμv -cv 2 ）/r 是整数，且2N 是M 的倍数。实际上，我们可得出
并且，通过计算，容易验证
那么，由于m （γ ＋γ ′）＝n （α ＋α ′），m （δ ＋δ ′）＝n （β ＋β ′），我们有m （2e ＋2a ）＝-2nb ，或者
按照相同的方式，我们得到
那么，由此可得n （2e -2a ）＝-2mc 或者
我们现在给m 2 （bμ 2 -2aμv -cv 2 ）加上下式
这个式子显然为零，因为
如果我们将乘积展开并相消，就得到了2mve ＋b 。因此
用同样的方法，将下式
加到mn （bμ 2 -2aμv -cv 2 ）上，我们就得到了
最后，将下式
加到n 2 （bμ 2 -2aμv -cv 2 ）上，我们得到
现在，由［9］［10］［11］，我们推导出
或者，由［6］得到
M （bμ 2 -2aμv -cv 2 ）＝2Nr
证明完毕。
2．为了证明型G 包含型F ′，我们首先须要证明，通过代换
可以把型G 变换为F ′。其次，再证明r （nα -mγ ）/e ，r （nβ -mδ ）/e 都是整数。
1）这是因为，如果假设
型F 就变成型G ，因而G 通过代换（S ）所变成的型与型F 通过代换
也即x ＝α （mμ ＋nv ）x ′＋β （mμ ＋nv ）y ′或者x ＝αx ′＋βy ′，y ＝γ （n v ＋mμ ）x ′＋δ （n v ＋mμ ）y ′或者y ＝γx ′＋δy ′所变成的型相同。通过这个代换，F 变换为F ′，因此，型G 通过代换（S ）就变成了F ′。
2）由e ，b ，d 的值我们可以求出α ′e ＋γb -αd ＝0，或者说，由于d ＝-a ，nα ′e ＋nαa ＋nγb ＝0；所以，使用［7］可以得到nα ′e ＋nαa ＝mγe ＋mγa ，即
此外，由于αn b ＝-αm （e ＋a ），γmb ＝-m （α ′e ＋αa ），因而
最后，用n 乘等式γ ′e -γa ＋ac ＝0，并用na 在式［8］中的值代入所得到的等式，就得到了
类似地有β ′e ＋δb -βd ＝0，或者nβ ′e ＋nδb ＋nβa ＝0，因而，根据式［7］就有nβ ′e ＋nβa ＝mδe ＋mδa ，也即
此外，有βn b ＝-βm （e ＋a ），δm b ＝-m （β ′e ＋βa ），故而
最后，将δ ′e -δa ＋βc ＝0乘以n ，并用na 在式［8］中的值代入所得到的等式，就得到
现在，由于数a ，b ，c 的最大公约数为r ，可以找到整数 满足
那么，由此以及式［12］，［13］，［14］；［15］，［16］，［17］得出
因而，r （nα -mγ ）/e ，r （nβ -mδ ）/e 是整数。证明完毕。
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例：通过x ＝4x ′＋11y ′，y ＝-x ′-2y ′，型3x 2 ＋14xy -4y 2 可以正常变换为-12x ′x ′-18x ′y ′＋39y ′y ′；又，通过x ＝-74x ′＋89x ′，y ＝15x ′-18y ′，型3x 2 ＋14xy -4y 2 可以反常变换为-12x ′x ′-18x ′y ′＋39y ′y ′。在这里，α ＋α ′，β ＋β ′，γ ＋γ ′，δ ＋δ ′分别为-70，100，14，-20；且-70∶14＝100∶-20＝5∶-1。因此，我们设m ＝5，n ＝-1，μ ＝0，v ＝-1。数a ，b ，c 分别是-237，-1170，48；它们的最大公约数r ＝3，最后得出e ＝3。所以，变换（S ）就是x ＝5t -u ，y ＝-t ，通过这个变换，型（3，7，-4）变换为它的歧型t 2 -16tu ＋3u 2 。
如果型F 和F ′等价，那么包含在F 中的型G 也包含在F ′中。但因为G 也包含F ′，所以G 与F ′等价，因而G 与F 也等价。在这种情况下，我们就可以把定理按照如下方式表述：
如果型F 和F ′既正常等价又反常等价，那么我们可以找到一个与它们都等价的歧型。在这种情况下，e ＝±1，且r ＝1，因为r 整除e 。
通过以上内容我们充分讨论了型的变换，现在我们接着讨论由型表示数的问题。
