第11节 关于由型表示数的一般性研究以及这些表示与代换的关系
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如果型F 包含型F ′，那么任何可以由F ′表示的数也可以由F 表示。
设型F 和型F ′的未知数分别是x ，y ，x ′，y ′，并且，令x ′＝m ，y ′＝n ，则数M 可以由型F ′表示。设型F 可以通过代换
变换为型F ′。显然，如果我们令
F 就可以变换为M 。
如果M 可以由型F ′以各种方式表示，例如，也可以通过设x ′＝m ′，y ′＝n ′，那么，就能推出由F 表示M 的不同的表示法。因为，如果有
可由此推出，我们要么得到αδ -βγ ＝0，而这与型F 的行列式不为0的假设矛盾；要么得到m ＝m ′，n ＝n ′。由此推出，F 表示M 的方式至少与F ′表示M 的方式一样多。
因此，如果F 包含F ′，且F ′包含F ，即F 和F ′等价，而数M 可以由其中一个型表示，那么它也可以由另一个型表示，且两者的表示数同样多。
最后，我们指出数m ，n 的最大公约数，等于数αm ＋βn ，γm ＋δn 的最大公约数。令这个数为Δ，选取数μ ，v 使得μm ＋v n ＝Δ，那么我们就有
因此，数αm ＋βn 和γm ＋δn 的最大公约数整除Δ，并且Δ也整除这个除数；因为，显然Δ整除数αm ＋βn 和数γm ＋δn 。因此，这两个最大公约数相等。特别地，当m ，n 互质时，数αm ＋βn 和数γm ＋δn 也互质。
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定理
如果型
等价，它们的行列式等于D ，且如果第2个型可以通过代换
变换为第1个型，此外，如果数M 既可以由型F 通过取x ＝m ，y ＝n 表示，也可以由型F ′通过取x ′＝αm ＋βn ＝m ′，y ′＝γm ＋δn ＝n ′表示，且m 与n 互质——事实上m ′与n ′也互质，那么，这两个表示要么属于表达式 （mod M ）的同一个值，要么属于它的相反的值，这对应于型F ′变换为F 的方式是正常变换还是反常变换。
证明
令数μ ，v ，使得μm ＋vn ＝1，并且令
（它们都是整数，因为αδ -βγ ＝±1） ；那么，我们就有μ ′m ′＋v ′n ′＝1（参考上个条目的结尾）
进一步设
V 和V ′分别是第1个和第2个表示法所属的表达式 （mod M ）的值。如果在V ′中用μ ′，v ′，m ′，n ′的值代替它们；在V 中，用a ′α 2 ＋2b ′αγ ＋c ′γ 2 代替a ，用a ′αβ ＋b ′（αδ ＋βγ ）＋c ′γδ 代替b ，用a ′β 2 ＋2b ′βδ ＋c ′δ 2 代替c ，通过计算得到V ＝V ′（αδ -βγ ）。
因此，对应于αδ -βγ ＝＋1或者αδ -βγ ＝-1，就有V ＝V ′或者V ＝-V ′；即，这两个表示属于表达式 （mod M ）相同的值还是相反的值，取决于型F ′变换为型F 是正常变换还是反常变换。证明完毕。
因此，如果数M 由型（a ，b ，c ）通过未知数x ，y 取互质的值表示时有若干个表示法，并且这些表示法属于表达式 （mod M ）的不同的值，那么型（a ′，b ′，c ′）给出的相应的表示法就分别属于相同的值。如果对于某一个型，不存在数M 的表示法属于某个给定的值，那么对于任何与它等价的型，也都不存在属于这个值的表示法。
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定理
如果数M 可以由型ax 2 ＋2bxy ＋cy 2 表示，其中未知数x ，y 取互质的值，并且如果这个表示法属于表达式 （mod M ）的值N ，那么型（a ，b ，c ）与型 是正常等价的。
证明
由条目155可知，我们能够找出整数μv ，使得
由此，通过代换x ＝mx ′-vy ′，y ＝nx ′＋μy ′（显然它是正常的） ，型（a ，b ，c ）就变换成了行列式为D （mμ ＋nv ）2 ＝D 的型，也就是变成了一个等价的型。如果我们假定这个型为 ，我们就得到了
那么，通过变换，型（a ，b ，c ）就变成了型 。证明完毕。
此外，由等式
我们可以推出
因此，这些数都是整数。
我们必须指出，如果M ＝0，则这个定理不成立，因为此时项 就是不确定的 [6] 。
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如果数M 由型（a ，b ，c ）表示时有若干个表示法，且它们都属于表达式 （mod M ）的同样的值N （我们总是假定x ，y 是互质的） ，那么，我们可以由这些表示法推导出把型（a ，b ，c ）（记为F） 变换为型 （记为G） 的若干个正常代换。因为，如果这样的表示是通过取x ＝m ′，y ＝n ′得到的，那么型F 就可以通过代换
变换为G 。反过来，对于将型F 变换为型G 的每个正常代换，数M 都会有由型F 给出的一个属于值N 的表示。即，如果通过取值x ＝mx ′-vy ′，y ＝nx ′＋μy ′，型F 变换为型G ，那么取x ＝m ，y ＝n ，数M 就可以由型F 表示。又因为mμ ＋n v ＝1，所以此表示所属的表达式 （mod M ）的值就是μ （bm ＋cn ）-v （am ＋bn ），即N 。有多少个不同的正常代换，就会得出多少个属于N 的表示 [7] 。如果我们找到了将型F 变换为型G 的所有的正常代换，那么从它们可以得出数M 由F 给出的所有属于值N 的表示法。因此，研究由给定的型表示给定的数的问题（其中不确定值都互质） 就简化成求出一个型变换为另一个给定的与之等价的型的所有正常变换的问题。
将条目162的结论应用于此处，容易得出以下结论：如果数M 的一个由型F 给出的属于值N 的表示是x ＝α ，y ＝γ ，那么这个数由型F 给出的属于值N 的所有表示的一般公式就是
其中，m 是数a ，2b ，c 的最大公约数，而t ，u 是满足方程t 2 -Du 2 ＝m 2 的所有的数对。
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如果型（a ，b ，c ）等价于一个歧型，从而既正常又反常地等价于型（M ，N ， ），或者正常等价于型 和型 ，我们就得到了数M 由型F 给出的属于值N 和-N 的两个表示。反过来，如果我们得到了数M 由型F 给出的属于值N 和-N 的两个表示（它们是属于表达式 （mod M） 的两个相反的值 ），型F 就既正常又反常地等价于型G ，我们就能找到一个与型F 等价的歧型。
这些关于型表示数的一般性讨论对于目前已经够用了。我们下面接着讨论由不互质的未知数给出的表示。就其他性质来说，对于行列式为负的型与行列式为正的型，讨论方法大不相同。我们分别讨论这两种情况，由于前者的讨论相对容易些，我们先讨论前者。
