171
问题
给定一个行列式为-D 的型（a ，b ，a ′），D 是一个正数，求与之正常等价的型（A ，B ，C ），其中A 不大于 或C ，且不小于2B 。
解：我们假设对于所给的型三个条件不同时成立，因为如果三个条件都同时成立，就没有必要求得另一个型。设b ′为数-b 对于模a ′ [8] 的绝对最小剩余，且a ″＝（b ′b ′＋D ）/a ′，其中a ″是整数，因为b ′2 ≡b 2 ，b ′2 ＋D ≡b 2 ＋D ≡aa ′≡0（mod a ′）。如果a ″＜a ′，设b ″是-b ′对于模a ″的绝对最小剩余，且a ＝（b ″b ″＋D ）/a ″。如果a ＜a ″，再设b 是-b ″对于模a 的绝对最小剩余，且a'''' ＝（b b ＋D ）/a 。继续这个过程，直到在数列a ′，a ″，a ，…中出现项a m ＋1 ，它不小于前面的项a m 。该数列最终一定会如此，否则，这个数列就会出现无限个递减的整数项。那么，型（a m ，b m ，a m ＋1 ）就满足所有条件。
证明
1．在型（a ，b ，a ′），（a ′，b ′，a ″），（a ″，b ″，a ），…构成的数列中，每个型都是它前面的型的邻型，因此，最后1个型就与第1个型正常等价（参考条目159 ，160 ） 。
2．因为b m 是-b m -1 对于模a m 的绝对最小剩余，所以b m 不大于 （条目4） 。
3．因为a m a m ＋1 ＝D ＋b m b m ，且a m ＋1 不小于a m ，a m a m 就不大于D ＋b m b m ，并且因为b m 不大于 ，a m a m 就不大于 ， 就不大于D ，最后a m 就不大于 。
例：给定型（304，217，155），其行列式为-31，我们求得下列由型构成的序列
（304，217，155），（155，-62，25），（25，12，7），（7，2，5），（5，-2，7）
最后一个型就是我们要找的。类似地，对于给定的行列式为-19的型（121，49，20），我们求得等价的型为（20，-9，5），（5，-1，4），（4，1，5），那么（4，1，5）就是我们要求的型。
我们把像（A ，B ，C ）这样的行列式为负，A 不大于 或C ，且不小于2B 的型称为约化型 。对于任何一个行列式为负的型，都能找到一个与之正常等价的约化型。
172
问题
找出使得两个行列式同为-D 但自身不相同的约化型（a ，b ，c ），（a ′，b ′，c ′）正常等价的条件。
解：我们假设（这是合理的） a ′不大于a ，且型ax 2 ＋2bxy ＋cy 2 可以通过正常代换x ＝αx ′＋βy ′，y ＝γx ′＋δy ′变换为a ′x ′x ′＋2b ′x ′y ′＋c ′y ′y ′。那么，我们就得到以下等式
aα 2 ＋2bαγ ＋cγ 2 ＝a ′ ［1］
aαβ ＋b （αδ ＋βγ ）＋cγδ ＝b ′ ［2］
αδ -βγ ＝1 ［3］
由式［1］得aa ′＝（aa ＋bγ ）2 ＋Dγ 2 ，所以aa ′是正数；并且因为ac ＝D ＋b 2 ，a ′c ′＝D ＋b ′b ′，ac 和a ′c ′都是正数，所以，a ，a ′，c ，c ′的符号都一样。但是，a 和a ′都不大于 ，因此，aa ′就不大于 ；且Dγ 2 （等于aa ′-（aα ＋bγ） 2 ）更不会大于 。因此，γ 就要么等于0，要么等于±1。
1．如果γ ＝0，由式［3］可以推出，要么α ＝1，δ ＝1，要么α ＝-1，δ ＝-1。不论哪种情况，我们都可以从式［1］得到a ′＝a ，从式［2］得到b ′-b ＝±βa 。但是b 不大于 ，且b ′不大于 ，因而也不大于 。因此，等式b ′-b ＝±βa 只有在以下情形才能成立：
要么b ＝b ′，由此可以推出c ′＝（b ′b ′＋D ）/a ′＝（b 2 ＋D ）/a ＝c ，并且型（a ，b ，c ）和型（a ′，b ′，c ′）完全相同，这与假设相矛盾。
要么b ＝-b ′＝± 。在这种情况下，c ′＝c ，且型（a ′，b ′，c ′）就是型（a ，-b ，c ），即，型（a ′，b ′，c ′）是与型（a ，b ，c ）相反的型。因为2b ＝±a ，所以这些型都是歧型。
2．如果γ ＝±1，我们从式［1］可得aα 2 ＋c -a ′＝±2bα 。但是c 不小于a ，因此c 也不小于a ′，所以aα 2 ＋c -a ′或2bα 就一定不小于aα 2 。由于2b 不大于a ，α 就不小于α 2 ，因此，必定有α ＝0或者α ＝±1。
1）如果α ＝0，从式［1］可得a ′＝c ，且由于a 是既不大于c ，又不小于a ′的数，所以一定有a ′＝a ＝c 。进一步从式［3］我们得到βγ ＝-1；因此，从式［2］得到b ＋b ′＝±δc ＝±δa 。如同上面的讨论，可以推出：要么b ＝b ′，这种情况下型（a ，b ，c ）和型（a ′，b ′，c ′）完全相同，这与假设相矛盾；要么b ＝-b ′，这种情况下型（a ，b ，c ）和型（a ′，b ′，c ′）是相反的型。
2）如果α ＝±1，由式［1］可以推出±2b ＝a ＋c -a ′。并且，因为a 和c 都不小于a ′，2b 就既不小于a 也不小于c 。而2b 同时既不大于a 也不大于c ，所以必然有±2b ＝a ＝c 。因此，从等式±2b ＝a ＋c -a ′知，±2b 也等于a ′。因此，从式［2］可得
b ′＝a （αβ ＋γδ ）＋b （αδ ＋βγ ）
或者，因为αδ -βγ ＝1，那么
b ′-b ＝a （αβ ＋γδ ）＋2bβγ ＝（αβ ＋γδ ±βγ ）
因此，如同前面的结论，必然有：要么b ＝b ′，那么这种情况下型（a ，b ，c ）和型（a ′，b ′，c ′）完全相同，这与假设相矛盾；要么b ＝-b ′，这种情况下型（a ，b ，c ）和型（a ′，b ′，c ′）是相反的型，并且，由于a ＝±2b ，所以这种情况下二者又是歧型。
由以上所有讨论可推出，型（a ，b ，c ）和型（a ′，b ′，c ′）不可能是正常等价的，除非它们是相反的型；同时，要么它们是歧型，要么a ＝c ＝a ′＝c ′。如前所述，明显型（a ，b ，c ）和型（a ′，b ′，c ′）是正常等价的。因为，如果它们相反，就必须是反常等价的，并且如果它们还是歧型，它们还必须是正常等价的。如果a ＝c ，型 就是型（a ，b ，c ）的一个邻型。但是，由于型D ＋b 2 ＝ac ＝a 2 ，我们得到［D ＋（a -b ）2 ］/a ＝2a -2b 。又因为（2a -2b ，a -b ，a ）是歧型，所以型（a ，b ，c ）和与它相反的型也是正常等价的。
什么时候两个不相反的约化型（a ，b ，c ）和（a ′，b ′，c ′）可以反常等价也不难判断。如果两个不相同的型（a ，b ，c ）和（a ′，-b ′，c ′）正常等价，则二者反常等价。这个命题的逆命题也成立。那么，给定的两个型为反常等价的条件是：它们是相同的型；而且，要么它们是歧型，要么a ＝c 。两个既不相同又不相反的约化型既不可能正常等价，也不可能反常等价。
173
问题
给定两个行列式为负且相等的型F 和F ′，研究它们是否等价。
解：假设我们求出两个分别与F 和F ′正常等价的约化型f 和f ′，如果f 和f ′正常等价或者反常等价或者既正常等价又反常等价，那么F 和F ′亦然。但是，如果f 和f ′不以任何方式等价，则F 和F ′亦不等价。以下几种情况要区分清楚：
代数学
作为算术发展成果之一的代数学，是研究数、数量、关系、结构与代数方程的数学分支，也是数学中最重要的基础分支之一，它分为初等代数学和抽象代数学两部分。其思路可概括为：通过引进未知数，根据问题条件列出方程，再由方程求解未知数。图为波斯数学家阿尔·花剌子模的《代数学》书页。
1．如果f 和f ′既不相同又不相反，那么F 和F ′就不以任何方式等价。
2．首先，如果f 和f ′相同或相反；其次，如果f 和f ′都是歧型，或者它们的外项相等，那么F 和F ′就正常等价或反常等价。
3．如果f 和f ′相同但不是歧型，且它们的外项不相等，那么F 和F ′就只是正常等价。
4．如果f 和f ′相反但不是歧型，且它们的外项不相等，那么F 和F ′就只是反常等价。
例：型（41，35，30）和（7，18，47）的行列式都是-5，求得约化型为（1，0，5）和（2，1，3），且二者是不等价的，因此对应的原型也不以任何方式等价。又如，型（23，38，63）和（15，20，27）等价于相同的约化型（2，1，3），并且约化型是歧型，因此型（23，38，63）和（15，20，27）既正常等价又反常等价。型（37，53，78）和（53，73，102）等价于约化型（9，2，9）和（9，-2，9），由于这两个约化型是相反的型，且它们的外项都相等，所以给出的型既是正常等价又是反常等价的。
174
给定行列式为-D 的约化型的个数总是有限的，且与数D 本身的关系不大。有两种方法可以求出这些型。我们用（a ，b ，c ）表示行列式为-D 的约化型。因此，我们要确定a ，b ，c 的值。
第1种方法。取不大于 且以-D 为二次剩余的所有的正数和负数为a 。对于每个a ，设b 依次等于表达式 （mod a ）的不大于 的所有的值，正值和负值都要用到。对于a ，b 的每对值，令 。如果以这种方法得到的任何型使得c ＜a ，就去掉这些型。显然，剩下的都是约化型。
第2种方法。取所有不大于 或 的正数和负数为b 。对于每个b ，用所有可能的方法拆分b 2 ＋D ，使其成为都不小于2b 的因数对（应当区分符号） 。设其中一个因数（两个因数如不相等则取较小的那个） 为a ，设另一个为c 。由于a 不大于 ，显然所有这样的型就是约化型。最后，显然不存在两种方法都求不出的约化型。
例：设D ＝85。a 的值的上限是 ，这个数位于10和11之间。数1和10之间以-85为剩余的数是1，2，5，10。那么，我们就得到12个型：（1，0，85），（2，1，43），（2，-1，43），（5，0，17），（10，5，11），（10，-5，11）；（-1，0，-85），（-2，1，-43），（-2，-1，-43），（-5，0，-17），（-10，5，-11），（-10，-5，-11）。
根据第2种方法，b 的上限是 ，这个数位于5和6之间。由b ＝0得出下列型：（1，0，85），（-1，0，-85），（5，0，17），（-5，0，-17）。
由b ＝±1得到这些型：（2，±1，43），（-2，±1，-43）。
对于b ＝±2，没有对应的型，因为89不能拆分成两个都不小于4的因数。对于b ＝±3，也是如此。对于b ＝±5，我们有（10，±5，11）和（-10，±5，-11）。
175
如果在给定行列式的所有约化型中，我们从每两个正常等价但不相等的二次型中去掉其中任意一个型，那么剩下的那些型有如下显著的性质：具有该行列式的任意一个型都必定与它们中的一个且仅与其中的一个正常等价（否则的话，其中就会有某个型，使得这些型中有与它正常等价的型） 。因此可知，有相同的行列式的所有型可以划分为若干类，类别的个数就等于上述做法剩下的型的个数 。也就是说，那些正常等价于相同的约化型的型归为同一个类别。因此，对于D ＝85，剩下的型是（1，0，85），（2，1，43），（5，0，17），（10，5，11），（-1，0，-85），（-2，1，-43），（-5，0，-17），（-10，5，-11），所以行列式为-85的所有型可以划分为8类，每一类分别与约化型对应。显然，同一类的型都正常等价，不同类的型不能正常等价。以后我们会更加详细地讨论型的分类，这里我们仅指出一点。我们上面证明了，如果型（a ，b ，c ）的行列式为负，等于-D ，那么a 和c 就有相同的符号（因为ac ＝b 2 ＋D ，所以它是正的） 。根据同样的理由可知，如果型（a ，b ，c ）和（a ′，b ′，c ′）等价，所有的项a ，c ，a ′，c ′的符号相同。因为，如果型（a ，b ，c ）通过代换x ＝αx ′＋βy ′，y ＝γx ′＋δy ′变换为（a ′，b ′，c ′），我们有aα 2 ＋2bαγ ＋cγ 2 ＝a ′，由此得aa ′＝（aα ＋bβ ）2 ＋Dγ 2 ，aa ′当然不是负数。因为a 和a ′都不等于0，所以aa ′就是正数，即a 和a ′的符号相同。
因此，外项为正数的型与外项为负数的型完全分开，我们只考虑那些外项为正的约化型就足够了，因为外项为负数的型与外项为正数的型的个数相等，改变外项为正数的型的外项的符号就可以得到外项为负数的型。对于约化型中去掉的或保留的型，这个结论同样成立。
176
下面给出了行列式为某些负数（-D ）的型的表格。根据这些型，有相同行列式的所有其他的型都可以被分成对应的类。注意，根据上一条目的说明，我们只列出了其中的一半，即只列出了外项为正数的那些型。
继续往下写这张表是多余的，因为后面我们会给出一种更加适合的排表方法。
由这张表可知，对于任何行列式为-1的型，如果它的外项为正，就等价于型x 2 ＋y 2 ；如果它的外项为负，就等价于型-x 2 -y 2 。对于任何行列式为-2的型，如果它的外项为正，就等价于型x 2 ＋y 2 。对于任何行列式为-11的型，如果它的外项为正，就等价于下列型中的一个：x 2 ＋11y 2 ，2x 2 ＋2xy ＋6y 2 ，3x 2 ＋2xy ＋4y 2 ，3x 2 -2xy ＋4y 2 。
177
问题
有一组型，其中每个型从右边相邻其前一个型，我们要寻求把第1个型变成该序列中任何一个型的正常代换。
解：设这些给定的型是（a ，b ，a ′）＝F ，（a ′，b ′，a ″）＝F ′，（a ″，b ″，a ）＝F ″，（a ，b ，a'''' ）＝F ，…。
用h ′，h ″，h ，…分别表示 ，…。设型F ，F ′，F ″…中的未知数分别为x ，y ，x ′，y ′，x ″，y ″，…。假设F 通过代换x ＝α ′x ′＋β ′y ′，y ＝γ ′x ′＋δ ′y ′变换成F ′，通过代换x ＝α ″x ″＋β ″y ″，y ＝γ ″x ″＋δ ″y ″变换成F ″，通过代换x ＝α x ＋β y ，y ＝γ x ＋δ y 变换成F ，…，那么，因为（条目160） F 通过代换x ＝-y ′，y ＝x ′＋h ′y ′变换成F ′，F ′通过代换x ′＝-y ″，y ′＝x ″＋h ″y ″变换成F ″，F ″通过代换x ″＝-y ，y ″＝x ＋h y 变换成F ，…，我们容易得到下面的算法（条目159）
或者
不难发现，这些代换都是正常代换，原因在于这些代换的构造方法，或者由条目159也可以看出这一点。
这个算法非常简单，尤其适合于计算。它与条目27中的算法类似，甚至可以简化为条目27中的算法。这个解法并不局限于行列式为负的型，而是可以应用于所有的情况，只要数a ′，a ″，a ，…都不为零。
178
问题
给定两个正常等价的型，它们具有相同的负的行列式，求其中一个型变换成另一个型的正常代换。
解：我们假设型F 是（A ，B ，A ′），根据条目171中的方法，我们求出一系列型（A ′，B ′，A ″），（A ″，B ″，A ），…，直到求得一个约化型（A m ，B m ，A m ＋1 ）；类似地，假设型f 是（a ，b ，a ′），根据同样的方法，我们求出一系列型（a ′，b ′，a ″），（a ″，b ″，a ），…，直到求得一个约化型（a n ，b n ，a n ＋1 ）。我们能识别两种情况。
1．如果型（A m ，B m ，A m ＋1 ），（a n ，b n ，a n ＋1 ）要么相同，要么相反，且同时是歧型，那么型（A m -1 ，B m -1 ，A m ），（a n ，-b n -1 ，a n -1 ）就是邻型（这里A m -1 表示数列A ，A ′，A ″，…，A m 中的倒数第二项。类似地，B m -1 ，a n -1 ，b n -1 也有这样的定义） 。因为A m ＝a n ，B m -1 ＝-B m （mod A m ），b n -1 ＝-b n （mod a n 或A m ），所以，B m -1 -b n -1 ≡b n -B m 。但是，如果型（A m ，B m ，A m ＋1 ），（a n ，b n ，a n ＋1 ）是相同的型，则B m -1 -b n ＋1 ≡0；如果（A m ，B m ，A m ＋1 ），（a n ，b n ，a n ＋1 ）是相反的型，且为歧型，则B m -1 -b n -1 ≡2b n ≡0。因此，在由型
构成的序列中，每个型都与它的前一个型相邻。根据上个条目，能够找到一个正常变换使得第1个型F 变换为最后1个型f 。
2．如果型（A m ，B m ，A m ＋1 ），（a n ，b n ，a n ＋1 ）不是相同而是相反的，且同时A m ＝A m ＋1 ＝a n ＝a n ＋1 ，那么，由型构成的序列
就具有相同的性质。因为A m ＋1 ＝a n ，且B m -b n -1 ＝-（b n ＋b n -1 ）能够被a n 整除。因而，根据上一个条目，可以求得由第1个型F 变换成最后1个型f 的正常代换。
例：对于型（23，38，63），（15，20，27），我们有序列（23，38，63），（63，25，10），（10，5，3），（3，1，2），（2，-7，27），（27，-20，15），（15，20，27）。因此，得出：h ′＝1，h ″＝3，h ＝2，h'''' ＝-3，h''''' ＝-1，h'''''' ＝0。那么，型23x 2 ＋76xy ＋63y 2 变换为15t 2 ＋40tu ＋27u 2 的代换是x ＝-13t -18u ，y ＝8t ＋11u 。
由这个问题的解可以得出下一个问题的解：如果型F 和f 反常等价，求型F 变换成型f 的反常代换。因为，如果f ＝at 2 ＋2btu ＋a ′u 2 ，与f 相反的型ap 2 -2bpq ＋a ′q 2 就正常等价于F 。我们只要求得一个由型F 变换为型ap 2 -2bpq ＋a ′q 2 的正常代换即可。设这个代换为x ＝αp ＋βq ，y ＝γp ＋δq ，显然，F 就可以通过代换x ＝αt -βu ，y ＝γt -δu 变换成f ；并且这是一个反常代换。
179
问题
如果型F 和f 等价，求出型F 变换为f 的所有代换。
解：如果型F ，f 仅以一种方式等价，即仅正常等价或仅反常等价，那么，按照上一条目，我们可以求得一个代换把型F 变成f 。显然，除了与这个代换同型的代换之外，不存在其他代换。如果型F 和f 既正常等价又反常等价，我们可以求得两个代换把型F 变成f ，一个正常代换，一个反常代换。设型F ＝（A ，B ，C ），B 2 -AC ＝-D ，令数A ，2B ，C 的最大公约数等于m 。那么，由条目162可知，在型F 和f 仅以一种方式等价的情况下，把型F 变成f 的所有代换可以由一种代换推导出；在型F 和f 既正常等价又反常等价的情况下，把型F 变成f 的所有正常代换可以由一种正常代换推导出，把型F 变成f 的所有反常代换都可以由一种反常代换推导出但所有的前提是我们有了方程t 2 ＋Du 2 ＝m 2 的全部解，只要我们求出了这些解，就解决了这个问题。
我们有D ＝AC -B 2 ，4D ＝4AC -4B 2 ，因此 就是一个整数。现在，我们要讨论以下几种情况：
1．如果 ＞4，那么D ＞m 2 。因此，在等式t 2 ＋Du 2 ＝m 2 中，u 一定为0，且t 只能有两个值，＋m 或-m 。因此，如果F 和f 只以一种方式等价，且如果我们有代换
x ＝αx ′＋βy ′，y ＝γx ′＋δy ′
那么，除了由t ＝m （条目162） 得到的这个代换，以及变换
x ＝-αx ′-βy ′，y ＝-γx ′-δy ′
外，不存在其他代换。但是，如果F 和f 既正常等价，又反常等价，且我们有一个正常代换
x ＝αx ′＋βy ′，y ＝γx ′＋δy ′
和一个反常代换
x ＝α ′x ′＋β ′y ′，y ＝γ ′x ′＋δ ′y ′
那么，除了这两个代换（它们是取t ＝m 得到的） 和下面两个代换
x ＝-αx ′-βy ′，y ＝-γx ′-δy ′
x ＝-α ′x ′-β ′y ′，y ＝-γ ′x ′-δ ′y ′
（它们是取t ＝-m 得到的，一个是正常代换，一个是反常代换） 之外，不存在其他代换。
2．如果 或D ＝m 2 ，则方程t 2 ＋Du 2 ＝m 2 有4组解：m ，0；-m ，0；0，1；0，-1。如果F ，f 仅以一种方式等价，且我们有代换
x ＝αx ′＋βy ′，y ＝γx ′＋δy ′
那么一共就有4个代换
x ＝±αx ′＋βy ′，y ＝±γx ′±δy ′
如果F 和f 以两种方式等价，那也就是说，除了给出的变换之外，还有另外一个与之不同型的代换，那么它同样可以产生出4个代换。它们与前面那4个代换是不同型的代换，这样一共就有8个代换。实际上，在这种情况下，我们容易证明型F 和f 总是以两种方式等价。因为，由于D ＝m 2 ＝AC -B 2 ，m 就整除B 。型（ ， ， ）的行列式就等于-1，因而型（1，0，1）或（-1，0，-1）就与之等价。进而，容易发现的是，把（ ， ， ）变换成（±1，0，±1）的代换同样可以把型（A ，B ，C ）变换成（±m ，0，±m ）这个歧型。因而，与一个歧型等价的型（A ，B ，C ）和任何与之等价的型既正常等价，又反常等价。
3．如果 或4D ＝3m 2 ，那么m 就是偶数，等式t 2 ＋Du 2 ＝m 2 就有6组解
m ，0；-m ，0； m ，1；- m ，-1； m ，-1；- m ，1
因此，如果把型F 变成f ，我们就有2组不同型的代换
x ＝αx ′＋βy ′，y ＝γx ′＋δy ′
x ＝α ′x ′＋β ′y ′，y ＝γ ′x ′＋δ ′y ′
那么，一共有12个代换，其中6个与第1组代换同型
还有6个与第2组代换同型，用α ′，β ′，γ ′，δ ′分别代替α ，β ，γ ，δ 可以推导出这6组代换。
为了证明在这种情况下F 和f 总是既正常等价又反常等价，我们做如下讨论。假设型（ ， ， ）的行列式就等于 ，那么这个型（条目176） 要么等价于型（±1，0，±3），要么等价于型（±2，±1，±2）。因此，型（A ，B ，C ）就要么等价于型（± ，0， ），要么等价于型（±m ， ，±m ） [9] 。由于这两个型都是歧型，所以任何与型（A ，B ，C ）等价的型都与它以两种方式等价。
4．如果我们假设 ，我们有 ，因此 ≡2（mod 4）。但是，由于任何平方数都不可能同余于2（mod 4），所以这种情况不可能发生。
5．如果假设 ，我们有 ≡-1（mod 4）。但这也是不可能的，所以这种情况也不可能发生。
由于D 不可能小于或等于0，所以以上就是全部的情况。
180
问题
通过型ax 2 ＋2bxy ＋cy 2 （记为F ） 求出给定的数M 的所有表示，其中型的行列式-D 为负数，x ，y 的值互质。
解：由条目154可知，除非-D 是M 的二次剩余，否则M 不能用这种方式表示。因此，我们首先来求出表达式- （mod M ）的所有不同（即不同余） 的值。设这些值为N ，-N ，N ′，-N ′，N ″，-N ″，…，为了简化计算，所有的N ，N ′，…都可以这样来确定，使得它们都不大于 。由于每种表示应当属于这些值中的一个，我们分别讨论每一个值。
如果型F 和（M ，N ， ）不是正常等价，M 的表示不可能属于N 的值（条目168） 。如果型F 和（M ，N ， ）正常等价，我们要求出把型F 变换为
的一个正常代换。
假设这个正常代换为
x ＝αx ′＋βy ′，y ＝γx ′＋δy ′
并且，我们得到x ＝α ，y ＝γ 作为数M 的通过型F 给出的属于值N 的表示。令数A ，2B ，C 的最大公约数为m ，我们须要区分这3种情况（条目179） ：
1．如果 ＞4，则除了以下2个表示（条目169，条目179）
x ＝α ，y ＝γ ；x ＝-α ，y ＝-γ
之外，不可能有其他属于值N 的表示。
2．如果 ＝4，我们有4种表示
3．如果 ＝3，我们有6种表示
x ＝±α ，y ＝±γ
用同样的方法，我们可以求出属于值-N ，N ′，-N ′，…的表示。
181
如果我们要求由型F 给出的数M 的表示，而这时x ，y 的值不互质，我们可以将它简化为刚刚讨论过的情况。假设我们可以求得这种表示，令x ＝μ e ，y ＝μ f ，其中μ 是μ e 和μ f 的最大公约数，或者，换句话说，e ，f 是互质的。那么，我们就有M ＝μ 2 （Ae 2 ＋2Bef ＋Cf 2 ），因而M 可以被μ 2 整除；代换x ＝e ，y ＝f 就是数 由型F 给出的表示，其中x ，y 是互质的数值。因此，如果M 不能被除1之外的平方数整除，例如，M 是质数，那么数M 就没有这样的表示。但是，如果M 有平方因数，设它们分别是μ 2 ，ν2 ，π2 ，…我们首先求数 由型（A ，B ，C ）给出的所有表示，其中x ，y 是互质的数值。用μ 来乘这些数值，就给出了数M 的所有的表示，其中x ，y 的最大公约数为μ 。类似地， 的所有表示（其中x ，y 是互质的数值） 就给出了数M 的所有的表示。其中x ，y 的最大公约数为v ，等等。
因此，根据上面的规则，我们能够求出一个给定的数由一个行列式为负数的给定的型表示的所有表示法。
第13节 特殊的应用：将一个数拆分成两个平方数，拆分成一个平方数和另一个平方数的两倍，拆分成一个平方数和另一个平方数的三倍
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我们现在讨论某些特殊的情况。一方面原因是它们极其优美，另一方面是欧拉在它们身上花了很大的功夫，使它们成为了经典。
1．任何一个数，除非-1是它的二次剩余，否则都不可能由型x 2 ＋y 2 表示（x ，y 互质） ，或者说不可能表示成两个互质的平方数之和；但是，所有其余的数，只要是正数，都可以这样来表示。设M 是这样一个数，并且设表达式 （mod M ）的所有的值为N ，-N ，N ′，-N ′，N ″，-N ″，…。那么，根据条目176，型（M ，N ， ）就正常等价于型（1，0，1）。设后面的型变换为前面的型的一个正常变换为x ＝αx ′＋βy ′，y ＝γx ′＋δy ′，那么，属于N 的数M 由型x 2 ＋y 2 的表示有以下4个 [10] ：x ＝±α ，y ＝±γ ；x ＝γ ，y ＝±α 。
因为型（1，0，1）是歧型，型（M ，-N ， ）就与之正常等价，且前一个型可以通过代换x ＝αx ′-βy ′，y ＝-γx ′＋δy ′变换为后者。由此，我们可以推导出数M 属于-N 的4个表达式：x ＝±α ，y ＝γ ；x ＝±γ ，y ＝±α 。那么，数M 有8个表示，其中一半属于值N ，另一半属于值-N ；但是，只要我们仅讨论平方数本身，而不讨论它们的顺序或根的符号，那么，所有这些表示仅给出了数M 拆分成两个平方数之和α 2 ＋γ 2 的唯一一种方法。
那么，如果表达式 （mod M ）除了N 和-N 之外没有其他值——例如，当M 是一个质数时就会发生——那么M 仅可以用唯一一种方式拆分为两个互质的平方数之和。既然-1是任何形如4n ＋1的质数的一个二次剩余（条目108） ，而且显然，一个质数不可能拆分为两个不互质的平方数之和，那我们就有以下定理：
任何形如4n ＋1的质数都能够拆分成两个平方数之和，且方式是唯一的。
例如，1＝0＋1，5＝1＋4，13＝4＋9，17＝1＋16，29＝4＋25，37＝1＋36，41＝16＋25，53＝4＋49，61＝25＋36，73＝9＋64，89＝25＋64，97＝16＋81，等等。
这一极其优雅的定理已经为费马所知，但首先是由欧拉证明的。在Novi comm. acad Petrop 第4卷第3页以及后面各页中，有一篇讨论同一论题的论文，虽然那时他还未能找出这个问题的解决办法（特别参考条目27 ） 。
那么，如果一个形如4n ＋1的数能够以若干种方式拆分为两个平方数之和，或者不能拆分为两个平方数之和，那么它就一定不是质数。
然而，另一方面，如果表达式 （mod M ）有N 和-N 之外的其他的值，那么数M 也有属于这些值的表示。在这种情况下，M 能够以不止一种方式拆分为两个平方数之和，例如，65＝1＋64＝16＋49，221＝25＋196＝100＋121。
其他的表示（其中x ，y 的值不是质数） 可以通过我们讨论过的一般性的方法轻松找到。我们这里仅指出，如果一个数包含形如4n ＋3的因数，并且不能用平方数除它来消除这个因数（当这些因数中的一个或多个含有 奇数次幂 时，就会出现这种情况） ，那么这个数就不能以任何方式 拆分成两个平方数之和 [11] 。
2．以-2为二次非剩余的任何数都不能由型x 2 ＋y 2 表示，其中x ，y 互质。所有其他的数都能由型x 2 ＋y 2 表示。设-2为数M 的二次剩余，且N 是表达式 （mod M ）的某个值。那么，根据条目176，型（1，0，2）和（M ，N ， ）就正常等价。通过代换x ＝αx ′＋βy ′，y ＝γx ′＋δy ′将前面的型变换为后面的型，我们就得到了x ＝α ，y ＝γ 是数M 属于N 的一个表示。还有x ＝-α ，y ＝-γ 也是一种表示。除此之外，就没有其他的属于值N 的表示了 （参考条目180） 。
像之前一样，我们发现表示x ＝±α ，y ＝±γ 属于值-N 。所有这4个表示都只给出了把M 表示为一个平方数和一个平方数的两倍之和的唯一一种拆分方式。并且，如果表达式 （mod M ）只有值N 和-N ，那么M 就没有其他拆分方式。由这个事实，并借助条目116中的定理，我们可以轻松地推导出下面的定理：
任何形如8n ＋1或8n ＋3的质数都可以分解为一个平方数和一个平方数的两倍，且方式唯一。
这个定理，以及很多与之类似的定理，都已经为费马所知，但是拉格朗日是证明这个定理的第一个人。关于相同的课题，欧拉也发现了很多结论。但是，欧拉一直未能对此定理做出完整证明。
3．通过类似的方法可以证明，任何以-3为二次剩余的数都可以用型x 2 ＋3y 2 或者2x 2 ＋2xy ＋2y 2 表示，其中x ，y 的值互质。那么，由于-3是所有形如3n ＋1的质数的一个剩余（条目119） ，并且只有偶数 能够由型2x 2 ＋2xy ＋2y 2 表示，像上面一样，我们得出下面的定理：
任何形如3n ＋1的质数都可以被拆分为一个平方数和一个平方数的三倍，且方式唯一。
欧拉在其论文（Novi comm . acad . Petrop ，第8卷，105页及其后各页 ）中第一个证明了这个定理。
我们可以继续做下去，例如证明任何形如20n ＋1，20n ＋3，20n ＋7或20n ＋9的质数（以-5为剩余的数） 都可以由型x 2 ＋5y 2 或者2x 2 ＋2xy ＋3y 2 表示。实际上，形如20n ＋1和20n ＋9的质数可以由型x 2 ＋5y 2 表示，形如20n ＋3和20n ＋7的质数可以由型2x 2 ＋2xy ＋3y 2 表示；还可以进一步证明，形如20n ＋1和20n ＋9的质数的两倍可以由型2x 2 ＋2xy ＋3y 2 表示，形如20n ＋3和20n ＋7的质数的两倍可以由型x 2 ＋5y 2 表示。读者自己可以由前面以及后面的讨论推导出这个命题，以及其他无限个特殊的命题。
我们现在开始讨论行列式为正 的型。当行列式是或不是平方数时型的性质迥异，我们先不讨论行列式是平方数的型，后面再单独讨论。
