183
问题
给定一个型（a ，b ，a ′），它的行列式D 是一个正的非平方数；求一个与之正常等价的型（A ，B ，C ），其中B 是小于 的正数；且A （如果A 是正数） 或-A （如果A 是负数） 位于 ＋B 和 -B 之间。
解：我们假设给定的型不满足这两个条件；否则就没有求另一个型的必要。我们进一步指出，一个具有非平方数行列式的型，它的第1项或者最后1项都不能等于0（条目171） 。设b ′≡-b （mod a ′），使之位于 和 a ′的界限之内（当a ′是正数，取负号；当a ′是负数，取正号） 。可以按照条目3中的方法做。设 ，它是一个整数，因为b ′b ′-D ≡b 2 -D ≡aa ′≡0（mod a ′）。那么，如果a ″＜a ，再设b ″≡-b （mod a ′），令其位于 和 a ″的界限之内（对应于a ″是正数或者是负数） ，并且设 。如果再有a ＜a ″，再设b ≡-b （mod a ），令其位于 和 a 的界限之内，并且设 。继续这一过程，直到序列a ′，a ″，a ，a'''' ，…到达项a m ＋1 为止，它不小于它的前一项a m 。这种情况最终会出现，否则就会得到一组无穷递减的整数序列。现在，设a m ＝A ，b m ＝B ，a m ＋1 ＝C ，则型（A ，B ，C ）就满足所有条件。
证明
1．由于在型（a ，b ，a ′），（a ′，b ′，a ″），（a ″，b ″，a ），…的序列中，每个型都是前一个型的邻型，所以最后1个型（A ，B ，C ）一定与第1个型（a ，b ，a ′）正常等价。
2．因为B 位于 和 A 之间（当A 是正数时总是取负号，当A 是负数时总是取正号） ，显然，如果我们设 -B ＝p ，B -（ A ）＝q ，数p ，q 就是正数。现在，容易确定q 2 ＋2pq ＋2p ＝D ＋A 2 -B 2 ，那么D ＋A 2 -B 2 是一个正数，我们用r 表示这个数。现在，由于D ＝B 2 -AC ，r ＝A 2 -AC ，那么A 2 -AC 是一个正数。由于根据假设A 不大于C ，这是不可能发生的，除非AC 是负数，因而A ，C 的符号必须相反。因此，B 2 ＝D ＋AC ＜D 且B ＜ 。
3．进而，由于-AC ＝D -B 2 ，AC ＜D ，因而（由于A 不大于C ） ，A ＜ 。因此， A 就是正数，因而B 位于 和 A 之间，也是正数。
4．由于上述原因，毋庸置疑 ＋B A 是正数，又， -B A ＝-q 是负数，±A 就位于 ＋B 和 -B 之间。证明完毕。
例：如果给定型（67，97，140），它的行列式为29，那么，我们求一系列型（67，97，140），（140，-97，67），（67，-37，20）（20，-3，-1），（-1，5，4）。最后1个型就是我们要求的。
我们把行列式为正的非平方数D 的型（A ，B ，C ）称为约化型：其中，A 为在 ＋B 和 -B 之间的正数（B 为正数且小于 ） 。因此，行列式为正的非平方数的约化型与行列式为负的约化型是有区别的。但是，它们之间存在很大的相似之处，因此我们就不引入不同的名称。
184
如果我们能像证明行列式为负的型的等价（条目172） 那样轻松地证明两个行列式为正的约化型的等价，那么，我们就能毫无困难地确定具有相同的正的行列式的任意 两个型的等价性。但实际情况远非如此，有可能出现多个约化型，它们之间是相互等价的。在研究这个问题之前，我们必须更深入地研究约化型（我们总能假定它的行列式为正的非平方数） 的性质。
1．如果（a ，b ，c ）是约化型，a 和c 就有相反的符号。因为，设行列式为D ，我们就有ac ＝b 2 -D ，由于b ＜ ，所以ac 为负数。
2．与a 一样，如果数c 取正号，就位于 ＋b 和 -b 之间。因为 ；所以，若不计符号，c 就位于 和 之间，即， -b 和 ＋b 之间。
3．由此可知，（c ，b ，a ）也是一个约化型。
4．a 和c 就都小于2 。因为它们都小于 ＋b ，所以，毋庸置疑，它们都小于2 。
5．数b 就位于 和 a 之间（当a 是正数时取负号，当a 是负数时取正号） 。因为，由于±a 位于 ＋b 和 -b 之间，±a -（ -b ）或者b -（ a ）就是正数。但是，b - 是负数，所以，b 就位于 和 a 之间。类似地，可以证明b 也位于 和 c 之间（对应于c 是正数或者负数） 。
6．对于任何约化型（ a ，b ，c ），每边都有且只有一个约化型与之相邻。
设a ′＝c ，b ′≡-b （mod a ′），使得b ′位于 和 a ′之间（当a ′是正数时取负号，当a ′是负数时取正号） ， ，且型（a ′，b ′，c ′）是型（a ，b ，c ）从右边相邻的邻型。并且，类似地，显然，如果我们有任何另外一个约化型，它对于（a ，b ，c ）是从右边相邻的邻型，那么它与（a ′，b ′，c ′）不可能不一样。我们现在证明它确实是一个约化型。
1）如果我们设
由上面的第2点和约化型的定义，可以推出p ，q ，r 都是正数。进而，设
那么，因为b ′位于 和 a ′之间，所以q ′和r ′都是正数。最后，如果b ＋b ′＝±ma ′，那么m 就是整数。现在，显然有p ＋q ′＝b ＋b ′，因而有b ＋b ′或±ma ′是正数，所以m 也是正数，由此可以推出m -1一定不是负数。而且
所以2b ′和b ′就一定是正数。再加上b ′＋r ′＝ ，我们得出b ′＜ 。
2）进而，我们得出
因而 ＋b ′a ′就是正数。再加上±a ′-（ -b ）＝q ′且是正数，±a ′就位于 ＋b ′和 -b ′之间。因此，（a ′，b ′，c ′）是一个约化型。
类似地，如果我们有′c ＝a ，′b ≡-b （mod′c ），且′b 位于 和 ±′c 之间，且a ′＝（′b ′b -D ）/′c ，那么型（′a ，′b ，′c ）就是约化型。显然，这个型是（a ，b ，c ）从左边相邻的邻型，除了型（′a ，′b ，′c ）之外，没有其他的约化型具有这个性质。
例：给定行列式为191的约化型（5，11，-14），约化型（-14，3，13）是它的从右边相邻的邻型，而约化型（-22，9，5）是它的从左边相邻的邻型。
7．如果约化型（a ′，b ′，c ′）是约化型（a ，b ，c ）从右边相邻的邻型，那么型（c ′，b ′，a ′）就是约化型（c ，b ，a ）从左边相邻的邻型；如果约化型（′a ，′b ，′c ）是约化型（a ，b ，c ）从左边相邻的邻型，那么（′c ，′b ，′a ）就是约化型（c ，b ，a ）从右边相邻的邻型。进一步地，型（-′a ，-′b ，-′c ），（-a ，b ，-c ），（-a ′，b ′，-c ′）都是约化型。第2个型是第1个型从右边相邻的邻型，第3个型是第2个型从右边相邻的邻型；第1个型是第2个型从左边相邻的邻型，第2个型是第3个型从左边相邻的邻型。对于（-c ′，b ′，-a ′），（-c ，b ，-a ），（-′c ，′b ，-′a ），类似的结论也成立，这是显然的，无须做更多解释。
185
以给定值D 为行列式的所有约化型的个数总是有限的，可以用两种方法求得它们。我们用不定符号（a ，b ，c ）表示行列式为D 的所有约化型，然后去确定a ，b ，c 的所有的值。
第1种方法。用a 表示所有（既包括正数，也包括负数） 小于2 且以D 为二次剩余的数。对于每一个a ，设b 为表达式 （mod a ）位于 和 a 之间的所有正值；对于每个确定的a ，b 的值，设 。根据这个方法得到的型，如果其中的±a 落到了 ＋b 和 -b 的界限外，就要把这个型去掉。
第2种方法。设b 为所有小于 的正数。对于每一个b ，用所有可能的方式将b 2 -D 分解为两个因数之积，符号不计，且使得每个因数的绝对值位于 ＋b 和 -b 之间。选择其中一个因数为a ，另一个因数为c 。显然，每一种因式分解都给出两个型，因为因数中的任意一个都可以为a 或者c 。
例：设D ＝79，那么a 就有22个值：±1，±2，±3，±5，±6，±7，±9，±10，±13，±14，±15。由此我们可以求得19个型
如果我们改变每个型的外项的符号，例如，（-1，8，15），（-2，7，15），…，使得总共出现38个型。但是，其中6个型，（±13，1，6），（±14，3，5），（±15，2，5）必须要去掉，还剩下32个约化型。通过第2种方法，按照下面的顺序出现相同的型
186
设F 为行列式为D 的约化型，且F ′为与F 从右边相邻的邻型，F ″是约化型且与F ′从右边相邻，F 是约化型且与F ″从右边相邻，…。那么，显然所有的型F ′，F ″，F ，…都是完全确定的，这些型彼此之间以及与型F 都是正常等价的。由于所有给定行列式的约化型的个数是有限的，显然，在无限序列F ，F ′，F ″，F ，…中所有的型不可能都不一样。假设F m 和F m ＋n 是相同的型，则F m -1 和F m ＋n -1 是约化型，并且它们都是同一个约化型从左边相邻的邻型，因此它们也是相同的型。那么，按照同样的方式，F m -2 和F m ＋n -2 也相同，…，最后F 和F n 也是相同的型。那么，在序列F ，F ′，F ″，F ，…中，如果这个序列足够长，第1个型F 就一定会重复出现。如果我们假设F n 是第1个出现的与F 相同的型，或者说所有的型F ′，F ″，F ，…F n -1 都与F 不相同，那么容易发现的是，所有的型F ，F ′，F ″，F ，…，F n -1 都彼此不同。我们将这组型称为型F 的周期 。因此，如果此序列继续下去超出了该周期的最后1个型，同样的型F ，F ′，F ″，F ，…就会再次出现，那么整个无限序列F ，F ′，F ″，F ，…就由型F 的这个周期无限重复而构成。
如果我们在型F 的前面放上与它是从左边相邻的约化型′F ，再在型′F 的前面放上与它是从左边相邻的约化型″F ，…，那么，序列F ，F ′，F ″，F ，…也可以按相反的方向继续下去。这样我们就得到了一组在两个方向都无限的型的序列
…，F ，″F ，′F ，F ，F ′，F ″，F ，…
并且，显然，′F 与F n -1 相同，″F 与F n -2 相同，…，因此，该序列的左边也是由型F 的周期无限次重复构成。
如果我们给型F ，F ′，F ″，…和型′F ，″F ，…分别赋予指标0，1，2，…和-1，-2，…，并且，一般地，给型F m 赋予指标m ，给型 m F 赋予指标-m ，那么，序列中两个型的指标是否与模n 同余，决定了这两个型是否相同 。
例：行列式为79的型（3，8，-5）的周期是（3，8，-5），（-5，7，6），（6，5，-9），（-9，4，7），（7，3，-10），（-10，7，3）。在最后1个型之后，我们再次得到（3，8，-5）。因此，n ＝6。
187
这里是关于这些周期的一般性结论。
1．如果型F ，F ′，F ″，…和′F ，″F ，F ，…分别表示为（a ，b ，-a ′），（-a ′，b ′，a ″），（a ″，b ″，-a ），…和（-′a ，′b ，a ），（″a ，″b ，-′a ），（-a ，b ，″a ），…；那么，所有的数a ，a ′，a ″，a ，…和′a ，″a ，a ，…就有相同的符号 （条目184.1） ，并且所有的数b ，b ′，b ″，…和′b ，″b ，…都是正数。
2．由此可以推出，数n （构成型F 的周期的型的个数） 总是偶数 。因为，如果m 是偶数，型F 的周期中任意一项Fm 显然就和型F 的第1项a 的符号相同，如果m 是奇数，它们的符号就相反。因此，由于F n 和F 相同，n 就一定是偶数。
3．根据条目184.6，我们有求数b ，b ′，b ″，…和a ″，a ，…的算法。
在第2列中，对应于数a ，a ′，a ″，…是正数或负数，分别取负号或正号。第3列中的公式可以用下面的公式替换，当D 的数值较大时，这样会更方便
4．包含于型F 的周期中的任意型F m 同型F 的周期相同，也就是说，这个周期就是F m ，F m ＋1 ，…，F n -1 ，F ，F ′，…，F m -1 。这个周期会按照型F 的周期相同的顺序出现相同的型，仅头和尾不同。
5．由上述可知，具有相同行列式D 的所有约化型都可以分成 若干周期。随意取这些型中的一个作为F ，并且确定它的周期F ，F ′，F ″，…，F n -1 ，我们将这个周期用P 来表示。如果它还未能包含具有行列式D 的所有的约化型，那么，设G 是不包含在其中的型，Q 为型G 的周期。显然，P 和Q 不可能有任何公共型，否则的话，G 就会包含于P 中，并且这两个周期就完全重合。如果P 和Q 未能取尽所有的约化型，设H 是某个剩下的型，这样我们又有第3个周期R ，它与P 和Q 没有任何公共型。我们一直继续下去，直到取尽所有的约化型为止。因此，举个例子，所有行列式为79的约化型可以分成6个周期
Ⅰ．（1，8，-15），（-15，7，2），（2，7，-15），（-15，8，1）
Ⅱ．（-1，8，15），（15，7，-2），（-2，7，15），（15，8，-1）
Ⅲ．（3，8，-5），（5，7，-6），（6，5，-9），（-9，4，7），（7，3，-10），（-10，7，3）
Ⅳ．（-3，8，5），（5，7，-6），（-6，5，9），（9，4，-7），（-7，3，10），（10，7，-3）
Ⅴ．（5，8，-3），（-3，7，10），（10，3，-7），（-7，4，9），（9，5，-6），（-6，7，5）
Ⅵ．（-5，8，3），（3，7，-10），（-10，3，7），（7，4，-9），（-9，5，6），（6，7，-5）
6．我们把由相同的项组成，但项的顺序相反的型称为互补型 ，例如（a ，b ，-a ′），（-a ′，b ，a ）。由条目184.7容易发现的是，如果约化型F 的周期是F ，F ′，F ″，…，F n -1 ，并且型f 与F 互补，那么，型f ′，f ″，…，f n -2 ，f n -1 就分别与型F n -1 ，F n -2 ，…，F ″，F ′互补；那么，型f 的周期就是f ，f ′，f ″，…，f n -2 ，f n -1 ，因而构成型f 的周期的型的个数与型F 的周期中型的个数相同。我们把互补型的周期称为互补周期 。那么，在我们的例子中，周期Ⅲ和Ⅵ，周期Ⅳ和Ⅴ都是互补周期。
7．但是，这样的情况可能发生，即型f 出现在它的互补型F 的周期中，如同我们例子中的周期Ⅰ和周期Ⅱ，那么型F 的周期就和型f 的周期重合，或者说型F 的周期是它自身的互补周期 。如果出现这种情况，这个周期中就会出现两个歧型。因为，假设型F 的周期由2n 个型构成，也就是说，型F 和F 2n 是相同的型；进而设2m ＋1是型F 的周期中型f 的指标 [12] 。也就是说，F 2m ＋1 和F 是互补的型，F ″和F 2m -1 也是互补的型，因而F m 和F m ＋1 也是互补的型。设F m ＝（a m ，b m ，-a m ＋1 ），F m ＋1 ＝（-a m ＋1 ，b m ＋1 ，a m ＋2 ）。那么，我们就有b m ＋b m ＋1 ≡0（mod a m ＋1 ），由互补型的定义，我们有b m ＝b m ＋1 ，因而2b m ＋1 ≡0（mod a m ＋1 ）。也就是说，型F m ＋1 是歧型。通过相同的推理，F 2m ＋1 和F 2n 就是互补型，因而，互补型还有F 2m ＋2 和F 2n -1 ，F 2m ＋3 和F 2n -2 ，…，最后，有F m ＋n 和F m ＋n ＋1 。用类似的方法可以证明，每组互补型中的后一个型为歧型。因为m ＋1和m ＋n ＋1对于模2n 不同余，所以型F m ＋1 和F m ＋n ＋1 是不同的型（条目186，那里的n 对应于这里的2n ） 。那么，在上面的例子中，周期Ⅰ中的歧型是（1，8，-15），（2，7，-15），周期Ⅱ中的歧型是（-1，8，15），（-2，7，15）。
8．相反地，任何一个出现歧型的周期都与它自身互补 。很明显，如果F m 是约化的歧型，那么与它互补的型（也是一个约化型） 就同时也是它的从左边相邻的邻型，即，F m -1 和F m 是互补的型。那么，整个周期就与它自身互补。由此可知，任何周期中都不可能只有一个歧型 。
9．但是，一个相同的周期中不可能超过两个歧型 。因为，假设在包含2n 个型的型F 的周期中，存在3个歧型F λ ，F μ ，F ν 分别属于指数λ ，μ ，ν，其中λ ，μ ，ν是在0到2n -1（包含2n -1） 之间的不相等的数。那么，型F λ -1 和F λ 就是互补型；类似地，F λ -2 和F λ ＋1 ，…，最后，F 和F 2λ -1 也是互补型。根据相同的推理，F 和F 2u -1 是互补型，同样还有F 和F 2ν-1 。因此，F 2λ -1 ，F 2u -1 和F 2ν-1 是相同的型，它们的指标2λ -1，2u -1，2ν-1就对于模2n 同余，因而也有λ ≡u ≡ν（mod n ）。但这是不可能的，因为，显然，在0到2n -1之间不可能有3个不同的数对于模n 都是同余的。
188
既然相同的周期中所有的型都是正常等价的，那么问题就在于来自不同周期中的型是否也可以正常等价。在我们证明这是不可能 的之前，我们应当谈一谈关于约化型变换的问题。
我们下面会经常处理型的变换，为了尽量避免冗余，我们使用下面的简写方法。如果型LX 2 ＋2MXY ＋NY 2 可以通过代换X ＝αx ＋βy ，Y ＝γx ＋δy 变换成lx 2 ＋2mxy ＋ny 2 ，我们就简单地表示成（L ，M ，N ）通过代换α ，β ，γ ，δ 变换成（l ，m ，n ）。用这种方法就不需要适当的符号表示每个型里面的未知数。但是，必须把任意型中的第1个 未知数和第2个 未知数小心区别开。
设型（a ，b ，-a ′）是一个给定行列式D 的约化型f 。同条目186，我们构造一个在两个方向都无限延伸的约化型，…，″f ，′f ，f ，f ′，f ″，…，并且我们设
再令
如果（像条目177那样） 按照下面的算法构造数α ′，α ″，α ，…；β ′，β ″，β ，…
…
那么，f 就可以通过代换α ′，β ′，γ ′，δ ′变成f ′，通过代换α ″，β ″，γ ″，δ ″变成f ″，通过代换α ，β ，γ ，δ 变成f ，…。
因为′f 可以通过正常代换0，-1，1，h 变换为f （条目158） ，f 就可以通过正常代换h ，1，-1，0变换为′f 。通过类似的推理，′f 可以通过正常代换′h ，1，-1，0变换成″f ，″f 可以通过正常代换″h ，1，-1，0变换成f ，…。由此，我们根据条目159，并按照条目177中相同的方式总结：如果数α ′，α ″，α ，…和β ′，β ″，β ，…是按照下面的算法构造
那么，f 就可以通过代换′α ，′β ，′γ ，′δ 变换为′f ，通过代换″α ，″β ，″γ ，″δ 变换为″f ，通过代换α ，β ，γ ，δ 变换为f ，…，并且所有这些代换都是正常代换。
如果我们设α ＝1，β ＝0，γ ＝0，δ ＝1，那么这些数和型f 的关系与α ′，β ′，γ ′，δ ′和型f ′的关系一样；也与α ″，β ″，γ ″，δ ″和型f ″的关系一样；也与′α ，′β ，′γ ，′δ 和型′f 的关系一样。也就是说，型f 通过代换α ，β ，γ ，δ 变换为f 。那么，无限序列α ′，α ″，α ，…，′α ，″α ，α ，…，通过插入项α 就整齐地连在了一起，从而可以将它们考虑为一个在两个方向都无限连续，由同一个规律构造的序列
…，α ，″α ，′α ，α ，α ′，α ″，α ，…
该序列的构造规律如下
α ＋′α ＝″h ″α ，″α ＋α ＝′h ′α ，′α ＋α ′＝hα ，α ＋α ″＝h ′α ′，
α ′＋α ＝h ″α ″，…
或者，一般地（如果我们假设写在右边的负指标和写在左边的正指标表示同样的意义）
α m -1 ＋α m ＋1 ＝h m α m
类似地，序列…，″β ，′β ，β ，β ′，β ″，…，也是一个连续序列，它的构造规律是
β m -1 ＋β m ＋1 ＝h m ＋1 β m
如果这个序列的每一项都向前移动一位，它就与上一个序列相同：″β ＝′α ，′β ＝α ，β ＝α ′，…。连续序列…，″γ ，′γ ，γ ，γ ′，γ ″，…的构造规律是
γ m -1 ＋γ m ＋1 ＝h m ＋1 γ m
连续序列…，″δ ，′δ ，δ ，δ ′，δ ″，…的构造规律是
δ m -1 ＋δ m ＋1 ＝δ m ＋1 δ m
并且，一般地，有δ m ＝γ m ＋1 。
例：设给定的型f 是（3，8，-5）。它可以通过以下代换变成下列各型
189
关于这个算法，需要注意以下几点：
1．所有的数α ，α ′，α ″，…，′α ，″α ，…的符号相同；所有的数b ，b ′，b ″，…，′b ，″b ，…是正数；…，″h ，′h ，h ，h ′，h ″，…的符号是正负交替。也就是说，如果α ，α ′，…是正数，那么当m 为偶数时，h m 和 m h 是正数；当m 为奇数时，h m 和 m h 是负数。但是，如果α ，α ′，…是负数，那么当m 为偶数时，h m 和 m h 是负数；当m 为奇数时，h m 和 m h 是正数。
2．如果α 是正数，又因为h ′是负数，h ″是正数，…，我们就有α ″＝-1为负数，α ＝h ″α ″为负数且α ＞α ″（当h ″＝1，则α ＝α ″） ；α'''' ＝h α -α ″为正数，且α'''' ＞α （因为h α 是正数，α ″是负数） ；α''''' ＝h'''' α'''' -α 为正数，且α'''''''''' ＞α'''' （因为h'''' α'''' 为正数） ；…。那么，我们容易做出推断：序列α ′，α ″，α ，…是无穷递增的，且总是两项为正，两项为负，无穷交替，那么，对应于m ≡0，m ≡1，m ≡2，m ≡3（mod 4），α m 分别有符号“＋，＋，-，-”。如果α 是负数，通过类似的推理，我们求出α ″是负数，α 是正数，且α ≥α ″；α'''' 是正数且大于α ；α''''' 是负数且大于α'''' ；…，这使得序列α ′，α ″，α ，…总是递增的，且根据m ≡0，m ≡1，m ≡2，m ≡3（mod 4），α m 分别取“＋，-，-，＋”号。
丢番图
丢番图（Diophantus ，246—300年），古希腊亚历山大时期的数学家，代数学的创始人之一，对算术理论有深入研究。他完全脱离了几何形式，以代数学闻名于世，其著作《算术》处理了求解代数方程组的问题；数学符号方面，他也做出了贡献。此图即为丢番图著作《算术》的希腊-拉丁文译本第11卷的命题8，著名的费马猜想就是在此页被写下的。
3．以这样的方式，我们可以求得逐渐递增的四组序列α ′，α ″，α ，…；γ ，γ ′，γ ″，…；α ′，α ，′α ，″α …；γ ，′γ ，″γ ，…；以及下面所有的和它们相同的序列：β ，β ′，β ″，…；′δ ，δ ，δ ′，δ ″，…；β ，′β ，″β ，…；′δ ，″δ ，…；并且，对应于m ≡0，m ≡1，m ≡2，m ≡3（mod 4）
当α 是正数时，取上面的符号；当α 为负数时，取下面的符号。尤其要注意下面的性质：如果我们用m 来表示任意正的指标，当α 是正数时，α m 和γ m 就有相同的符号；当α 为负数时，α m 和γ m 就有相反的符号。类似地，当α 是正数时，β m 和δ m 就有相同的符号；当α 为负数时，β m 和δ m 就有相反的符号。另一方面， m α 和 m γ ， m β 和 m δ 具有与此相反的性质，即当α 是负数时， m α 和 m γ 符号相同， m β 和 m δ 符号相同；当α 为负数时， m α 和 m γ 符号相反， m β 和 m δ 符号相反。
4．利用条目27中的记号，我们可以通过下面的方法优雅地表示α m ，…。令
使得所有的数k ′，k ″，…；k ，′k ，…都是正数
这里的符号 必须用我们前面叙述的规则来确定。利用这些公式（其证明非常简单，我们这里省略） ，我们可以快速地完成相关计算。
190
引理
用字母m ，μ ，m ′，n ，ν，n ′来表示任意整数，且最后3个数都不为0。如果 严格位于 和 的界限内，且mn ′-nm ′＝±1，那么分母v 就大于n 和n ′。
证明
显然，μ nn ′位于vmn ′和vnm ′之间，因而这个数和任何一个界限之差就小于两个界限之差，即vmn ′-vnm ′＞μ nn ′-vmn ′，且vmn ′-vnm ′＞μ nn ′-vnm ′，即v ＞n ′（μ n -vm ）并且v ＞n （μ n ′-vn ′）。那么，可以推出μ n -vm 一定不等于0（否则我们就得到了 ，这与假设矛盾） ，而且μ n ′-vm ′也不等于0（原因与前者类似） ，但是它们都至少等于1，因此v ＞n ′，且v ＞n 。证明完毕。
因而可知，v 不可能等于1；即，如果mn ′-nm ′＝±1，没有整数能够位于分数 和 之间。0也不可能位于分数 和 之间，也就是说，这两个分数不可能符号相反。
191
定理
如果行列式为D 的约化型（a ，b ，-a ′）通过代换α ，β ，γ ，δ 变成行列式相同的约化型（A ，B ，-A ′）；那么，第1种情况， 就位于 和 之间（只要γ 和δ 都不等于0，即，两个界限都是有限的）。当这两个界限中没有哪一个的符号与数a 的符号相反（或者，更清楚地说，当这两个界限都和a 有相同的符号，或者其中一个与a 有相同的符号，而另一个为零）时，根式取正号；而当这两个界限与a 没有相同的符号时，根式取负号。第二种情况， 在 和 之间（只要α 和β 都不等于0）。当这两个界限的符号都不和数a ′（或者a ）的符号相反时，根式取正号；当这两个界限的符号与a ′都不相同时，根式取负号 [13] 。
证明
我们通过等式
推导出
如果数γ ，δ ，α ，β 分别等于0，等式［3］，［4］，［5］，［6］就必须去掉。但是，这里还是存在关于根式的符号应该怎么取的问题，我们将按照下面的方法来决定。
显然，如果 和 的符号都不和a 的符号相反，那么在式［3］和式［4］中的根式应当取正号。因为，如果取负号， 和 就为负值。既然A 和A ′符号相同， 就位于 和 之间，因而，在这种情况下， 就位于 和 之间。那么，对于前一种情况，这个定理的第一部分得到证明。
通过同样的方法我们发现，当 和 都不和a ′或者a 的符号相同时，式［5］和式［6］中的根式应当取负号。因为，如果我们取正号， 和 就一定是正数。那么，在这种情况下 就位于 和 之间。那么，对于后一种情况，定理的第2部分得到证明。现在，如果能同样容易地证明，当 和 两个数都不与a 有相同的符号时，在［3］和［4］中的根式应取负号，并且当 和 都不和a 的符号相反时，式［5］和式［6］中的根式应当取正号，那么，对于前一种情况，可以推出 位于 和 之间，对于后一种情况， 位于 和 之间。也就是说，这证明了定理的第1部分对于后一种情况成立，且定理的第2部分对于前一种情况成立。尽管这里的证明并不困难，但是它需要用到迂回的论证，所以我们更乐意采用下面的方法。
当所有的数α ，β ，γ ，δ 都不等于0，那么， 就和 符号相同。因此，若这几个数的符号都不和a ′或者a 相同，则 就位于 和 之间，当数 都不与a 的符号相同时， （因为aa ′＝D -b 2 ） 就位于 和 之间。因此，对于当α 或者β 都不等于0的情况，定理的第1部分在第2种情况下成立（因为定理本身已经考虑了γ 和δ 都不等于0的条件） 。类似地，当数α ，β ，γ ，δ 都不等于0，且 和 与a 或a ′的符号都不相同时， 就位于 和 之间；当 和 都不与a ′的符号相同时， 就位于 和 之间。因此，当γ 和δ 都不等于0时，对于第2种情况，定理的第2部分也得证。
那么，余下来只要证明：如果数α ，β 二者中有一个数等于0，定理的第1部分在第2种情况下也成立；如果数γ 或δ 中有一个为0，那么定理的第2部分在第1种情况下也成立。但是，所有这些情况都是不可能的 。
1．因为，对于定理的第1 部分，假设γ 和δ 都不等于0；且 ，都不与a 有相同的符号。
1）α ＝0，那么，由等式αδ -βγ ＝±1，我们有β ＝±1，γ ＝±1。那么，由式［1］得出A ＝-a ′，所以A 和a ′的符号相反，a 和A ′的符号也相反，并且有 。由此可知，在式［4］中的根式必定取负号。因为，如果我们取正号，显然 和a 的符号相同。因此，我们就有 （由约化型的定义知a ＜ ＋b ） 。证明完毕。但是，因为β ＝±1，且δ 不等于0，所以这是不可能的。
2）设β ＝0，那么，由等式αδ -βγ ＝±1，我们有α ＝±1，δ ＝±1。由式［2］知，-A ′＝-a ，所以α ′，a ，A 的符号就都相同，且 ＞b 。那么，在式［3］中的模式必须取负号。因为如果我们取正号， 就和a 的符号相同。因此，我们得到 。这是不可能的，原因与前面相同。
2．对于定理的第2部分，我们假设α ，β 都不等于0；且 和 都没有与a ′相反的符号。
1）γ ＝0：由等式αδ -βγ ＝±1我们可得α ＝±1，δ ＝±1。那么，由式［1］得出A ＝a ，因此a ′和A ′的符号相同，那么 。因此，在式［6］中的根式要取正号。因为，如果我们取负号， 就与a ′的符号相反。因此，我们得到 。这是不可能的，因为，δ ＝±1且β 不等于0。
2）最后，如果我们有δ ＝0，由αδ -βγ ＝±1，我们有β ＝±1，γ ＝±1，因而由式［2］得出-A ′＝a 。因此， ，且在式［5］中必须取正号，从而得到 。这是不可能的，这样，定理就得到了一般性证明。
由于 和 的差是 ， 和 或者 之间的差小于 ；然而， 和 之间，或者 和 之间不可能有分母不大于γ 或者δ 的分数（上一引理） 。同样地， 和分数 或 的差就小于 ，那么在 和这两个分数中的每个分数之间不可能有分母不大于α 和β 的分数存在。
192
将上面的定理应用于条目188中的算式，可以推出 （我们以后用L 来表示） 就位于 和 之间，位于 和 之间，位于 和 之间，…。（因为，由条目189.3容易发现的是，这些界限从头到尾都没有一个和a 的符号相反，所以根式 必须取正号） ；L 同样位于 和 之间，位于 和 之间，…。因此，所有的分数 …都位于L 的同一边，而所有的分数 …都位于L 的另一边。但是，因为γ ′＜γ ，所以 就位于 和L 的外边 ，且因为类似的原因， 就位于L 和 的外边， 就位于L 和 的外边，…。那么，这些量就按照下面的顺序排列
和L 的差会小于 和 的差，即小于 ；因为类似的原因， 和L 的差就小于 ；…。因此，分数 …就不断接近界限L 的值，并且，由于γ ′，γ ″，γ ，…是无限递增的，所以可以使分数和界限之间的差小于任意给定的量。
由条目189可知，所有的量 …都不与a 的符号相同；那么，根据上面的推理，这些数以及 （我们用L ′表示） ，就按照下面的顺序排列
和L ′之间的差就小于 ， 和L ′之间的差就小于 ，…。因此，分数 …就逐渐无限接近L ′，可以使它们的差小于任意给定的量。
在条目188的例子中，我们有 ，它的渐进分数是 ，…，而 ＝0.296 066 2。在同一个例子中又有 ，它的渐进分数是 …，而 ＝0.177 639 7。
193
定理
如果约化型f 和F 是正常等价的，那么它们彼此包含于对方那个型的周期中。
设型f ＝（a ，b ，-a ′），F ＝（A ，B ，-A ′），且它们的行列式为D 。设第1个型可以通过正常代换 变换成第2个型。如果求型f 的周期，计算约化型的两个方向无限序列，以及把型f 变换为这些约化型的变换——像我们在条目188中所做的那样换——那么，要么 ＋ 就等于序列…，″α ，′α ，α ，α ′，α ″，…中的某个项（并且，如果设这个项等于α m ，则＋ ＝β m ，＋ ＝γ m ，＋ ＝δ m ） ；要么 - 就等于某一项α m ，而- ，- ，- 就分别等于β m ，γ m ，δ m （其中m 也可以表示一个负的指标） 。不论是哪种情况，显然有F 等同于f m 。
证明
由假设我们可得4个等式
1．首先，考虑数 中有一个数等于0的情况。
1）如果 ＝0，由式［4］得到 ＝-1，因而 ＝±1， ＝1。那么，由式［1］得-a ′＝A ，由式［2］得，-b ±a ′ ＝B 或者B ≡-b （mod a ′或A ）。因此，可以推出型（A ，B ，-A ′）是型（a ，b ，-a ′）从右边相邻的邻型。由于型（A ，B ，-A ′）是约化型，它就一定与f ′相同。因此，B ＝b ′，由［2］式得b ＋b ′＝-a ′ ＝±a ′ ；由此推出，由于 ，就有 ＝h ′。最后，可以推出 就分别等于0，-1，＋1，h ′，也即分别等于α ′，β ′，γ ′，δ ′。
2）如果 ＝0，由式［4］得 ＝±1， ＝±1；由式［3］得a ′＝A ′；由式［2］得 ，或者b ≡B （mod a ′）。但是，由于f 和F 都是约化型，b 和B 就都位于 和 之间（对应于a ′是正数或者负数，条目184.5） 。那么，就一定有b ＝B 以及 ＝0。那么，型f 和F 就是相同的型，且± ，± ，± ，± ，分别等于1，0，0，1，也分别等于α ，β ，γ ，δ 。
