3）如果 ＝0，由式［4］得 ＝±1， ＝±1；由式［1］得a ＝A ；由式［2］得 或者b ≡B （mod a ）。由于b 和B 都位于 和 之间，一定有B ＝b 和 ＝0。所以，这种情况和上一种情况并没有什么分别。
4）如果 ＝0，由式［4］得 ＝±1， ；由式［3］得a ＝-A ′；由式［2］得 或者B ≡-b （mod a ）。那么，型F 是f 的从左边相邻的型，所以它就与型′f 相同。因此，由于（′b ＋b ）/a ＝h ，且B ＝′b ，就有 。最后 就分别等于h ，1，-1，0，也分别等于′α ，′β ，′γ ，′δ 。
现在还剩下所有的数 都不等于0的情况。根据条目190的引理，数 的符号相同，对应于它们的符号与a ，a ′的符号相同或者相反，可以分成两种情况。
2．如果 与a 的符号相同，数 （用L 表示） 就位于这两个分数之间（条目191） 。现在证明 与这些分数 …中的某个分数相等，且B /D 就等于这个分数后面的那个分数；也就是说，如果 等于 ，那么 就等于 。上一个条目证明了数 …［为了简洁，用（1），（2），（3），…表示 ］和L 按照下面的顺序排列（Ⅰ）：（1），（3），（5），…L …，（6），（4），（2）；这些数中的第1个数等于0（因为α ′＝0） ，剩下的就与L 或者a 的符号相同。但是，根据假设， 和 （用 和 来表示） 的符号相同，可知这些数位于（1）的右边（或者，如果你愿意，也可以说成位于L 的同一侧） 。并且，实际上由于L 位于它们之间，所以这两个数中有一个在L 的右边，另一个在L 的左边。容易发现的是， 不可能位于（2）的右边，否则 就位于（1）和L 之间，且由此就会推出：首先，（2）就位于 和 之间，且分数（2）的分母就大于分数 的分母（条目190） ；其次， 就位于（1）和（2）之间，且分数 的分母就大于分数（2）的分母。这是不可能的。
假设 与分数（2），（3），（4），…都不相等，来看看这样做的结果：显然，如果分数 位于L 的左边，那么它就必然位于（1）和（3）之间，或者位于（3）和（5）之间，或者位于（5）和（7）之间，…［因为L 是无理数，因而就一定不等于 ，而分数（1），（3），（5），…可以比任何给定的不等于L 的数更接近L ］。如果 位于L 的右边，那么它就一定位于（2）和（4）之间，或者位于（4）和（6）之间，或者位于（6）和（8）之间，…。因此，假设 位于（m ）和（m ＋2）之间；很显然，数 ，（m ），（m ＋1），（m ＋2），L 就按照下面的顺序排列（Ⅱ）：（m ），（ ），（m ＋2），L ，（m ＋1） [14] 。
那么，一定有 ＝（m ＋1）。因为 就位于L 的右边，如果 也位于（m ＋1）的右边，（m ＋1）就位于 和 之间，使得γ m ＋1 ＞ ，且 就位于（m ）和（m ＋1）之间，使得 ＞γ m ＋1 （条目190） ，这是矛盾的；如果 位于（m ＋1）的左边，也就是位于（m ＋2）和（m ＋1）之间，就有 ＞γ m ＋2 ，且因为（m ＋2）位于 和 之间，就得到γ m ＋2 ＞ ，这也是矛盾的。因此，得出 ＝（m ＋1）；也就是说， 。
由于 ， 就与 互质，且由于类似的原因，β m 就与δ m 互质。那么，除非 ＝β m ， ＝δ m ，或 ＝-β m ， ＝-δ m ，等式 就不成立。现在，既然型f 可以通过正常代换α m ，β m ，γ m ，δ m 变换成型f m ＝（±a m ，b m ，a m ＋1 ），得到等式
那么由等式［7］和［3］，得： 。进一步地，通过将等式［2］乘以α m β m -δ m γ m 、等式［6］乘以 ，并将所得的结果相减，由简单计算，可得
或者，因为要么 ，要么 ，可得
因此，B ≡b m （mod A ′），并且，由于B 和b m 位于 和 之间，一定能得到B ＝b m ，因而得到 ，或者 ，即， ＝（m ）。
因此，由假设 不等于任何一个数（2），（3），（4），…，可以推出 实际上等于其中一个数。但是，如果一开始假设 ＝（m ），显然要么得到 ＝α m ， ＝γ m ，要么得到- ＝α m ，- ＝γ m 。不论哪种情况，我们都可以由式［1］和式［5］得到A ＝±a m ，且可以从式［9］得到B -b m ＝± A 或者B ≡b m （mod A ）。由此可以用和上面相同的方式推出，B ＝b m ，因而 ，又由于 和 是互质的，且β m 和δ m 也是互质的，就可以得出，要 ，要么 ，且由式［7］可得- 。那么，型F 和型f m 就是相同的型。借助于等式 -β m γ m 不难证明，当 时，应当取 ；另一方面，当 时，应当取 。证讫。
3．如果 的符号与a 的符号相反，那么这里的证明与前面非常类似，这里只补充一些要点就足够了。 就位于 和 之间。分数 就等于下面的几个分数之一
并且，如果我们设这个分数等于 m δ / m β ， 就等于 。 （Ⅱ）
我们按照下面的方式证明（Ⅰ）：如果假设 不和这里任何的分数相等，那么它就位于其中某两个分数 和 之间。按照和上面同样的方式，证得
并且，要么有 ，要么就有 。但是，由于f 可以通过正常代换 m α ， m β ，mγ ， m δ 变换成型
m f ＝（± m a ， m b ， m -1 a ）
所以可以推导出3个等式。由这些等式，前面的等式［1］、［2］、［3］、［4］以及等式 m α m δ - m β m γ ＝1，并按照和上面相同的方式，推导出型F 的第1项A 就等于型 m f 的第一项，并且型F 的中间项对于模A 就同余于型 m f 的中间项。由于这两个型都是约化型，那么就要求每个项的中间型都位于 和 之间，所以可以推出这两个中间项是相等的，由此推断 。那么，由这个假设的错误性就证实了结论（Ⅰ）的正确性。
假设 m δ / m β ＝ ，通过完全相同的方法，利用相同的等式，可以证明结论（Ⅱ） 。现在，借助于等式 ， m α m δ - m β m γ ＝1可以推出，要么 ＝ m α ， ＝ m β ， ＝mγ ， ＝ m δ ；要么 。因而，型F 和型 m f 是相同的型。证明完毕。
194
因为前面所谓的互补型（条目187第6条） 总是反常等价的（条目159） ，显然，如果约化型F 和f 是反常等价的，且如果型G 是型F 的互补型，那么型f 和型G 就是正常等价的，且型G 就包含于型f 的周期中。而且，如果型F 和f 是既正常又反常等价的，可知型F 和G 都可以在型f 的周期中找到。因此，这个周期就是它自身的互补周期，且它包含两个歧型（条目187第7条） 。那么，这就巧妙地证明了条目165中的定理，这个定理已经保证了能够找到一个与型F 和f 等价的歧型。
195
问题
给定任意两个具有相同行列式的型Φ ，φ ，确定它们是否等价。
解：首先，求两个分别与给定的型Φ ，φ 正常等价的约化型F ，f （条目183） 。现在，对应于约化型F ，f ，是仅正常等价，还是仅反常等价，还是既正常等价又反常等价，还是既不正常等价又不反常等价，那么就得到给定的型是仅正常等价，或是仅反常等价，或者既正常等价又反常等价，以及既不正常等价又不反常等价。计算其中一个约化型的周期，例如，型f 的周期。如果型F 出现在这个周期当中，且它的互补型不出现在这个周期中，那么，显然第1种情况成立，即它们是正常等价的。反过来，如果互补型出现在这个周期中而F 不出现，第2种情况成立，即它们是反常等价的。如果互补型和F 都出现在这个周期中，那么第3种情况成立，即它们既正常等价，又反常等价。如果互补型和F 都不出现在这个周期中，则第四种情况成立，即它们既不正常等价，又不反常等价。
例：设给定的型是（129，92，65），（42，59，81），它们的行列式是79，与它们正常等价的约化型为（10，7，-3），（5，8，-3）。第1个型的周期是：（10，7，-3），（-3，8，5），（5，7，-6），（-6，5，9），（9，4，-7），（-7，3，10）。因为型（5，8，-3）没有出现在这里，而它的互补型（-3，8，5）出现在这里，可以断言，给定的型仅反常等价。
如果将具有给定行列式的所有约化型都按照上述方式（条目187第5条） 划分为若干个周期P ，Q ，R ，…，并且从每个周期中随机选取一个型：从P 中选取F ，从Q 中选取G ，从R 中选取H ，…，那么这些型F ，G ，H ，…中没有哪两个型是正常等价的。并且，任何其他行列式相同的型就与且仅与这些型中的一个正常等价。因此，所有具有这个行列式的型都可以被分成和周期的个数一样多的类别 ，也就是说，把所有与型F 正常等价的型放在第1个类别中，把所有与型G 正常等价的型放在第2个类别中，…。按照这种方式，所有的包含于相同类别中的型都是正常等价的，所有包含于不同类别中的型都不可能正常等价。但是，这里就不再多说了，因为后面还要更加详细地讨论。
196
问题
给定两个正常等价的型Φ 和φ ，求把一个型变换为另一个型的正常代换。
解：由条目183中的方法，可以找到两列型Φ ，Φ ′，Φ ″，…，Φ n 和φ ，φ ′，φ ″，…，φ v ，使得后面的每个型都与它前面的那个型正常等价，且Φ n 和φ v 是约化型。并且，由于假设Φ 和φ 是正常等价的，那么Φ n 就一定包含于型φ v 的周期中，设φ v ＝f ，并且设到Φ n 为止它的周期是：f ，f ′，f ″，…，f m -1 ，Φ n 。在这个周期中，Φ n 的指标是m ，把与型Φ ，Φ ′，Φ ″，…，Φ n 互补的型相反的型分别表示成ψ，ψ′，ψ″，…，ψ n [15] ，那么，在序列φ ，φ ′，φ ″，…，f ，f ′，f ″，…，f m -1 ，ψ n -1 ，ψ n -2 ，…，ψ，Φ 中，每个型都是它前一个型的从右边相邻的型，并且由条目177可以求得第1个型φ 变换为最后1个型Φ 的正常变换。对于除了项f m -1 ，ψ n -1 的其他的项来说，这是显然的。对于项f m -1 ，ψ n -1 ，按照下述方法证明：设f m -1 ＝（g ，h ，i ）；f m 或Φ m ＝（g ′，h ′，i ′）；Φ n -1 ＝（g ″，h ″，i ″）。型（g ′，h ′，i ′）是型（g ，h ，i ）和（g ″，h ″，i ″）的从右边相邻的邻型；因此，i ＝g ′＝i ″并且-h ≡h ′≡-h ″（mod i 或g ′或i ″）。由此可知，型（i ″，-h ″，g ″）也即型ψ n -1 ，是型（g ，h ，i ）即型f m -1 从右边相邻的邻型。
如果型Φ 和型φ ′反常等价，那么型φ ′就和与Φ 相反的型是正常等价的。因此，可以求出型φ 变换为与Φ 相反的型的正常代换：如果假设可以通过代换α ，β ，γ ，δ 完成这个正常变换，不难发现，φ 就可以通过代换α ，-β ，γ ，-δ 变换为Φ 。
那么，如果型Φ 和φ 既正常等价又反常等价，可以求得两个代换，一个是正常代换，一个是反常代换。
例：由前一个条目我们知道型（129，92，65）和（42，59，81）是反常等价的，现在，求前一个型变换为后一个型的反常代换。首先，必须求出把型（129，92，65）变换为（42，-59，81）的正常代换。为此，计算出由下面的型构成的序列：（129，92，65），（65，-27，10），（10，7，-3），（-3，8，5），（5，22，81），（81，59，42），（42，-59，81）。由此，我们推导出把型（129，92，65）变换为（42，-59，81）的正常代换-47，56，73，-87。因此，通过反常代换：-47，-56，73，87，前者就变换成了后者。
197
如果得到了把型（a ，b ，c ）即φ 变换为等价型Φ 的一个代换，由此可以推导出把型φ 变换为Φ 的所有同型代换，只要能够确定不定方程t 2 -Du 2 ＝m 2 的所有的解。D 表示型Φ 和型φ 的行列式，m 是数a ，2b ，c 的最大公约数（条目162） 。前面，对于取负值的D ，这个问题已经解决。现在，我们讨论取正值的D 。显然，任何满足不定方程的t 或u 的值在改变了符号后仍然满足这个不定方程，所以只要求出t 和u 取正号的值就够了，并且由正值求得的任意一组解实际上都可以提供给4组解。为此，首先求出t 和u 的最小的值（那些明显的解t ＝m ，u ＝0除外） ，然后由这些值推导出其余的值。
198
问题
给定一个行列式为D 的型（M ，N ，P ），m 是数M ，2N ，P 的最大公约数，求满足不定方程t 2 -Du 2 ＝m 2 的t 和u 的最小的值。
解：随机取一个行列式为D 的约化型（a ，b ，-a ′），即f ，其中数a ，2b ，a ′的最大公约数为m 。有一点是清楚的，一定能够找到一个与型（M ，N ，P ）等价的约化型，并且这个约化型具备条目161所说的性质。但是，为了目前的目的，任何满足这个条件的约化型都可以利用。计算型f 的周期，假设它包含n 项。保留在条目188中用到的符号，因为n 是偶数，所以f n ＝（＋a n ，b n ，-a n ＋1 ），并且f 是通过正常代换α n ，β n ，γ n ，δ n 变换为f n 的。由于f 和f n 是相同的型，f 也可以通过正常代换1，0，0，1变换为f n 。由这两个型f 变换成f n 的同型代换，根据条目162，我们可以推导出等式t 2 -Du 2 ＝m 2 的一组整数解，即 （条目162，等式［18］） ， （条目162，等式［19］） [16] 。如果这两个值不是正数，那么就对它们取正数并表示为T ，U 。那么，这组值T ，U 就是不定方程除了t ＝m ，u ＝0之外的最小解（由于显然γ n 不等于0，所以T ，U 一定与t ＝m ，u ＝0这组值不相同。）
假设t ，u 还有更小的值，表示为t ′，u ′，它们都是正数且u ′不等于0，那么，由条目162，型f 可以通过正常变换 变换成与它自己相同的型。现在，由条目193.2可以推出， 或者 一定就等于数α ″，α ，α'''' ，…其中的一个数，例如等于α μ ［由于t ′t ′＝Du ′u ′＋m 2 ＝b 2 u ′u ′＋aα ′u ′u ′＋m 2 ，就有t ′t ′＞b 2 u ′u ′，因而t ′-bu ′是正数，因此，与条目193中的分数A /C 对应的（t ′-bu ′）/au ′就与a 或者a ′有相同的符号 ］；并且在前一种情况下，α ′u ′/m ，αu ′/m ，（t ′＋bu ′）/m 就分别等于β μ ，γ μ ，δ μ 。在后一种情况下，它们分别等于和前一种情况下相同的量，但是符号相反。因为有u ′＜U ，即0＜u ′＜ ，就有0＜γ μ ＜γ n 。并且，由于序列γ ，γ ′，γ ″，…是不断增长的，μ 就必定位于0和n 之间。那么，相对应的型f μ 就和型f 相同。这是不可能的，因为所有的型f ，f ′，f ″，…一直到f n -1 都应当是各不相同的，由此可以推断，t ，u 的最小值（除了值m ，0以外的） 就是T ，U 。
例：如果D ＝79，m ＝1，我们可以利用型（3，8，-5），对于该型，可得出n ＝6，且α n ＝-8，γ n ＝-27，δ n ＝-152（条目188） 。那么，T ＝80，U ＝9，就是满足方程t 2 -79u 2 ＝1的最小值。
199
实际应用中，我们可以得到更适合的公式，即2bγ n ＝-a （α n -δ n ）。此式很容易从条目162推出：通过将等式［19］乘以2b ，等式［20］乘以a ，并将那里使用的符号改成这里正在使用的符号。由此得到α n ＋δ n ＝2δ n - ，从而有
由类似的方法，得到下面的值
这两组公式是非常方便的，因为γ n ＝δ n -1 ，α n ＝β n -1 ，所以，如果使用第2组公式，那么只要计算序列β ′，β ″，β ，…，β n 就够了；如果使用第1组公式，那么计算序列δ ′，δ ″，δ ，…就够了。此外，由条目189.3可以轻松地推出，由于n 是偶数，α n 和 的符号相同。对于δ n 和 也是如此。所以，在第1组公式中，我们可以取T 作为差的绝对值，在第2组公式中，取和的绝对值作为T ，不必考虑它的符号。利用条目189.4的符号，由第1组公式得到
由第2组公式得到
这里T 的值也可以写作m ［k ″，k ，…，k n ，b /a ′］。
例：对于D ＝61，m ＝2，可以使用型（2，7，-6）。由此求得n ＝6；k ′，k ″，k ，k'''' ，k''''' ，k'''''' 分别就等于2，2，7，2，2，7。那么，由第1组公式得
T ＝2［2，2，7，2，2，7］-7［2，2，7，2，2］＝2 888-1 365＝1 523
由第2组公式可以得到同样的结果
T ＝2［2，7，2，2］＋ ［2，7，2，2，7］
以及
U ＝［2，2，7，2，2］＝ ［2，7，2，2，7］＝195
还有很多其他的工具来简化计算，但是这里的篇幅不允许详细阐述了。
200
为了从t ，u 的最小值推导出它们的所有值，把等式T 2 -DU 2 ＝m 2 按照下述方式表示
由此还得到
这里的e 可以是任何值。现在，为了简洁，我们分别用t e ，u e 表示以下两个表达式的值
[17]
即，对于e ＝0来说，t e ，u e 就是t 0 ，u 0 （这些值就是m ，0） ；对于e ＝1来说，用t ′，u ′表示（这些值就是T ，U ） ；对于e ＝2，用t ″，u ″表示；对于t ＝3，用t ，u 表示，…。我们还将证明，如果取e 为全体非负整数，也即取0和从1到∞的所有正整数，那么这些表达式就会给出t ，u 的所有的正的值。也就是说，所有这些表达式的值确实都是t ，u 的值，所有这些值都是整数，没有t ，u 的正值不包含在这些公式中。
1．如果用t e ，u e 来代替它们的值，那么利用等式［1］容易求得
2．以同样的方式，容易得出更一般的表达式
那么，显然，两个序列t 0 ，t ′，t ″，t ，…，u 0 ，u ′，u ″，u ，…是循环的，且在每一种情形下递推关系的系数都是 和-1，即
现在，根据假设，有一个行列式为D 的型（M ，N ，P ），其中M ，2N ，P 可以被m 整除，就有
T 2 ＝（N 2 -MP ）U 2 ＋m 2
显然，4T 2 就能够被m 2 整除。那么， 就是正整数。并且，由于t 0 ＝m ，t ′＝T ，u 0 ＝0，u ′＝U ，所以它们都是整数。从而，所有的数t ″，t ，…也都是整数。此外，由于T 2 ＞m 2 ，所以所有的数t 0 ，t ′，t ″，t ，…就都是整数，而且是递增的；对于数u 0 ，u ′，u ″，u ，…，同样的结论也成立。
3．如果假设t ，u 还有另外的正值不包含在序列t 0 ，t ′，t ″，…，u 0 ，u ′，u ″，…中，就设它们是 。显然，由于序列u 0 ，u ′，u ″，u ，…是从0增加到无穷的，所以U 必定位于两个相邻的项u n 和u n ＋1 之间，从而有 ＞u n 和 ＜u n ＋1 。我们来证明这个假设的荒谬性。
1）如果令
则它们满足方程t 2 -Du 2 ＝m 2 ，通过代入法可以毫不困难地证明这一点。以下的方法用来证明这些值（为了简便，令它们等于τ ，v ） 总是整数。如果（M ，N ，P ）是一个行列式为D 的型，m 是数M ，2N ，P 的最大公约数，则 ＋ 和t n ＋Nu n 都可以被m 整除，所以 即 - 也可以被m 整除。因此，v 就是一个整数，又因为τ 2 ＝Dv 2 ＋m 2 ，所以τ 也是一个整数。
2）很明显，v 不能等于0；因为如果v ＝0，就会推出
也就是
也即 ＝（t n ）2 ，这与 ＞u n 这个假设矛盾。因此，除了0以外，u 的最小值是U ，v 就一定不能小于U 。
3）由t n ，t n ＋1 ，u n ，u n ＋1 的值容易推断
mU ＝u n ＋1 t n -t n ＋1 u n
因而 就一定不小于u n ＋1 t n -t n ＋1 u n 。
4）现在，由等式 ，就有
并且，类似地有
由此容易发现， 。这个结论结合上一条结论，就得到了
或者将此不等式展开，并将 ，（t n ）2 ，（t n ＋1 ）2 分别用它们的值 ＋m 2 ，D （u n ）2 ＋m 2 ，D （u n ＋1 ）2 ＋m 2 代替，就得到了
由于此式中每个数都是正数，可以通过移项得到 ＋（u 2n /u n ＋1 ）＞u n ＋1 ＋（u 2n / ）。然而这是不可能的，因为前一个量的第1部分小于第2个量的第1部分，并且前一个量的第2部分也小于第2个量的第2部分。因此，这个假设是矛盾的，所以，序列t 0 ，t ′，t ″，…，u 0 ，u ′，u ″，…，就给出了t 和u 的所有可能值。
例：对于D ＝61，m ＝2，求得t 和u 的最小正值是1 523，195。所以，t 和u 的所有正值可以用下面的公式表达
还得到
t 0 ＝2，t ′＝1 523，t ″＝1 523t ′-t 0 ＝2 319 527
t ＝1 523t ″-t ′＝3 532 638 098，…
u 0 ＝0，u ′＝195，u ″＝1 523u ′-u 0 ＝296 985
u ＝1 523u ′-u ′＝452 307 960，…
纵横图
纵横图，又称幻方，是我国的一种传统算术游戏，旧时多见于官府、学堂。它将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等，也即如今的数独、九宫格。上图为中国古代传说记载中的《河图》，其具有纵横图的性质，但多作占卜之用。
201
以下内容是对前面讨论的问题的补充说明。
1．我们已经指出了当m 是3个数M ，2N ，P 的最大公约数，且这3个数满足N 2 -MP ＝D 时，在所有的情况下如何求解方程t 2 -Du 2 ＝m 2 。因此，对于给定的值D ，指定所有能够成为这种除数的数，即m 的所有的值，就很有用。设D ＝n 2 D ′，使得D ′是个完全不含平方因数的数，这一点通过取n 2 是能整除D 的最大的平方数就可以实现；如果D 没有平方因数，那么设n ＝1。
第一，如果D ′是4k ＋1型，则2n 的任何除数就都是m 的值，反之亦然。因为，如果g 是2n 的除数，就有行列式为D 的型［g ，n ， ］，并且数g ，2n ， 的最大公约数就显然是g （因为很显然， 是一个整数） 。另一方面，如果假设g 是m 的一个值，也就是说，g 是数M ，2N ，P 的最大公约数，并且N 2 -MP ＝D ，显然4D 或4n 2 D ′就能够被g 2 整除。由此推出2n 能够被g 整除。因为，如果g 不能整除2n ，那么g 和2n 的最大公约数就小于g 。假设这个最大公约数等于δ ，那么2n ＝δ n ′，g ＝δg ′；n ′n ′D 就可以被g ′g ′整除。那么，因为n ′和g ′是互质的，n ′n ′和g ′g ′也就是互质的，所以D ′可以被g ′g ′整除，这与D ′不含任何平方因数的假设矛盾。
第二，如果D ′形如4k ＋2或者4k ＋3，那么n 的任意除数就是m 的一个值；反过来，m 的任意值就能整除n 。因为，如果g 是n 的一个除数，就有行列式为D 的型（g ，0， ）。显然，数g ，0， 的最大公约数是g 。现在，如果假设g 是m 的一个值，也就是说，g 是数M ，2N ，P 的最大公约数，且N 2 -MP ＝D ，按照和上面一样的方法，g 就能整除2n ，即 是一个整数。如果这个商是奇数，那么它的平方 （mod 4），因而 就要么同余于2（mod 4），要么同余于3（mod 4）。 （mod 4），因而 要么同余于2（mod 4）；要么同余于3（mod 4），但这是不可能的，因为每个平方数必须要么同余于0（mod 4），要么同余于1（mod 4）。因此， 一定是偶数，因而 是一个偶数，也即g 是n 的一个除数。
那么可知的是，1总是m 的一个值，也就是说，对于任何正的非平方数D ，方程t 2 -Du 2 ＝1以前面的方式总是可解的，只有D 形如4k 或者4k ＋1，2才是m 的一个值。
2．如果m 是一个大于2的合适的数，方程t 2 -Du 2 ＝1可以简化为m 是1或者2的一个相似的方程。设D ＝n 2 D ′，如果m 整除n ，m 2 就整除D 。如果满足方程 的p ，q 的最小的值分别是P ，Q ，那么，满足方程t 2 -Du 2 ＝m 2 的t ，u 的最小的值就是t ＝mP ，u ＝Q 。但是，如果m 不能整除n ，那么m 至少可以整除2n ，所以m 一定是偶数；那么， 就是整数。并且，如果满足方程 的p ，q 的最小的值分别是P ，Q ，那么满足方程t 2 -Du 2 ＝m 2 的t ，u 的最小的值就是 ，u ＝Q 。但是，不论是哪种情况，都能从p ，q 的最小值推导出t ，u 的最小值，还能通过这种方法从p ，q 的所有的值推导出t ，u 的所有的值。
3．假设用t 0 ，u 0 ；t ′，u ′；t ″，u ″…来表示满足方程t 2 -Du 2 ＝m 2 的t ，u 的所有可能的值（像上一个条目一样） 。如果该序列中有某个值对某个给定的模r 与第1个值同余，例如，t p ≡t 0 或t p ≡m ，u p ≡t 0 或u p ≡0（mod r ），并且接下来的值与第2个值同余，即
t p ＋1 ≡t ′，u p ＋1 ≡u ′（mod r ）
也就有
t p ＋2 ≡t ″，u p ＋2 ≡u ″；t p ＋3 ≡t ，u p ＋3 ≡u ；…
从下面的事实很容易发现这一点：两个序列t 0 ，t ′，t ″，t ，…，u 0 ，u ′，u ″，…都是循环序列。这是由于
所以就有t ″≡t p -2 。对于其余的值有类似的结果。那么，由此可以推出，一般地
t h ＋p ≡t h ，u h ＋p ≡u h （mod r ）
其中，h 是任意数；甚至更一般地，如果μ ≡v （mod p ），那么t μ ≡t v ，u μ ≡u v （mod r ）。
4．我们总是可以满足前面要求的条件；也就是说，对于任意给定的模r ，总是可以求得一个指标p ，对于这个指标，有
t p ≡t 0 ，t p ＋1 ≡t ′，u p ≡t 0 ，u p ＋1 ≡u ′
首先，第3个条件总是可以满足的。因为，由在第1种情况中给出的判别法可知，方程p 2 -r 2 Dq 2 ＝m 2 是可解的，并且，如果假设p ，q 的最小正值（m ，0除外） 是P ，Q ，显然，P ，rQ 就是t ，u 的值之一。因此，P ，rQ 就包含于序列t 0 ，t ′，…，u 0 ，u ′，…之中，并且，如果P ＝t λ ，rQ ＝u λ ，就有u λ ≡0≡u ,0 （mod r ）。进而可知，在界限u 0 和u λ 之间不存在对于模r 同余于u 0 的项。
其次，如果其他三个条件也都满足，例如，u λ ＋1 ≡u ′，t λ ≡t 0 ，t λ ＋1 ≡t ′，那么就设p ＝λ 。但是，如果这些条件中有某个条件不成立，当然可以设p ＝2λ 。因为，由等式［1］以及上个条目中关于t e ，u e 的一般公式，可以推出
因而
根据假设，r 整除u λ ，m 2 整除4D ，故而m 整除2D ，所以这个式子的值就是整数。而且，因为u 2λ ＝2t λ u λ /m ，此外，4t 2λ ＝4Du 2λ ＋4m 2 ，所以4t 2λ 能够被m 2 整除，2t λ 能够被m 整除，那么u 2λ 就能被r 整除，也即u 2λ ≡u 0 （mod r ）。再次，求得
同理， 是一个整数，就有t 2λ ＋1 ≡t ′（mod r ）。最后，求得
由于2t 2λ ＋1 能够被m 整除，并且u λ 能够被r 整除，就有u 2λ ＋1 ≡u ′（mod r ）。证明完毕。
后两条证明的实用性可以在随后的内容中发现。
202
这个问题的一种特殊情况，即求解方程t 2 -Du 2 ＝1，在18世纪已经被人研究过。那个极其聪明的几何学家费马向英国的分析学家提出了这个问题，但是沃利斯把布朗克尔称为这个解法的发现人，且在他的Algebra 一书的第98章以及Opera Mathem Wall 中提出了这一点。奥扎拉姆则声称费马是发现人；而欧拉声称佩尔（Pell ）是发现人，因此，这个问题被一些作者称为“佩尔问题”。所有这些解本质上和我们在条目198中使用a ＝1的约化型得到的结果是一样的。但在拉格朗日之前，没有人能够证明所给的运算一定能够结束，也就是说这个问题为真实可解的 [18] 。在欧拉的Algebra [19] 的附录中也给出了对这个问题的研究，我们经常引用它。但我们的方法（基于完全不同的原理，且不局限于m ＝1的情况） 给出了求解的各种方式，因为在条目198中我们是从任意约化型（a ，b ，-a ′）开始的。
203
问题
如果型Φ 和φ 等价，求一个型变换成另一个型的所有变换。
解：当这些型仅以一种方式等价时（要么正常等价，要么反常等价） ，由条目196可以求出把型φ 变换成Φ 的一个变换α ，β ，γ ，δ ，那么可知，所有其他的变换都与这个变换是同型的。但是，当φ 和Φ 既正常等价又反常等价时，可以求出两个不同型的变换（一个正常变换，一个反常变换） α ，β ，γ ，δ 和α ′，β ′，γ ′，δ ′，任何其他的变换都与这两个变换中的一个同型。那么，假设型φ 是（a ，b ，c ），它的行列式为D ，m 是数a ，2b ，c 的最大公约数（和上面所有的情况一样） ，用t ，u 表示满足方程t 2 -Du 2 ＝m 2 的所有可能的数。在第1种情况下，型φ 变换成Φ 的所有变换就包含在下面的公式（Ⅰ）中；在第2种情况下，所有变换要么包含在公式（Ⅰ）中，要么包含在公式（Ⅱ）中。
例：求型（129，92，65）变换成型（42，59，81）的所有变换。由条目195判断出它们只是反常等价，由条目196求得把第1个型变换成第2个型的一个反常变换是-47，-56，73，87。因此，型（129，92，65）变换成型（42，59，81）的所有变换可以用下式来表达
-（47t ＋421u ），-（56t ＋503u ），73t ＋653u ，87t ＋780u ，
其中，t ，u 表示满足方程t 2 -79u 2 ＝1的所有的数，这些数可以用下面的公式表达
其中e 代表所有非负整数。
204
显然，如果推导出公式的最开始的变换更简单，那代表所有变换的一般公式就更简单。由于我们从哪个变换开始是没有影响的，所以我们通过对t ，u 赋予特别的值，来推导出更加简单的变换，然后再从这个变换推导出另一个公式，那么一般公式就会得到简化。例如，在上个条目里通过令t ＝80，u ＝-9求得的公式中，我们得到一个更加简单的变换。以这种方式，我们得到变换29，47，-37，-60，以及一般公式29t -263u ，47t -424u ，-37t ＋337u ，-60t ＋543u 。因此，如果通过前面的方法求得一般公式，为t ，u 赋予值±t ′，±u ′；±t ″，±u ″，…，我们就可以检验是不是可以得到比导出这些公式更简单的变换。如果能的话，就可以从这个变换推导出更简单的公式。但是，公式怎样才算简单，这还无法明确判断。如果有用的话，我们也许能够找到一种确定的标准，在序列t ′，u ′；t ″，u ″，…中设定界限，一旦超过这个界限，变换就会越来越复杂。这样的话，我们就可以不用进一步寻找，从而把研究限定在这些界限内。但是，为了表述上的简洁，我们在此将其略去。因为用我们给出的方法，常常可以要么立刻得到最简单的变换，要么用±t ′，±u ′代替t ，u 就能得到最简单的变换。
205
问题
求出用行列式D 为正的非平方数的型ax 2 ＋2bxy ＋cy 2 表示给定数M 的所有表示法。
解：首先，研究由不互质的x ，y 的值表示的表示法，可以按照在条目181中研究行列式为负的型的方法展开。我们将它简化为能够用互质的未知数的值来讨论。这里没必要重复当时的讨论。现在，为了用互质的x ，y 的值表示M ，要求D 必须是M 的二次剩余，且如果表达式 （mod M ）的所有的值是N ，-N ，N ′，-N ′，N ″，-N ″，…（我们可以选择其中不大于M /2的数） ，那么，数M 由给定的型的表示就属于这些值中的一个。因此，我们首先求出这些值，然后再研究属于其中每个值的表示。不存在任何属于N 的值的表示，除非型（a ，b ，c ）和［M ，N ，（N 2 -D ）/M ］是正常等价的；但如果它们是正常等价的，我们必须求得前者变换为后者的一个正常变换，设这个变换为α ，β ，γ ，δ 。那么，通过令x ＝α ，y ＝γ ，我们就能得到属于N 的值的数M 由型（a ，b ，c ）给出的表示，并且，所有属于这个值的表示都可以由公式
表达，其中m 是数a ，2b ，c 的最大公约数；t ，u 表示所有满足方程t 2 -Du 2 ＝m 2 的数。但是显然，如果推导出这个公式的变换α ，β ，γ ，δ 更简单，则上面的公式就更简单。那么，我们像上个条目一样找出型（a ，b ，c ）变换为［M ，N ，（N 2 -D ）/M ］的最简单变换就非常有用了，只要由它推导出一般公式即可。以完全同样的方式，我们可以推导出属于剩下的-N ，N ′，-N ′，…的表示的一般公式（如果这些公式存在的话） 。
例：求数585由型42x 2 ＋62xy ＋21y 2 给出的所有表示。就x ，y 的值不互质的表示而言，很明显，除了x ，y 的最大公约数是3之外，不存在其他的表示，因为585只能被一个平方数，也就是9整除。因此，如果我们求出数585/9即65的由型42x ′x ′＋62x ′y ′＋21y ′y ′ （x ′与y ′互质） 给出的所有表示之后，令x ＝3x ′，y ′＝3y ′，我们就能推导出数585由型42x 2 ＋62xy ＋21y 2 （x ，y 不互质） 给出的所有表示。表达式 （mod 65）的值就是±12，±27。数65属于值-12的表示就求得为x ′＝2，y ′＝-1。因此，所有属于这个值的65的全部表示就可以由公式x ′＝2t -41u ，y ′＝-t ＋53u 给出，并且通过令x ＝6t -123u ，y ＝-3t ＋159u ，585的所有表示都由此 产生。以类似的方式，我们求出数65属于值＋12的所有的表示是x ′＝22t -199u ，y ′＝-23t ＋211u ；且数585由此导出的所有表示法是x ＝66t -597u ，y ＝-69t ＋633u 。但是，由于数65没有任何表示属于值＋27和-27，为了求得数585的表示（x ，y 互质） ，我们必须计算表达式 （mod 585）的值，它们是±77，±103，±157，±248。不存在属于值±77，±103，±248的表示。但是，表示x ＝3，y ＝1属于值-157，且我们推导出所有属于这个值的一般公式为x ＝3t -114u ，y ＝t ＋157u 。类似地，我们求出属于值＋157的表示为x ＝83，y ＝-87，包含所有类似表示的公式是x ＝83t -746u ，y ＝-87t ＋789u 。因此，我们得到由型42x 2 ＋62xy ＋21y 2 表示数585的4个一般公式
