206
问题
给定具有平方数行列式h 2 的型（a ，b ，c ），h 是正根，求与之正常等价的型（A ，B ，C ），其中A 位于界限0和2h -1内（包含边界），B ＝h ，C ＝0。
解：1．由于h 2 ＝b 2 -ac ，就有
（h -b ）∶a ＝c ∶-（h ＋b ）
设比值β ∶δ 就等于这个比值，β 和δ 是互质的。确定α ，γ ，使得αδ -βγ ＝1。这是可以做到的：通过代换α ，β ，γ ，δ ，型（a ，b ，c ）就变换成了（a ′，b ′，c ′），这两个型是正常等价的。就有
而且，如果a ′已经位于界限0和2h -1之内，型（a ′，b ′，c ′）就满足所有条件。
2．但是，如果a ′位于界限0和2h -1之外，设A 是a ′对于模2h 的最小正剩余，A 显然位于这两个界限之间。设A -a ′＝2hk 。那么，型（a ′，b ′，c ′），即（a ′，h ，0）就可以通过变换1，0，k ，1变换成型（A ，h ，0）。这个型就正常等价于型（a ′，b ′，c ′）和（a ，b ，c ）并且满足所有条件。那么，显然，型（a ，b ，c ）可以通过代换α ＋βk ，β ，γ ＋δk ，δ 变换成型（A ，h ，0）。
例：给定行列式为9的型（27，17，8）。由于h ＝3，且4∶-9是与-12∶27＝8∶-18相等的最简形式。因此，设代换数β ＝4，δ ＝9，α ＝-1，γ ＝2，型（a ′，b ′，c ′）就变成（-1，3，0），它通过代换1，0，1，1就变换成了型（5，3，0）。这就是要求的型，且给定的型就通过正常代换3，4，-7，-9变换成型（5，3，0）。
这种型（A ，B ，C ）——其中C ＝0，B ＝h 且A 位于界限0和2h -1之间——就称为约化型 。我们必须把它们同行列式为负数或者非平方数的约化型小心区别开来。
207
定理
两个不相同的约化型（a ，h ，0）和（a ′，h ，0）不可能是正常等价的。
证明
假设它们是正常等价的，前者就可以通过正常代换α ，β ，γ ，δ 变换成后者，并且可以得到4组等式
用β 乘等式［2］，用α 乘等式［3］，然后两式相减，得到-h （αδ -βγ ）β ＝βh ，又由式［4］得到-βh ＝βh ，所以一定有β ＝0。因而，再次使用式［4］，可以得到αδ ＝1以及α ＝±1。那么，由式［1］得a ±2γh ＝a ′。但是，这个等式是不成立的（因为根据假设，a 和a ′位于0和2h -1之间） ，除非γ ＝0，即a ＝a ′，或者（a ，h ，0）和（a ′，h ，0）是相同的型，但这与假设相矛盾。
那么，连下面的更加困难的非平方数行列式的问题，都可以非常轻松地求解了。
1．给定两个相同的平方数行列式的型F 和F ′，判断它们是不是正常等价 。分别求两个与型F 和F ′正常等价的约化型，如果它们是恒等的，那么给定的型就是等价的，反之则不是。
2．给定两个相同的平方数行列式的型F 和F ′，研究它们是不是反常等价。 设G 是与给定的型相反的型，例如G 是与F 相反的型。如果G 与F ′正常等价，那么F 和F ′就反常等价；否则，F 和F ′就不是反常等价。
208
问题
给定两个行列式为h 2 且正常等价的型F 和F ′，求可以把其中一个型变换成另一个型的正常代换。
解：设Φ 是一个正常等价于型F 的约化型。根据条件，Φ 就也正常等价于型F ′。由条目206，可以确定一个把型F 变换为Φ 的正常代换。设这个正常代换是α ，β ，γ ，δ ，并且设把型F ′变换为Φ ′的正常代换是α ′，β ′，γ ′，δ ′。那么，Φ 就可以通过正常代换δ ′，-β ′，-γ ′，α ′变换成F ′，因而F 可以通过正常变换αδ ′-βγ ′，βα ′-αβ ′，γδ ′-δγ ′，δα ′-γβ ′变换成F ′。
在不知道约化型Φ 的情况下，找出一种能把型F 变换为型F ′的另一种公式会很有用。假设，型F ＝（a ，b ，c ），F ′＝（a ′，b ′，c ′），Φ ＝（A ，h ，0）。由于β ∶δ 是最简比值，它等于（h -b ）∶a 或者c ∶-（h ＋b ），容易发现的是， 是一个整数，将它用f 表示，并且，c /β ＝（-h -b ）/δ 也是一个整数，我们令之为g 。因为A ＝aα 2＋2bαγ ＋cγ 2，于是βA ＝aα 2β ＋2bαβγ ＋cβγ 2，再用δ （h -b ）代替aβ 并且用βg 代替c ，得出
βA ＝α 2 δh ＋b （2βγ -αδ ）α ＋β 2 γ 2 g
又因为b ＝-h -δg ，可得
βA ＝2α （αδ -βγ ）h ＋（αδ -βγ ）2 g ＝2αh ＋g
类似地，可得
因此
按照完全相同的方式，设
得出
如果将这些值α ，γ ，α ′，γ ′代入刚刚给出的由型F 变换为F ′的公式中，就得到
在这里面A 已经完全消失不见了。
如果给定两个反常等价的型F 和F ′，要求其中一个型变换成另一个型的反常代换，我们就可以设G 是与型F ′相反的型，又设型G 变换成F ′的正常代换是α ，β ，γ ，δ 。那么，显然α ，β ，-γ ，-δ 就是把型F 变换成型F ′的反常代换。
最后，如果给定的型是既正常等价又反常等价，那么，这个方法可以给出两个代换，一个是正常代换，另一个是反常代换。
209
现在仅仅剩下如何从一个变换推导出所有其他类似的变换的问题。这个问题取决于解不定方程t 2 -h 2 u 2 ＝m 2 ，其中m 是数a ，2b ，c 的最大公约数，且（a ，b ，c ）是这两个等价的型中的一个。但是这个方程仅有两种解法，那就是：要么设t ＝m ，u ＝0，要么设t ＝-m ，u ＝0。因为，如果还有另一种解法t ＝T ，u ＝U ，其中U 不等于0，那么，由于m 2 一定能整除4h 2 ，就得到了 ，并且 和 就都是整数的平方。但是，很明显，数4不可能是两个整数的平方的差，除非较小的那个平方数是0，即U ＝0，这与假设矛盾。因此，如果型F 通过代换α ，β ，γ ，δ 变换为型F ′，那么除了代换-α ，-β ，-γ ，-δ 外，就不存在其他同型的变换把型F 变换为型F ′。因此，如果两个型仅仅是正常等价的，或者仅仅是反常等价的，那么只有两个代换能够把其中一个型变换成另一个型；但是，如果它们既正常等价又反常等价，那么就有四个代换能够把其中一个型变换成另一个型，两个是正常代换，两个是反常代换。
210
定理
如果两个约化型（a ，h ，0），（a ′，h ，0）是反常等价的，就有aa ′≡m 2 （mod 2mh ），其中m 是数a 和2h 的最大公约数，或者是a ′和2h 的最大公约数；并且反过来，如果a 和2h 的最大公约数，a ′和2h 的最大公约数都是m ，且aa ′≡m 2 （mod 2mh ），型（a ，h ，0），（a ′，h ，0）就是反常等价的。
证明
1．设型（a ，h ，0）可以通过反常代换α ，β ，γ ，δ 变换成型（a ′，h ，0），于是得到4个等式
如果用h 乘以式［4］，并且把这个结果从［2］式中减去，写作［2］-h ［4］，由此推出
类似地，由γδ ［2］-γ 2 ［3］-（a ＋aβγ ＋hγd ）［4］，删掉正负相抵的项，就得到了
最后，由a ×［1］得到
aα （aα ＋2hγ ）＝aα ′，或者（aα ＋2hγ ）2 -aα ′＝2hγ （aα ＋2hγ ）
或者
现在，由式［5］和式［6］可以推出：aα ＋2hγ 整除2h 和a ，因而也能够整除m ——这里m 是a 和2h 的最大公约数；但是，显然m 也整除aα ＋2hγ ，因此，aα ＋2hγ 就只能是要么等于＋m ，要么等于-m 。并且，再由式［7］可以推出m 2 ≡aα ′（mod 2mh ）。第1部分证讫。
2．如果a ，2h 的最大公约数和a ′，2h 的最大公约数都是m ，并且aa ′≡m 2 （mod 2mh ），那么，a /m ，2h /m ，a ′/m ，（aa ′-m 2 ）/2mh 就都是整数。容易确定的是，型（a ，h ，0）可以通过反常代换 变换成型（a ′，h ，0）。因此，这两个型就是反常等价的。第2部分证讫。
由此也能够立即判断任意给定的型（a ，h ，0）是不是与它自身反常等价。也就是说，如果m 是数a ，2h 的最大公约数，应该就有a 2 ≡m 2 （mod 2mh ）。
211
如果在不定型（A ，h ，0）中用从0到2h -1的数来替换A ，就得到了所有给定行列式为h 2的约化型。它们一共有2h 个。很清楚的是，行列式为h 2的所有的型可以分为2h 个类，它们与前面提到的（条目175和195） 行列式为负及行列式为正的非平方数的型所有的类有完全相同的性质。那么，行列式为25的型就可以分成10个类，它们可以通过包含在每个类中的约化型来区分。这些约化型分别是：（0，5，0），（1，5，0），（2，5，0），（5，5，0），（8，5，0），（9，5，0），每个约化型都和它自身反常等价；（3，5，0）和（7，5，0）反常等价；以及（4，5，0）和（6，5，0）反常等价。
212
问题
求一个给定的数M 由一个行列式为h 2 的给定型ax 2 ＋2bxy ＋cy 2 来表示的所有的表示法。
根据条目168，并通过条目180，181，205中对于行列式为负的和正的非平方数的型的完全相同的方法，我们就可以解决这个问题。这里再重复叙述是多余的，因为这没有任何困难。但另一方面，根据针对此问题的另一个原理来求解，就不是多余的了。
如同在条目206和208中，设
我们可以毫无困难地证明，给定的型是因式δx -βy 和fx -gy 的乘积。那么，由给定的型表示M 的任何表示法，都给出了数M 分解成两个因数的分解方式。因此，如果数M 的所有除数是d ，d ′，d ″，…（也包含1和M 自身，并且每个除数取两次，既取正数，也取负数） ，可知，通过连续假设
就可以得到数M 的所有表示法，由此可以推导出x ，y 的值，其中那些给出x ，y 值为分数的表示法应当舍去。实际上，由前两个等式可得到
因为βf -δg ＝2h ，所以这些式子的分母就一定不等于0，进而这些x ，y 的值就总是确定的。根据相同的原理——每个具有二次行列式的型都可以分解成两个因数的乘积——我们可以解决其他的问题；但是，此处我们更倾向于使用与前面针对具有非平方数行列式的型的相类似的方法。
例：求数12由型3x 2 ＋4xy -7y 2 表示的所有表示法。这个型可以分解为因式x -y 和3x ＋7y 。数12的因数分别是±1，±2，±3，±4，±6，±12。设x -y ＝1，3x ＋7y ＝12，得到 因为它们是分数，必须舍去。以同样的方式，由因数-1，±3，±4，±6，±12得到没有用的值；但是由因数＋2，得到值x ＝2，y ＝0，并且由因数-2，得到x ＝-2，y ＝0。因此，除了这两个值之外，就没有其他表示法了。
如果M ＝0，就不能使用这种方法。显然，在此情况下x ，y 的所有值要么满足方程δx -βy ＝0，要么满足方程fx -gy ＝0。前一个方程的所有解包含于公式x ＝βz ，y ＝δz 中，其中z 是任意整数（只要符合假设β 和δ 是互质的） ；类似地，如果m 是数f 和g 的最大公约数，第二个方程的所有解就可以由公式 表示。因此，这两个一般性公式包括了数M 在此种情况下的所有表示法。
在前面的讨论中，所有与型的等价性有关的问题，求型的所有变换的问题，以及给定的数由给定的型表示的问题都已经得到了满意的解答。剩下的问题只需指出：如果给出两个由于有不相等的行列式而不等价的型，那么，如何判断是否有一个包含在另一个之中，若是如此，又如何求出将前一个型变换为后一个型的所有代换。
