213
上面（条目157，158） 已经证明，如果行列式为D 的型f 包含行列式为E 的型F ，并且型f 可以通过代换α ，β ，γ ，δ 变换成F ，那么E ＝（αδ -βγ ）2 D 。如果αδ -βγ ＝±1，那么型f 不仅包含型F ，而且还与之等价。因此，如果型f 包含F 但是不与之等价，商 就是一个大于1的整数。因此，要解决的问题就是：判断一个行列式为D 的给定的型f 是否包含行列式为De 2 的给定的型F ，其中假定e 为大于1的一个正整数。为了解决这个问题，就要指出如何求出包含于f 之中的个数有限的型，使得如果F 包含于f 之中，那么F 就必定与f 中的某个型等价。
1．假设所有数e 的正因数（包含1和e 本身） 分别是m ，m ′，m ″，…，并且e ＝mn ＝m ′n ′＝m ″n ″…。为了简洁，就用（m ；0）表示f 通过正常代换m ，0，0，n 变换成的型；用（m ；1）表示f 通过正常代换m ，1，0，n 变换成的型；…；一般地，用（m ；k ）表示f 通过正常代换m ，k ，0，n 变换成的型。类似地，f 就通过正常代换m ′，0，0，n ′变换成（m ′；0）；通过m ′，1，0，n ′变换成（m ′；1）；通过m ″，0，0，n ″变换成（m ″；0）；…；所有这些型都正常包含于f 中，它们每一个型的行列式都是De 2 。用Ω 表示所有的型：（m ；0），（m ；1），（m ；2），…，（m ；m -1）；（m ′；0），（m ′；1），…，（m ′；m ′-1）；（m ″；0）…。它们的个数就是m ＋m ′＋m ″，并且容易发现，它们都是彼此不同的。
例：如果型f 是（2，5，7）并且e ＝5，Ω 就包含以下6个型（1；0），（5；0），（5；1），（5；2），（5；3），（5；4），并且，如果把这些型计算出来，它们就是（2，25，175），（50，25，7），（50，35，19），（50，45，35），（50，55，55），（50，65，79）。
2．我现在断言，如果具有行列式De 2 的型F 正常包含于型f ，它就一定正常等价于Ω 中的某一个型。假设型f 可以通过正常代换α ，β ，γ ，δ 变换成型F ，就有αδ -βγ ＝e 。设数γ ，δ 的最大正公约数（γ ，δ 不可能同时为0） 等于n ，并且设 ，m 显然是一个整数。选择g ，h ，使得γg ＋δh ＝n ，并且设k 是数αg ＋βh 对于模m 的最小正剩余。那么，型（m ；k ）（它显然包含在Ω 中） 就正常等价于型F ，并且可以通过正常代换
变换成型F 。
因为，第一，显然这4个数是整数；第二，容易确定这个变换是正常变换；第三，显然型（m ；k ）通过这个代换所变成的型与型f [20] 通过代换
所变成的型是一样的；或者说，由于mn ＝e ＝αδ -βγ ，因而βγ ＋mm ＝αδ ，αδ -mn ＝βγ ，所以上面的代换就是
最后，因为γg ＋δh ＝n ，所以这就是代换α ，β ，γ ，δ 。根据假设，这个代换把f 变成了F 。所以，（m ；k ）和F 就是正常等价的。证讫。
因此，我们总是能够判断一个行列式为D 的给定的型f 是不是正常包含行列式为De 2 的型F 。如果想要知道f 是不是反常包含F ，只要研究与F 相反的型是不是包含在型f 中即可（条目159） 。
214
问题
给定两个型，行列式为D 的型f 和行列式为De 2 的型F ，前者正常包含后者；求出所有把型f 变换为型F 的正常代换。
解：用Ω 表示上个条目中相同的型的总体，从中取出所有与F 正常等价的型，设它们是Φ ，Φ ′，Φ ″，…。这些型中的每一个都给出型f 变换成F 的正常代换，每个型给出不同的代换，但加在一起就给出了全部代换（也就是说，型f 变换成F 的全部正常代换都来自Φ ，Φ ′，Φ ″，…中的型） 。由于这个方法对于所有的型Φ ，Φ ′，Φ ″，…都是一样的，我们就只讨论其中一个型。
我们假设Φ 是（M ；K ），且e ＝MN ，f 可以通过正常代换M ，K ，0，N 变换成Φ 。进而，一般地，我们用 ， ， ， 表示型Φ 变换成F 的所有正常代换。那么，显然，f 就可以通过正常代换 变换成Φ 。以这种方式，型Φ 变换成F 的任意一个正常代换就给出型f 变换成F 的一个正常代换。其他的型Φ ′，Φ ″，…应当按照相同的方式讨论，它们中每个型变换成F 的正常代换就给出型f 变换成F 的一个正常代换。
为了证明这个解在每个方面都是完整的，我们必须证明：
1．型f 变换成F 的所有可能的正常代换都可以以这种方式得到 。设型f 变换成F 的任意正常代换是α ，β ，γ ，δ ，如同在条目213第2点中的证明一样，令n 是数γ ，δ 的最大公约数；按照上个条目中的方式确定数m ，g ，h ，k 。那么，型（m ；k ）就出现在型Φ ，Φ ′，Φ ″，…中，并且
就是把这个型变换成F 的正常代换之一，根据我们给出的法则，就可得到代换α ，β ，γ ，δ ，上个条目已经给出了所有证明。
2．以这种方式得到的所有代换彼此都是不同的；也就是说，每种代换只能得到一次 。不难发现的是，由同一个型Φ 或者Φ ′…变换成F 的不同代换不可能得到型f 变换成F 的同一个变换。我们以下面的方式证明：不同的型，例如Φ 和Φ ′，不可能产生同一个代换。我们假设型f 变换成F 的正常代换α ，β ，γ ，δ ，既能 通过型Φ 变换成F 的正常代换 ， ， ， 得到，又能 通过型Φ ′变换成F 的正常代换 ′， ′， ′， ′得到。设Φ ＝（M ；K ），Φ ′＝（M ′；K ′），e ＝MN ＝M ′N ′，我们就得到以下等式
由 ［4］- ［3］，并且使用等式［5］，可以推出 因而N ′整除N ；类似地，由 我们得到 ，且N 整除N ′。现在，由于假设N 和N ′都是正数，我们一定得到N ＝N ′且M ＝M ′，因而，由［3］和［4］得， 。进而，由 得到
因此，K ≡K ′（mod M ）。对于这一结果，除非K ＝K ′，否则这是不可能的，因为K 和K ′都位于界限0和M -1之间。因此，型Φ 和Φ ′就是相同的型，这与假设矛盾。
显然，如果D 是负数或正的平方数，这个方法就能给出型f 变换成F 的所有正常代换；如果D 是正的非平方数，这个方法可以给出某种包含所有正常代换的一般性方程（它们的个数是无限的） 。
最后，如果型F 反常包含于型f ，那么用所给的方法可以轻松地求得前者变换成后者的所有反常代换。也就是说，如果α ，β ，γ ，δ 表示型f 变换成与F 相反的型的所有正常代换，那么型f 变换成F 的所有反常代换就可以由α ，-β ，γ ，-δ 表示。
例：我们求型（2，5，-7）变换成（275，0，-1）的所有代换，其中既包含正常变换，又包含反常变换。在上个条目中，对于这种情况我们给出了型的整体Ω 。如果我们检查这些型，就会发现它们通过代换（5；1）和（5；4）都正常等价于型（275，0，-1）。根据我们上面的理论，型（5；1）的所有正常代换，即（50，35，19）变换成（275，0，-1）的所有正常代换，就包含于一般公式
16t -275u ，-t ＋16u ，-15t ＋275u ，t -15u
中，这里t ，u 是满足方程t 2 -275u 2 ＝1的所有整数的不定表示，因此，由此得到的型（2，5，7）变换成（275，0，-1）的所有正常代换就包含于一般公式
65t -1 100u ，-4t ＋65u ，-15t ＋275u ，t -15u
中。类似地，型（5；4）的所有正常代换，即（50，65，79）变换成（275，0，-1）的所有正常代换，就包含于一般公式
14t ＋275u ，t ＋14u ，-15t -275u ，-t -15u
中。因而，由此得到的型（2，5，7）变换成（275，0，-1）的所有正常代换就包含于
10t ＋275u ，t ＋10u ，-15t -275u ，-t -15u
中。因此，这两个公式就包含 [21] 了我们要求的所有正常代换。以这种方式，我们求得型（2，5，7）变换成（275，0，-1）的所有反常代换包含于以下两个公式中
（Ⅰ）65t -1 100u ，4t -65u ，-15t ＋275u ，-t ＋15u
（Ⅱ）10t ＋275u ，-t -10u ，-15t -275u ，t ＋15u
