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到目前为止，我们的讨论中一直排除了行列式为0的型。现在，为了让理论在每个方面都是完整的，我们必须讨论一下这些型。由于我们做过一般性的证明：如果一个行列式为D 的型包含一个行列式为D ′的型，D ′是D 的倍数；那么，一个行列式等于0的型不可能包含另外一个型，除非那个型的行列式也等于0。现在，只剩下两个问题需要解决：（1）给定两个型f 和F ，F 的行列式为0，判断f 是不是包含F ，并且如果f 包含F ，求能够把f 变换成F 的所有代换；（2）求一个给定的数由给定的行列式为0的型表示的所有表示法。 对于第一个问题，当型f 的行列式也是0时，需要一种方法；当型f 的行列式不是0时，需要另一种方法。现在来解释这一点。
1．首先，我们指出，行列式b 2 -ac ＝0的任意型ax 2 ＋2bxy ＋cy 2 都能表示为m （gx ＋hy ）2 ，其中g ，h 是互质的，m 是整数。设m 是a 和c 的最大公约数，且与a 和c 取相同的符号（容易发现，a 和c 不可能有相反的符号） 。那么， 就是互质的非负整数，并且它们的乘积就等于 ，是一个平方数。因而 就都是平方数（条目21） 。设 且g 和h 就也是互质的，因而有 且 。因此，可知
m （gx ±hy ）2 ＝ax 2 ＋2bxy ＋cy 2
现在，设给定两个型f 和F ，它们的行列式都是0，并且
f ＝m （gx ＋hy ）2 ，F ＝M （GX ＋HY ）2
这里g 和h 互质，G 和H 互质。现在，我断言，如果型f 包含型F ，m 要么等于M ，要么至少整除M ，并且它们的商是平方数；反过来，如果 是个平方整数，型F 就包含于型f 中。假设f 通过代换
x ＝αX ＋βY ，y ＝γX ＋δY
变换成F ，就有
并且，由此容易推出 是个平方数。设 ，有
e （GX ＋HY ）＝±［（αg ＋γh ）X ＋（βg ＋δh ）Y ］
即
±eG ＝αg ＋γh ，±eH ＝βg ＋δh
因此，如果假定 使得 ，就得到±e ＝ （αg ＋γh ）＋ （βg ＋δh ），因而它是一个整数，第1部分证毕。
反过来，如果 是个平方整数e 2 ，那么型f 就包含型F 。也就是说，可以这样确定整数α ，β ，γ ，δ ，使得
αg ＋γh ＝±eG ，βg ＋δh ＝±eH
如果求得整数 使得 那么，可以通过令
来满足这些方程。其中，z 和z ′可以为任意整数值。因此，F 就包含于f 中，第2部分证明完毕。同时，不难发现的是，这些公式给出了α ，β ，γ ，δ 可以取的所有的值，即给出了型f 变换为型F 的所有代换，前提是z 和z ′取遍所有整数值。
2．给定行列式不等于0的型f ＝ax 2 ＋2bxy ＋cy 2 ，以及行列式等于0的型F ＝M （GX ＋HY ）2 （这里像之前一样，G 和H 是互质的） 。我断言，首先，如果f 包含F ，数M 就可以用型f 来表示；其次，如果M 能够用f 表示，F 就包含在f 中；再次，在这种情况下，由型f 表示的数M 的所有表示法可以用通式x ＝ξ，y ＝ν来给出，型f 变换成型F 的所有变换可以通过G ξ，H ξ，G ν，H ν给出。证明如下：
1）假设f 通过代换α ，β ，γ ，δ 变换成F ，求数 使得 ＋ ＝1。那么，很明显，如果设 ，型f 的值就变成M ，因而M 可以由型f 表示。
2）假设a ξ2 ＋2b ξv 2 ＋c ν2 ＝M ，显然，通过代换G ξ，H ξ，G ν，H ν，型f 可以变换成F 。
3）在此情况下，如果ξ，ν包含使得f ＝M 的所有x ，y 的值，那么代换G ξ，H ξ，G ν，H ν就给出了由型f 变换成型F 的所有代换。证明如下：设α ，β ，γ ，δ 是型f 变换成型F 的任意代换，并且像之前一样设GG ＋HH ＝1，那么，在x ，y 的所有值中，就也存在以下值
由此，得到代换
也即
但是，由于
a （αX ＋βY ）2 ＋2b （αX ＋βY ）（γX ＋δY ）＋c （γX ＋δY ）2 ＝M （GX ＋HY ）2
得出
a （αδ -βγ ）2 ＝M （δG -γH ）2
c （βγ -αδ ）2 ＝M （βG -αH ）2
因此［由于型f 的行列式乘以（αδ -βγ ）2 就等于型F 的行列式，即等于0，所以有αδ -βγ ＝0 ］，δG -γH ＝0，βG -αH ＝0。因此，我们所讨论的代换就简化为α ，β ，γ ，δ ，并且所讨论的公式可以生成把型f 变换为型F 的所有代换。
3．最后我们还要指出，怎样找出由一个行列式为0的给定的型来表示一个给定的数的所有表示法。设这个型是m （gx ＋hy ）2 ，立即可知的是，这个数能够被m 整除，并且它们的商是一个平方数。因此，如果用me 2 表示给定的数，那么对于给出了m （gx ＋hy ）2 ＝me 2 的x ，y 的值就是那些使得gx ＋hy 要么等于＋e ，要么等于-e 的值。因此，如果求出了线性方程gx ＋hy ＝e ，gx ＋hy ＝-e 的所有整数解，就得到了全部的表示法。显然，这两个线性方程是可解的（如果g ，h 照前面的假设是互质的） 。也就是说，如果确定 使得 ，通过令 ，第1个方程就得到了满足；通过令 ，且z 是任意整数，第2个方程就得到了满足。同时，如果一般地令z 代表任意整数，这些公式就给出了x ，y 的所有整数值。
作为这些研究之大成，我们在下一节内容介绍。
