216
问题
求一般的 [22] 二元二次不定方程ax 2 ＋2bxy ＋cy 2 ＋2dx ＋2ey ＋f ＝0的所有整数解，其中a ，b ，c ，…都是任意给定整数。
解：引入量p ＝（b 2 -ac ）x ＋be -cd 和q ＝（b 2 -ac ）y ＋bd -ae 来代替未知数x ，y 。当x ，y 是整数时，这两个量显然是整数。将p ，q 代入方程可得
ap 2 ＋2bpq ＋cq 2 ＋f （b 2 -ac ）2 ＋（b 2 -ac ）（ae 2 -2bde ＋cd 2 ）＝0
或者，如果为了简洁，写成
f （b 2 -ac ）2 ＋（b 2 -ac ）（ae 2 -2bde ＋cd 2 ）＝-M
我们得到
aq 2 ＋2bpq ＋cq 2 ＝M
在上个章节中我们指出了如何求这个方程的所有解，即数M 由型（a ，b ，c ）表示的所有表示法。那么，对于每组p ，q 的值，借助表达式
便可确定对应x ，y 的值。显然，所有这些值都满足给定的方程，并且其中包含了x ，y 的所有整数值。因此，如果从中舍去所有分数，那么就得到了想要保留的所有的解。
关于这个解法，必须指出以下几点：
1．如果M 不能由型（a ，b ，c ）表示，或者从任何表示中都得不到x ，y 的整数值，那么方程就没有整数解。
2．当型（a ，b ，c ）的行列式b 2 -ac 是负的或者正的平方数，并且M 不等于0时，数M 的表示的个数就是有限的，因而所给方程的解的个数（如果有的话） 也是有限的。
3．当b 2 -ac 是正的非平方数，或者b 2 -ac 是平方数且M ＝0时，如果数M 可以由型（a ，b ，c ）表示，那么就有无穷多种不同的表示法。但是，由于不可能逐个求出这些表示，并检验由它们给出的x ，y 的值是整数还是分数，有必要确立一种法则，通过它能确定没有表示会给出x ，y 的值为整数（因为不论尝试多少种表示，如果不确立这种规则，就永远都无法确定） 。并且，当一些表示法给出x ，y 的值为整数，另一些表示法给出x ，y 的值为分数时，必须确定一般地如何区分这两种表示法。
4．当b 2 -ac ＝0时，x ，y 的值完全不可能由前面的公式确定。因此，对于这种情况需要一种特殊方法。
巴克沙手稿
于1881年发掘出的巴克沙手稿，是公元前2世纪至公元3世纪期间印度数学的唯一见证。这些书写在桦树皮上的手稿记载有丰富的数学内容，涉及分数、平方根、数列、收支与利润计算。尤其值得注意的是，手稿中出现了完整的十进制。
217
对于b 2 -ac 是正的非平方数的这种情况，上面指出数M 由型ap 2 ＋2bpq ＋cq 2 表示的所有表示法（如果存在） 能够由下面的一个或更多个公式给出
其中 是给定的整数；m 是数a ，2b ，c 的最大公约数；t ，u 是一般地满足方程t 2 -（b 2 -ac ）u 2 ＝m 2 的所有整数。由于t ，u 既能够取正值，也能够取负值，所以这两个公式可以用下面的4个公式来代替
现在，所有公式的个数是原先的四倍，并且这里的t ，u 不再是满足方程t 2 -（b 2 -ac ）u 2 ＝m 2 的所有的数，而仅仅是满足方程的所有正值。因此，应当对这些型分别考虑，并且必须研究t ，u 的哪些值能给出x ，y 的整数值。
由公式
得出x ，y 的值就是这些
我们之前指出，t 的所有（正） 值构成一个循环的序列t 0 ，t ′，t ″，…，类似对应的u 的值也构成循环的序列u 0 ，u ′，u ″，…；进而能够指定一个数p ，使得对于任意给定的模，有
t p ≡t 0 ，t p ＋1 ≡t ′，t p ＋2 ≡t ″，…，u p ≡u 0 ，u p ＋1 ≡u ′，…
取数m （b 2 -ac ）作为模，为了简洁，用x 0 ，y 0 表示当t ＝t 0 ，u ＝u 0 时得到的x ，y 的值。类似地，用x ′，y ′表示用t ＝t ′，u ＝u ′得到的x ，y 的值，…。那么，不难发现，如果x h ，y h 是整数，恰当地选择p ，使得x h ＋p ，y h ＋p ，x h ＋2p ，y h ＋2p ，一般地，x h ＋kp ，y h ＋kp 就也是整数。反过来，如果x h 或者y h 是分数，x h ＋kp ，y h ＋kp 就也是分数。总结：如果构建对应于指标0，1，2，…，p -1的x ，y 的值，而这些指标中的每一个都不能使x ，y 同时是整数，那么就没有哪个指数能使x ，y 都取到整数值，从而由公式［1］不可能推出整数值x ，y 。但是，如果存在一些指数，例如μ ，μ ′，μ ″，…，对于这些指标，x ，y 都有整数值，那么，可以由公式［1］得到所有的整数值x ，y ，这些指标具有形式μ ＋kp ，μ ′＋kp ，μ ″＋kp ，…，其中k 是包括0的任意整数。
包含p ，q 的值的其他公式可以用完全相同的方式来处理。如果从所有这些公式中都不能得到x ，y 的整数值，那么所给方程完全没有整数解；但是，如果它有解，那么所有整数解都可以通过上面的法则得到。
218
当b 2 -ac 是平方数且M ＝0时，p ，q 的所有值就包含于两组公式中：p ＝ ，q ＝ ；p ＝ ，q ＝ 。这里z 表示任意整数， 是给定整数，并且第1个数和第2个数没有公约数，第3个数和第4个数也没有公约数（条目212） 。由第1组公式给出的x ，y 的所有整数值就包含于公式
并且，由第2组公式给出的x ，y 的所有其他值就包含于公式
但是，由于这两组公式都会给出分数的值（除非b 2 -ac ＝1） ，有必要将每个公式中那些使得x 和y 均为整数的z 的值同其他z 的值区分开，不过，只要考虑第1个公式就够了，因为同样的方法对第2个公式也适用。
由于 是互质的，我们能够找出两个数 使得 ，由此得到
显然，使x 和y 均为整数的z 的所有值必须相对于模b 2 -ac 与a （be -cd ）＋b （bd -ae ）同余，或者必须包含于公式（b 2 -ac ）z ′＋a （be -cd ）＋b （bd -ae ）中，其中z ′表示任意整数。那么，代替公式［1］，我们轻松地得到了下面的公式
显然，这些公式要么对所有z ′的值都能给出x ，y 的整数值，要么对所有z ′的值都不可能给出x ，y 的整数值，而且前一种情况当 （bd -ae ）和 （be -cd ）对于模b 2 -ac 同余时成立，后一种情况当它们不同余时成立。我们可以用和处理公式［1］完全相同的方式处理公式［2］，并且把整数解（如果有） 和其余的解分开。
219
当b 2 -ac ＝0时，型ax 2 ＋2bxy ＋cy 2 就可以表示为m （αx ＋βy ）2 ，其中m ，α ，β 是整数（条目215） 。如果设αx ＋βy ＝z ，所给方程就可以变成
mz 2 ＋2dx ＋2ey ＋f ＝0
由此推导出
显然，除非αe ＝βb （马上单独讨论这种情况） ，否则由任意的z 代入这些公式所得到的x ，y 都满足所给方程。因此，剩下我们仅要指出如何确定给出x ，y 整数值的z 的值即可。
由于αx ＋βy ＝z ，有必要为z 仅选取整数值。进而可知，如果z 的某个值可以给出x 和y 的整数值，那么所有对于模2αe -2βd 与这个值同余的所有的z 的值都可以给出x 和y 的整数值。因此，如果用从0到2αe -2βd -1（包含边界） 的所有整数代替z （当αe -βd 是正数） ，或者用从0到2βd -2αe -1（当αe -βd 是负数） ，那么对于所有这些值，若x ，y 不是整数，则z 的任何值都不能使得x ，y 取整数，并且所给方程就没有整数解。但是，如果对于z 的某些值（例如ζ，ζ′，ζ″，…） ，x ，y 有整数值（可以按照第4章的原理通过求解二次同余方程来求出它们） ，则只要令z ＝（2αe -2βd ）v ＋ζ，z ＝（2αe -2βd ）v ＋ζ′，…，其中v 取所有整数，就求出了所给方程的所有解。
220
现在必须找出一种特殊的方法处理条目219中排除的情况，也就是αe ＝βb 。假设α ，β 是互质的，由条目215.1可知，这种假设是可以的。那么，我们就得到 ，而且它是一个整数（条目19） 。我们令此分式为h ，那么，所给的方程有这样的形式
（mαx ＋mβy ＋h ）2 -h 2 ＋mf ＝0
显然，除非h 2 -mf 是平方数，否则这个方程不可能有有理数解。设h 2 -mf ＝k 2 ，所给方程就等价于下面两个方程
mαx ＋mβy ＋h ＋k ＝0，mαx ＋mβy ＋h -k ＝0
即，所给方程的任何一个解都满足这两个方程中的某一个，反之亦然。显然，除非h ＋k 能被m 整除，否则第1个方程没有整数解，并且类似地，第2个方程仅当h -k 能被m 整除时才有整数解。这些条件对于求解每个方程是足够的（因为假设α ，β 是互质的） ，我们可以利用已知的法则求出所有解。
221
我们用例子阐述条目217中的情况（因为这个是最难的） 。设所给的方程是x 2 ＋8xy ＋y 2 ＋2x -4y ＋1＝0，通过引入其他变量p ＝15x -9，q ＝15y ＋6，推导出方程p 2 ＋8py ＋q 2 ＝-540。这个方程的所有整数解就包含于下面的四组公式中
p ＝6t ，q ＝-24t -90u
p ＝6t ，q ＝-24t ＋90u
p ＝-6t ，q ＝24t -90u
p ＝-6t ，q ＝24t ＋90u
其中，t ，u 表示所有满足公式t 2 -15u 2 ＝1的正整数，且它们可以由公式
表示，其中n 表示所有正整数（包括0） 。因此，x ，y 的所有的值就包含于下面这些公式中
如果恰当地应用前面的结论，我们就会发现，为了得到整数解，在第1和第2个公式中必须取由偶指数 n 所得到的t ，u 的值，在第3和第4个公式中必须取由奇指数 n 所得到的t ，u 的值。最简单的解分别是：x ＝1，-1，-1；y ＝-2，0，12。
我们注意到，上个条目中的问题的解法常常可以通过各种手段简化，尤其是涉及用来排除无用的解——分数的方法，但是，为了不让讨论无边无际，我们必须省去这部分内容。
