228
定理
任意一个正常原始型F 可以表示出无限个不能被给定的质数p 整除的数。
证明
如果型F ＝ax 2 ＋2bxy ＋cy 2 ，显然p 不能同时整除3个数a ，2b ，c 。当a 不能被p 整除时，如果为x 取一个不能被p 整除的数，并且为y 取一个能够被p 整除的数，型F 的值就不能被p 整除；当c 不能被p 整除时，通过给x 取一个能够被p 整除的值，并且给y 取一个不能被p 整除的值，则型F 的值同样不能被p 整除；最后，当a 和c 都能被p 整除，且2b 不能被p 整除时，那么如果给x 和y 都取不能被p 整除的值，型F 就取一个不能被p 整除的值。证明完毕。
显然，只要p 不等于2，该定理对反常原始型也成立。
由于存在可以同时满足多个这种类型的条件，使得同一个数能够被某些质数整除，但不能被其他质数整除（见条目32 ） ，容易发现的是，数x ，y 能够用无限种方式来确定，以保证原始型ax 2 ＋2bxy ＋cy 2 取到不能被任意多个给定的质数整除的值（但是，当这个型是反常原始型时，排除质数2） 。那么，我们可以更加一般地陈述这个定理：总是可以用一些原始型表示与给定的数互质的无限个数，但当这个型是反常原始型时，给定的数须是奇数 。
229
定理
设F 是行列式为D 的原始型，且p 是整除D 的质数。那么，不能被p 整除且能够由型F 表示的数具有这样的性质：它们要么都是模p 的所有二次剩余，要么都是模p 的非剩余。
证明
设F ＝（a ，b ，c ），且m ，m ′是任意两个不能被p 整除，且能够由型F 表示的数，即
m ＝ag 2 ＋2bgh ＋ch 2 ，m ′＝ag ′g ′＋2bg ′h ′＋ch ′h ′
那么，就有
mm ′＝［agg ′＋b （gh ′＋hg ′）＋chh ′］2 -D （gh ′-hg ′）2
那么，mm ′就对于模D 同余于一个平方数，因而也对于模p 同余于一个平方数，即mm ′是p 的二次剩余。由此可推出m 和m ′要么都是p 的二次剩余，要么都是p 的二次非剩余。证明完毕。
类似地，可以证明，当行列式D 能够被4整除时，能够由型F 表示的所有奇数要么同余于1（mod 4），要么同余于3（mod 4）。实际上，两个这样的数的乘积就总是4的二次剩余，因而同余于1（mod 4）。因此，这两个数要么都同余于1（mod 4），要么都同余于3（mod 4）。
最后，当D 能够被8整除时，两个能够由型F 表示的任意奇数的乘积就是8的二次剩余，因而同余于1（mod 8）。那么，在这种情况下，所有能够由型F 表示的奇数就要么都同余于1（mod 8），要么都同余于3（mod 8），要么都同余于5（mod 8），要么都同余于7（mod 8）。
例如，由于数10是可以由型（10，3，17）表示的7的非剩余，所有能够由这个型表示的不能被7整除的数就是7的非剩余。因为-3能够由型（-3，1，49）表示，并且-3≡1（mod 4），所以，所有能够由这个型表示的奇数就都同余于1（mod 4）。
如果目标是必要的，我们可以轻松证明能够由型F 表示的数与不能整除D 的质数之间没有固定的关系。一个不能整除D 的质数的剩余和非剩余都能由型F 表示。与此相反，就数4和8来说，在其他情况下也有类似的结论，这是不能忽略的。
1．当原始型F 的行列式D ≡3（mod 4）时，所有能够由型F 表示的奇数要么同余于1（mod 4），要么同余于3（mod 4） 。因为，如果m 和m ′是两个能够由型F 表示的数，乘积mm ′就能够简化为型p 2 -Dq 2 ，正如在前面做过的证明一样。当数m 和m ′都是奇数时，数p ，q 中一定有一个是偶数，另一个是奇数，因此平方数p 2 ，q 2 中就有一个数整除4，另一个同余于1（mod 4）。因此p 2 -Dq 2 ，就一定同余于1（mod 4），且数m 和m ′就要么都同余于1（mod 4），要么都同余于3（mod 4）。例如，除了形如4n ＋1的奇数外，没有其他的奇数能够由型（10，3，17）表示。
2．当原始型F 的行列式D ≡2（mod 8）时，所有可以由型F 表示的奇数就要么一部分同余于1（mod 8）并且一部分同余于7（mod 8），要么一部分同余于3（mod 8）并且一部分同余于5（mod 8） 。设m 和m ′是两个能够由F 表示的奇数，乘积mm ′就能够简化为型p 2 -Dq 2 。当m 和m ′都是奇数时，p 就一定是奇数（因为D 是偶数） ，所以p 2 ≡1（mod 8）。因此，对于模8，q 2 就要么同余于0，要么同余于1，要么同余于4，且Dq 2 就要么同余于0，要么同余于2。进而，mm ′＝p 2 -Dq 2 就要么同余于1（mod 8），要么同余于7（mod 8）。如果m 要么同余于1，要么同余于7，m ′就也要么同余于1，要么同余于7。并且，如果m 要么同余于3，要么同余于5，m ′就也要么同余于3，要么同余于5。例如，所有可以由型（3，1，5）表示的奇数要么同余于3（mod 8），要么同余于5（mod 8），而所有形如8n ＋1或8n ＋7的数都不能由这个型表示。
3．当原始型F 的行列式D ≡6（mod 8）时，可以由这个型表示的奇数要么只是这些同余于1（mod 8）和同余于3（mod 8）的数，要么只是这些同余于5（mod 8）和同余于7（mod 8）的数。 读者自己推导证明不会有任何困难。这完全类似于上一点中的证明。例如，对于型（5，1，7），只有那些要么同余于5（mod 8），要么同余于7（mod 8）的奇数才能由它表示。
230
因此，可以由具有行列式D 的给定原始型F 表示的所有数（这些数不能被D 的质因数整除） 都与D 的各个质因数有固定关系。在某些情况下，能够由型F 表示的奇数也与数4和8有固定的关系。即当D 同余于0（mod 4）或者同余于3（mod 4）时，就与数4有固定关系；当D 同余于0（mod 8）或者同余于2（mod 8）或者同余于6（mod 8）时 [25] ，就与数8有固定关系。我们称这种与各个数的固定关系为型F 的特征，或者为型F 的专属特征 。我们用下面的方式表述：当质数p 只有二次剩余能够由型F 表示，就用特征R p 表示这种关系，在相反的情况下就用特征N p 表示这种关系。类似地，当除了同余于1（mod 4）的数之外，没有其他数能够由型F 表示时，我们就将这种特征记作1，4。这样我们便清楚地知道3，4；1，8；3，8；5，8；7，8所表示的特征是什么。最后，如果只有同余于1或者同余于7（mod 8）的奇数能够用所给的型表示，我们就把特征标记为1和7，8 ，那么，特征3和5，8；1和3，8 以及特征5和7，8 的含义就很明显了。
具有行列式D 的给定原始型（a ，b ，c ）的不同的特征至少可以由数a 和数c （显然这两个数都是可以由这个型表示的） 中的一个数了解到。因为，当p 是D 的质因数，数a 和数c 中一定有一个数不能被p 整除——如果这两个数都能被p 整除，p 就也能够整除b 2 （b 2 ＝D ＋ac ），因此也能够整除b ，那么型（a ，b ，c ）就不是原始型。类似地，在型（a ，b ，c ）与数4或数8有固定关系的情形中，数a 和数c 中至少有一个数为奇数，并且由这个数能够找出这个关系。例如，型（7，0，23）关于数23的特征可以通过数7推断出来，这个特征是N 23，这个型关于数7的特征可以通过数23推断出来，这个特征是R 7；最后，这个型关于数4的特征可以通过数7找出，也可以通过数23找出，这个特征是3，4。
由于所有能够由类K 中的型F 表示的数，也同样可以由这个类中的其他的型表示，显然，型F 的不同特征也属于这个类中的其他的型，因此，可以把这些特征看作整个类的特征。那么，一个给定原始类的各个特征可以通过它的代表型得知。相反的类总是具有相同的特征。
231
一个给定的型或类的所有 专属特征的总体构成了这个型或类的完整特征。例如，型（10，13，17）或者它所代表的整个类的完整特征就是1，4；N 7；N 23。类似地，型（7，1，-17）的完整特征就是7，8；R 3；N 5。在这种情况下，忽略专属特征3，4，因为它已经包含于特征7，8中。由这些结论，我们把由具有给定行列式的正常原始类（当行列式为负数时为正定类） 组成的层再分成若干个不同的族 ：所有具有相同的完整特征的类放在相同的族中；具有不同的完整特征的类放在不同的族中。我们对每一个族指定包含在这个族中的类所有的完整特征。例如，对于行列式-161，有16个正常原始型，可以按照下面的方式分成4个族
顺便提一下，对于不同的完整特征的个数，它们是可以被预先知道的。
1．当行列式D 能够被8整除时，关于数8可能有4个不同的专属特征；数4不给出任何专属特征（参考条目230 ） 。另外，关于每个D 的奇数质因数，有2个专属特征；那么，如果D 有m 个奇数质因数，那么其型一共就有2 m ＋2 个不同的完整特征（如果D 是2的方幂，就取m ＝0） 。
2．当行列式D 不能被8整除，但是能够被4整除，并且能够被m 个奇质数整除时，它就有2 m ＋1 个不同的完整特征。
3．当行列式是偶数，且不能被4整除时，那么它要么同余于2（mod 8），要么同余于6（mod 8）。在前一种情况下，关于数8就有2个专属特征，也就是1和7，8；3和5，8 。在后一种情况下，关于数8也具有同样多个专属特征。因此，设D 的奇数质因数的个数为m ，其型就总共有2 m ＋1 个不同的完整特征。
4．当D 是奇数时，那么它要么同余于1（mod 4），要么同余于3（mod 4）。在后一种情况下，关于数4，有2个不同的专属特征，但是，在后一种情况下，这种关系不会形成完整特征。因此，如果按照之前的方式定义m ，在前一种情况下，其型就有2 m 个不同的完整特征，在后一种情况下，就有2 m ＋1 个不同的完整特征。
我们想要强调的是，由此完全不能推出“有多少个不同的可能的特征，就总是有同样多个族”。在我们提到的例子中，类或族的个数只是可能的个数的一半，因为，具有特征1，4；R 7；N 23或者1，4；N 7；R 23或者3，4；R 7；R 23又或者3，4；N 7；N 23的类中没有正定类。我们会在下面更加充分地讨论这一重要的课题。
从现在起，我们把型（1，0，-D ）（它毫无疑问是具有行列式D 的所有型中的最简单的一个） 称为主型 ，把它所在的整个类称为主类 ，最后，把主类所在的整个族称为主族。那么，我们必须将主型，主类中的型和主族中的型区别开；并且把主类和主族中的类区别开。即使对于某个特殊的行列式，除了主类之外没有其他类，或者除了主族之外没有其他族，我们仍然使用这个术语。这种情况经常发生，例如，当D 是形如4n ＋1的正质数时。
232
尽管我们指出，关于型的特征的所有内容都是为了对定正的正常原始类 所构成的整个层再细分，但这并不妨碍把这部分内容推广。我们可以把相同的法则应用于定负的或者反常的原始型和类上，并且根据相同的原理，可以把定正的反常原始层，定负的正常原始层以及定负的反常原始层再划分成族。例如，在把由行列式为145的型构成的正常原始层划分成下面2个族
之后，反常原始层也可以划分为下面2个族
或者，正如由行列式为-129的型构成的定正类可以划分为下面4个族
定负类也可以分成4个层
尽管如此，由于定负类的系统非常类似于定正类的系统，单独构造似乎是多余的。我们随后证明如何将反常原始层化归为正常原始层。
最后，关于导出层的划分，新法则是没有必要的。因为，任何导出层都起源于某个原始层（具有更小的行列式） ，并且一个层中的各个类可以很自然地与另一个层中的各个类相关联，显然，一个导出层的分类可以由原始层的分类得到。
233
如果（原始） 型F ＝（a ，b ，c ）是这样的型，即对于某个给定的模m 可以求出两个数g ，h ，使得g 2 ≡a ，gh ≡b ，h 2 ≡c ，我们就说这个型是数m 的二次剩余，且gx ＋hy 是表达式 （mod m ）的一个值，或者简单地说，（g ，h ）是表达式 ,或 （mod m ）的一个值。更一般地，如果和m 互质的乘数M 可使得g 2 ≡aM ，gh ≡bM ，h 2 ≡cM （mod m ），我们就说M （a ，b ，c ）或MF 是m 的一个二次剩余，并且（g ，h ）是表达式 （mod m ）或者 （mod m ）的一个值。例如，型（3，1，54）是23的二次剩余，并且（7，10）是表达式 （mod 23）的一个值；类似地，（2，-4）是表达式 （mod 23）的一个值。后面我们会演示这些定义的用法，现在证明下面的定理。
1．如果M （a ，b ，c ）是数m 的一个二次剩余，m 就能够整除型（a ，b ，c ）的行列式。因为，如果（g ，h ）是表达式 （mod m ）的一个值，即g 2 ≡aM ，gh ≡bM ，h 2 ≡cM （mod m ），就有b 2 M -acM 2 ≡0，这就意味着（b 2 -ac ）M 2 能够被m 整除。由于假设M 和m 是互质的，b 2 -ac 就能够被m 整除。
2．如果M （a ，b ，c ）是数m 的一个二次剩余，且m 要么是一个质数，要么是一个质数幂，假如m ＝p μ ，对应于M 是p 的剩余或者非剩余，型（a ，b ，c ）关于数p 的专属特征就是R p 或者N p 。又由于aM 和cM 都是m 或者p 的剩余，那么，数a 和c 中至少有一个数不能被p 整除（条目230） 。
类似地，如果（其他条件保持不变） m ＝4，对应于M ≡1或者M ≡3，要么1，4，要么3，4就是型（a ，b ，c ）的一个专属特征。如果m ＝8，或者m 是2的更高次幂，那么，分别对应于M ≡1；3；5；7（mod 8），型（a ，b ，c ）的专属特征分别为1，8；3，8；5，8；7，8。
3．反过来，假设m 是一个质数或者是一个奇质数的幂，设m ＝p μ ，那么m 就能整除行列式b 2 -ac 。如果对应于型（a ，b ，c ）的关于p 的特征是R p 或者N p ，M 分别是p 的剩余或者非剩余，那么M （a ，b ，c ）就是m 的一个二次剩余。因为，当a 不能被p 整除时，aM 就是p 的剩余，因而也是m 的剩余；因此，如果g 是表达式 （mod m ）的一个值，h 是表达式 （mod m ）的一个值，就有g 2 ≡aM ，ah ≡bg 。因此，agh ≡bg 2 ≡abM ，且gh ≡bM 。最后得出，ah 2 ≡bgh ≡b 2 M ≡b 2 M -（b 2 -ac ）M ≡acM 。因此，h 2 ≡cM ，即（g ，h ）就是表达式 的一个值。当a 能够被m 整除时，c 就一定不能被m 整除。那么，显然，如果h 取表达式 （mod m ）的一个值，而g 取表达式 （mod m ）的一个值，也会得到相同的结果。
类似地，我们可以证明，当m ＝4并且m 整除b 2 -ac 时，如果对应于型（a ，b ，c ）的专属特征是1，4；3，4，数M 要么同余于1要么同余于3，那么M （a ，b ，c ）就是m 的二次剩余。如果m ＝8或者m 是2的更高次幂，且b 2 -ac 能够被它整除，假定根据（a ，b ，c ）关于数8的专属特征分别取M ≡1；M ≡3；M ≡5；M ≡7（mod 8），那么，M （a ，b ，c ）就是数m 的一个二次剩余。
4．如果型（a ，b ，c ）的行列式为D ，且M （a ，b ，c ）是D 的二次剩余，那么，由数M 能够立即求出型（a ，b ，c ）关于D 的每个奇数质因数，以及关于数4或8（如果它们能够整除D ） 的所有专属特征。例如，由于3（20，10，27）是440的二次剩余，也就是说（150，9）是表达式 对于模440的一个值，并且3 N 5，3 R 11，那么，型（20，10，27）的特征就是3，8；N 5；R 11。关于数4和8的专属特征，只要它们不整除行列式，就与数M 没有必然联系。
5．反过来，如果数M 与D 互质，并且数M 包含了型（a ，b ，c ）的所有专属特征（当4和8不整除D 时，关于数4和8的特征要排除在外） ，那么M （a ，b ，c ）就是数D 的二次剩余。因为，由上述证明可知，如果D 简化为型±A α B β C γ …，其中A ，B ，C 是不同的质数，M （a ，b ，c ）就是A α ，B β ，C γ ，…每个数的二次剩余。现在，假设表达式 对于模A α 的值是（ ），对于模B β 的值是（ ）；对于模C γ 的值是（ ），…。并且确定数g ，h ，使得对于模A α ，B β ，C γ ，…分别有g ≡ …；h ≡ ，…（条目32） 。容易发现的是，对于所有的模A α ，B β ，C γ ，…，就有g 2 ≡aM ，gh ≡bM ，h 2 ≡cM ，因而对于模D 也成立，D 是它们的乘积。
《周髀算经》中的开方术
我国关于二次方程的公式解法，最早记载于《周髀算经》中的《勾股圆方图》，后也见于《九章算术》中的《少广》一章，其中附有开平方、开立方的法则。近代学者经过详细研究，确认这是除符号、格式不同和某些步骤稍有差异之外，世界上关于多位数开平方、开立方法则的最早记载。
6．因为上述原因，像M 这样的数就被称为型（a ，b ，c ）的特征数 。只要这个型所有的专属特征已知，通过上述方法，我们可以很容易地求出几个这样的数。最简单的几个数经常可以通过试错法来求出。显然，如果M 是具有给定行列式D 的原始型的特征数，对于模D 同余于M 的所有数就都是这个型的特征数，包含在同一个类中以及包含在同一个族的不同类中的型都有相同的特征数。那么，一个给定型的每一个特征数可以同时归属于整个类或者整个族。最后，1永远是主型、主类和主族的特征数；也就是说，一个主族的每个型都是它的行列式的二次剩余。
7．如果（g ，h ）是表达式 （mod m ）的一个值，且g ′≡g ，h ′≡h （mod m ），那么，（g ′，h ′）就也是同一个表达式的一个值。这样的值就称为等价的值 。另一方面，如果（g ，h ），（g ′，h ′）是同一个表达式 （mod m ）的值，但g ′≡g ，h ′≡h （mod m ）不成立，那么这些值就称为不同的值 。显然，当（g ，h ）是这样的表达式的值时，（-g ，-h ）就也是同一个表达式的值，除非m ＝2，这些值就永远是不同的。我们还容易证明，当m 要么是一个奇质数，要么是一个奇质数的幂，或者等于4时，表达式 （mod m ）不可能有超过2个这样的（不同的）值；但是，当m ＝8，或者m 是数2的更高次幂时，该表达式总共有4个值。那么，由上一点我们可以轻松地发现，如果型（a ，b ，c ）的行列式D ＝±2 μ A α B β …，其中A ，B ，…是不同的奇质数，其个数为n ，并且M 是这个型的特征数，那么对应于μ 小于2，或等于2，或大于2，表达式 （mod D ）就分别有2 n 或2 n ＋1 或2 n ＋2 个不同的值。例如，表达式 （mod 240）有16个值，即（±18，11），（±18，± 29），（±18，91），（±18，±109），（±78，±19），（±78，±59），（±78，61），（±78，101）。由于这部分内容对于后面的讨论不是特别必要的，为了简洁，我们在此略去更加详细的证明。
8．最后，我们指出，如果两个等价的型（a ，b ，c ），（a ′，b ′，c ′）的行列式为D ，特征数为M ，并且前者可以通过变换α ，β ，γ ，δ 变换为后者，那么，由表达式 的任意值，例如（g ，h ），可以推出表达式 的值，即（αg ＋γh ，βg ＋δh ）。读者可以毫不费力地证明之。
