在这个解中，A 的值并不取决于 ′， ″， 的值（有无穷多种不同的方式确定） ；但是，如果对这些数赋予不同的值，B 就有不同的值。所以，研究所有这些B 的值如何联系，是很有意义的。为此，我们指出以下两点：
1．不论如何确定 ， ′， ″， 的值，B 的值都对于模A 彼此同余。假设，如果 ，就有 。但是，如果取 ，就有 。那么，就有
如果在第2个等式的左边乘以 ，右边乘以μ ，并从第1个乘积中减去 ，那么根据第1个等式，它显然等于0。我们通过计算并合并同类项后，得到
显然，μ 2 能够被aa ′整除， 能够被 即A 整除，并且
2．如果数 的值 使得B ＝ ，那么，我们就可以求出这些数的其他的值，使得B 等于任何对于模A 同余于 的数，例如 ＋kA 。首先，我们指出，这4个数μ ，c ，c ′，b -b ′不可能有公约数；因为，如果存在公约数，那么它就能整除a ，a ′，b ＋b ′，c ，c ′，b -b ′这6个数，因而也能整除a ，2b ，c 和a ′，2b ′，c ′，进而也就能整除m 和m ′。而根据假设，m 和m ′是互质的。所以，我们可以找到4个整数h ，h ′，h ″，h 使得
并且，如果令
显然， 都是整数，并且
由第1个等式可知， ，也是 的值；由第2个等式可知，这些值使得 。证明完毕。很清楚的是，我们总是可以这样选取B ：当A 是正数时，使得它位于0到A -1之间（包含边界） ；当A 是负数时，使得它位于0到-A -1之间（包含边界） 。
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由等式
我们可以推导出
因而
如果 和 互质，那么在0到A -1之间（当A 为负数时，在0到-A -1之间） 只有一个数满足对于模 同余于b 并且对于模 同余于b ′的条件。如果令这个数等于B ，且 ，显然，（A ，B ，C） 就是由型（a ，b ，c ）和（a ′，b ′，c ′）合成的。所以，在这种情况下，为了求出合成型，没有必要考虑数 [34] 。例如，求由型（10，3，11）和（15，2，7）合成的型。由已知条件可得出a ，a ′，b ＋b ′分别等于10，15，5；μ ＝5。因此，A ＝6，B ≡3（mod 2）且B ≡3（mod 3），我们可得出，B ＝5，从而（6，5，21）就是要求的型。但是， 和 互质这一条件等价于数a 和a ′必然有能整除3个数a ，a ′，b ＋b ′的公约数，或者也就是说，数a 和a ′的最大公约数也整除数b ＋b ′。注意以下几种特殊情况。
1．假如有两个行列式为D 的型（a ，b ，c ）和（a ′，b ′，c ′），并且数a ，2b ，c 的最大公约数与数a ′，2b ′，c ′的最大公约数互质，且a 与a ′互质；那么，只要取A ＝aa ′，B ≡b （mod a ），B ≡b ′（mod a ′）， ，就得到了这两个型合成的型（A ，B ，C ）。这种情况总是可能发生，即：要合成的型中有一个是主型，a ＝1，b ＝0，c ＝-D 。那么，A ＝a ′，B 可以取b ′，从而就有C ＝c ′；那么，由一个主型和有相同行列式的任意另外的型合成的型，就是另外那个型自身 。
2．如果要把两个相反 的正常原始型，即（a ，b ，c ）和（a ，-b ，c ）合成起来，就有μ ＝a 。不难看出的是，主型（1，0，-D ）就是由这两个型合成的。
3．如果给定任意个行列式相同的正常原始型（a ，b ，c ），（a ′，b ′，c ′），（a ″，b ″，c ″），…它们的首项a ，a ′，a ″，…互质；那么，只要取A 等于所有的首项a ，a ′，a ″，…的乘积，取B 是对于模a ，a ′，a ″，…分别同余于b ，b ′，b ″，…的数，并且取 ，就可以求出由这些正常原始型合成的型（A ，B ，C ）。因为，由型（a ，b ，c ）和（a ′，b ′，c ′）合成的型是 ，由合成的型再和（a ″，b ″，c ″）合成的型是（aa ′a ″，B ， ，…。
4．反过来，假设给定一个行列式为D 的正常原始型（A ，B ，C ）。如果把首项A 分解为任意个互质的因数a ，a ′，a ″，…；取数b ，b ′，b ″，…要么都等于B ，要么选择对于模a ，a ′，a ″，…分别同余于B 的数；选择c ，c ′，c ″，…，使得ac ＝b 2 -D ，a ′c ′＝b ′b ′-D ，a ″c ″＝b ″b ″-D ，…；那么，型（A ，B ，C ）就由型（a ，b ，c ），（a ′，b ′，c ′），（a ″，b ″，c ″），…合成，或者就说型（A ，B ，C ）可以分解成 这些型。当（A ，B ，C ）是反常原始型或者是由反常原始型推导出的型时，不难证明也有相同的定理成立。那么，任何型都可以以这种方式分解为行列式相同的其他的型，其中行列式的首项要么是质数，要么是质数幂。如果想把几个型合成一个型时，这种型的分解常常是非常有用的。例如，如果想把型（3，1，134），（10，3，41），（15，2，27）合成一个型，先把第2个型分解成（2，1，201）和（5，-2，81），再把第3个型分解成（3，-1，134）和（5，2，81）。显然，由5个型（3，1，134），（2，1，201），（5，-2，81），（3，-1，134），（5，2，81）以任意次序合成的型，也就是由最初3个给定的型合成的型。那么，第1个型和第4个型的合成给出了主型（1，0，401），第3个型和第5个型合成得到了相同的结果，所以由全部5个型的合成得到型（2，1，201）。
5．由于这种方法很实用，这里值得我们进行更充分的讲解。由前面的分析可知，只要这些给定的行列式相同的型是正常原始型，这个问题就可以简化为行列式首项是质数幂的型的合成的问题（之所以说是质数幂，是因为质数可以看成它自身的1次幂） 。由此，我们应当首先讨论一种特殊情况，即两个正常原始型（a ，b ，c） 和（a ′，b ′，c ′）的合成，其中a 和a ′是同一个 质数的幂。设 ，其中h 是质数，并且假设κ 不小于λ （这是可以的） 。那么，h λ 就是数a 和a ′的最大公约数。如果它也整除b ＋b ′，就得到了在本条目刚开始讨论的情况，并且如果A ＝h κ -λ ，B ≡b （mod h κ -λ ） 且B ≡b ′ （mod 1）（后面这个条件是显然的，可以忽略） ；那么（A ，B ，C） 就是合成型，且C ＝（B 2 -D ）/A 。如果h κ 不整除b ＋b ′，这两个数的最大公约数就一定也是h 的幂。设这个最大公约数等于h v 且ν ＜λ （如果h λ 和hb ＋b ′互质，则v ＝0） 。如果这样去确定 使得
并且任意选取 ，那么，只要取
（A ，B ，C ）就是合成型。但是，我们不难发现，在这种情况下， ′也可以任意选取，那么取 ，有
或者，更一般地有
这里k 是一个任意数（上个条目） 。这个简单的表达式里只有 ，它是表达式 （mod h λ ） [35] 的值。例如，求由型（16，3，19）和（8，1，37）合成的型。由条件可知h ＝2，κ ＝4，λ ＝3，v ＝2。那么，A ＝8， 是表达式 （mod 8）的值，比如取1，那么B ＝8k -73。如果令k ＝9，B ＝-1，C ＝37，（8，-1，37）就是要求的型。
那么，如果给定任意个数的首项都是质数幂的型，应当检查它们之中是否有某些型的首项是同一个 质数的幂，如果有的话，那么这些型就可以按照刚刚我们指出的方式合成。按照这种方式，我们就得到一组型，它们的首项就是完全不同的质数的幂。这个型是由在第3个分析里可以找到的型构成的。例如，给定型（3，1，47），（4，0，35），（5，0，28），（16，2，9），（9，7，21），（16，6，11）。由第1个型和第5个型得到型（27，7，7）；由第2个型和第4个型得到（16，-6，11）；由这个型和第6个型得到（1，0，140），它是可以忽略的。因此，还剩下（5，0，28）和（27，7，7）。由这两个型得到（135，-20，4），用和它等价的型（4，0，35）代替它，这就是由6个给定的型合成的型。
以类似的方式，我们还可以得到很多有用的方法，但为了不扩大研究范围，我们省略更加详细的讨论，继续探讨更加困难的问题。
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如果数a 可以用某个型f 来表示，数a ′可以用型f ′表示，并且型F 能够变换为ff ′，那么，我们不难发现，乘积aa ′就能够由型F 表示。由此可立即推出，如果这些型的行列式都是负数，当f 和f ′都是定正型或都是定负型时，则型F 是定正型；反过来，当f 和f ′中有一个是定正型，另一个是定负型时，那么F 就是定负型。我们来具体研究一下上个条目中讨论的情况，即F 是由f 和f ′合成，且f ，f ′，F 具有相同的行列式D 。假设数a 和a ′可以由f 和f ′用互质的不确定数的值表示，数a 属于表达式 （mod a ）的值b ，a ′属于表达式 （mod a ′）的值b ′，并且设b 2 -D ＝ac ，b ′b ′-D ＝a ′c ′。那么，由条目168可知，型（a ，b ，c ）和（a ′，b ′，c ′）就分别正常等价于型f 和f ′，因而F 就由这两个型合成。但是，如果设数a ，a ′，b ＋b ′的最大公约数是μ ，并且设 ，对于模 和 ，B 分别同余于b 和同余于b ′，AC ＝B 2 -D ，那么型（A ，B ，C ）就由相同的型合成；从而这个型就与型F 是正常等价的。如果设x ＝μ ，y ＝0（它们的最大公约数是μ） ，数aa ′就可以由型Ax 2 ＋2Bxy ＋cy 2 表示；因此，aa ′也可以由型F 以这样的方式表示，使得不确定数的值以μ 作为最大公约数（条目166） 。因此，当μ ＝1时，aa ′就可以由型F 用互质的不确定数的值表示，且这一表示属于表达式 （mod aa ′）的值B ，它对于模a 和模a ′，分别同余于b 和b ′。当a 和a ′互质时，条件μ ＝1总是成立；或者更加一般地，当a 和a ′的最大公约数与b ＋b ′互质时，这一条件也总是成立。
