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假如数b 和数c 之差能够被数a 整除，则称b 和c 对于a 同余 ；反之则称b 和c 对于a 不同余 。我们将数a 叫做模 。如果b 和c 同余，则b 和c 互为对方的剩余 ，如果不同余，则称其互为非剩余 。
这里的数必须是正整数或者负整数 [1] ，而不是分数。例如，-9和16对于模5同余；-7对于模11是15的剩余，但对于模3是15的非剩余。
因为0能被任何数整除，所以对于任何模来说每个数都与其自身同余。
2
给定数a ，它对于模m 的所有剩余都在式a ＋km 中，其中k 是任意整数。由此可以推导出下文给出的显而易见的定理，对这些定理做直接证明是很容易的。
从现在起用符号“≡”来表示同余，必要时可以在后面加上圆括号并写出模；例如，-7≡15（mod 11），-16≡9（mod 5） [2] 。
3
定理
给定m 个连续整数a ，a ＋1，a ＋2，…，a ＋m -1和另一个整数A ；那么对于模m ，这些整数中有且仅有一个数与A 同余。
如果 是整数，则a ≡A ；如果 是正分数，则假定k 是最接近它且大于它的正整数（或者如果此分数为负分数，则k 是最接近它，且绝对值小于它的绝对值的整数） 。这时，A ＋km 将处于a 和a ＋m 之间，这就是要求的数。显然，所有的商 …，均处于k -1和k ＋1之间，所以它们中的整数不可能多于一个。
