246
问题
给定任意两个原始型f 和f ′，型F 是由这两个原始型合成的；由型f 和f ′所属的族确定型F 所属的族。
解：1.首先考虑型f 和f ′中至少有一个型是正常原始型的情况。我们用d ，d ′，D 表示型f ，f ′，F 的行列式。D 就是数d m ′m ′和d ′的最大公约数，其中，对应于型f ′是正常原始型还是反常原始型，m ′要么等于1，要么等于2。在前一种情况下，F 就属于正常原始层里的型，在后一种情况下，F 就属于反常原始层里的型。型F 的族就由它的专属特征来确定，这些特征既是关于D 的单个奇数质因数的专属特征，又在某些情况下，也是关于数4和8的专属特征。我们分别讨论这些情况。
1）如果p 是D 的奇数质因数，它就一定能整除d 和d ′，因而在型f ，f ′的特征中，就会出现它们与p 的关系。如果数a 能够由f 表示，数a ′能够由f ′表示，乘积a a ′就可以由F 表示。因此，如果p 的二次剩余（不能被p 整除） 既能够由f 表示也能够由f ′表示，它们就也能够由F 表示；即，如果f 和f ′都具有特征R p ，型F 就具有相同的特征。同理，如果f 和f ′都具有特征N p ，F 就具有特征R p ；反过来，如果f 和f ′其中之一有特征R p ，另一个具有特征N p ，则F 就具有特征N p 。
2）如果在型F 的全部特征中有与数4的关系出现，那么这样的关系也将出现在型f 和f ′的特征中。因为，这种情况仅当D ≡0或者D ≡3（mod 4）时才会出现。当D 能够被4整除时，d m ′m ′和d ′就能够被4整除，那么立即可知的是，f ′不可能是反常原始型，从而m ′＝1。那么，d 和d ′就都能够被4整除，并且它们与4的关系就出现在这两个型的特征中。当D ≡3（mod 4）时，D 就整除d 和d ′，它们的商都是平方数，因而d 和d ′就一定同余于0或者同余于3（mod 4），它们与数4的关系就包含于型f 和f ′的特征中。因此，和在上面的讨论中一样，我们可以推出，如果型f 和f ′都有特征1，4，或者都有特征3，4，型F 就有特征1，4；反过来，如果型f 和f ′其中之一有特征1，4，另一个有特征3，4，则型F 的特征是3，4。
3）当D 能够被8整除时，d ′就也能够被8整除；因此，型f ′一定是正常原始型，m ′＝1，且d 也能够被8整除。那么，只有与数8的关系也出现在型f 和f ′的特征中，特征1，8；3，8；5，8；7，8中的任意一个才会出现在型F 的特征中。按照和原来同样的方式，我们不难发现：如果型f 和f ′关于数8有相同的特征，那么1，8就是型F 的特征；如果型f 和f ′中一个有特征1，8，另一个有特征3，8，或者其中一个有特征5，8，另一个有特征7，8，那么3，8就是型F 的特征；如果型f 和f ′中一个有特征1，8，另一个有特征5，8，或者，其中一个有特征3，8，另一个有特征7，8，那么型F 就有特征5，8；最后，如果型f 和f ′中一个有特征1，8，另一个有特征7，8，或者其中一个有特征3，8，另一个有特征5，8，那么型F 就有特征7，8。
4）当D ≡2（mod 8）时，d ′要么整除8，要么同余于2（mod 8）；那么m ′＝1，并且d 就整除8，或者同余于2（mod 8）。但是，由于D 是d ，d ′的最大公约数 ，它们不可能都被8整除。那么，在这种情况下，型F 的特征只可能是1和7，8或者3和5，8，条件是型f 和f ′都有这些特征中的一个，或者这两个型中的一个有这些特征之一，而另一个型有以下特征中的一个：1，8；3，8；5，8；7，8。下表就是型F 的特征分布表。位于左边的特征从属于型f 和f ′中的一个，而位于上端的特征从属于另外一个型。
1和7，8；1，8；7，8 3和5，8；3，8；5，8
1和7，8 1和7，8 3和5，8
3和5，8 3和5，8 1和7，8
5）以同样的方式，我可以证明F 不可能有特征1和3，8；5和7，8，除非型f 和f ′中至少有一个型具有这些特征之一，且另一个型要么具有这些特征之一，要么具有1，8；3，8；5，8；7，8这些特征中的一个。型F 的特征由下表决定，型f ，f ′的特征同样出现在列表左侧及上端。
1和3，8；1，8；3，8 5和7，8；5，8；7，8
1和3，8 1和3，8 5和7，8
5和7，8 3和5，8 1和3，8
2．如果型f 和f ′都是反常原始型，那么D 就是数4d ，4d ′的最大公约数，或者说 是数d 和d ′的最大公约数。由此可以推出：数d 和d ′和 都同余于1（mod 4）。如果令F ＝（A ，B ，C ），数A ，B ，C 的最大公约数就等于2，并且数A ，2B ，C 的最大公约数就等于4。那么，F 就是由反常原始型（ ）导出的型，后者的行列式就是 ，它的族决定型F 的族。但由于它是反常原始型，它的特征与4或者8无关，而只与数 单个奇数质因数有关。显然，这些所有的除数也整除d 和d ′，并且，如果乘积的两个因数中一个可以由f 表示，另一个可以由f ′表示，那么这个乘积的一半就可以由（ ）表示。由此推出：无论当2 R p 以及型f ，f ′有关于p 相同的特征时，还是当2 N p 以及型f ，f ′关于p 有相反的特征时，这个型关于任何整除 的奇数质因数p 的特征都是R p 。反过来，无论当f ，f ′关于p 有相同的特征以及2 N p 时，还是当f ，f ′有相反的特征以及2 R p 时，这个型关于任何整除 的奇数质因数p 的特征都是N p 。
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由上一个问题的解我们可以推出：如果g 和f 是属于相同的层和族的原始型，且g ′和f ′是属于相同的层和族的原始型，那么显然，由g 和g ′合成的型就和由f 和f ′合成的型属于相同的族。由此可以轻松地理解我们所说的一个族由两个 （甚至更多个） 其他的族合成 的概念。进而，如果f 和f ′具有相同的行列式，f 是属于主族的型，且F 由f 和f ′合成，那么F 就和f ′属于相同的族。因此，在行列式相同族的合成中，主族总是可以忽略的。在相同的条件下，如果f 是不属于主族的型，且f ′是一个原始型，那么F 一定属于和f ′不同的族。最后，如果f 和f ′是属于同一个族的正常原始型，F 就一定属于主族；如果f 和f ′行列式相同，但属于不同的族的正常原始型，F 就不可能属于主族；如果正常原始型与它自身 合成，就得到一个具有相同行列式的正常原始型，它一定属于主族。
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问题
给定任意两个型f 和f ′，F 由这两个型合成，由f 和f ′所属的族确定F 所属的族。
解：设f ＝（a ，b ，c ），f ′＝（a ′，b ′，c ′），F ＝（A ，B ，C ）；并用 表示数a ，b ，c 的最大公约数，用 表示数a ′，b ′，c ′的最大公约数，使得f 和f ′由原始型 导出，分别用 表示这两个原始型。如果 中至少有一个型为正常原始型，数A ，B ，C 的最大公约数就是 ，从而F 就可以由原始型 …推导出，显然，型F 所属的族就取决于型F 所属的族。我们容易发现，通过把型F 变换为f f ′的代换，型 可以变换成 ，从而可知 是由 合成的，所以它所属的族可以由条目246中的问题来确定。如果 都是反常原始型，数A ，B ，C 的最大公约数就是 ，显然，由 合成的型 就是由正常原始型（ ）导出。这个族所属的族可以由条目246决定，并且由于型F 是由同一个型导出，从而我们就知道了它所属的族。
由这个解我们推出，上个条目中限定于原始型的定理对任意型都成立：如果f ′，g ′分别与f ，g 所属的族相同，那么f ′，g ′合成的型所属的族就和f ，g 合成的型所属的族相同。
