249
定理
如果型f ，f ′分别与型g ，g ′属于相同的层、族以及类，那么由f ，f ′合成的型就与由g ，g ′合成的型属于相同的类。
由这个定理（由条目239可以立即推出这个定理是成立的） 我们可知，一个类是由两个或者更多给定的类合成 的含义是什么。
如果任意类K 与主类合成，得到的结果就是类K 自身；也就是说，主类在与一个有相同行列式的类合成时，主类可以忽略。两个相反的正常原始类合成时总是生成有相同行列式的主类 （见条目243） 。那么，由于任何歧类都与它自身相反，所以任意正常原始歧类与它自身合成，就得到具有相同行列式的主类。
这个定理的逆定理也成立：如果将一个正常原始类K 与它自身合成后得到一个有相同行列式的主类H ，那么K 就一定是一个歧类。 因为，如果K 是与K ′相反的类，那么由3个类K ，K ，K ′合成的类与由H 和K ′合成的类是同一个类。由第1组合成得到K （由于K 和K ′合成H ，H 和K 合成得到K） ，由第2组合成得到K ′，因此，K 和K ′重合，所以它是一个歧类。
进而我们指出：如果类K ，L 分别与类K ′，L ′相反，那么由K 和L 合成的类就与由K ′和L ′合成的类相反。 设型f ，g ，f ′，g ′分别属于类K ，L ，K ′，L ′；并且，设型F 是由f 和g 合成的型，型F ′是由f ′和g ′合成的型。由于型f ′与f 是反常等价的，型g ′与g 是反常等价的，而F 是由f 和g 直接合成的，那么F 就也可以由f ′和g ′合成，但是F 是由它们每个型反转合成的。因此，任何与F 反常等价的型都是由f ′和g ′直接合成的，所以它就与F ′正常等价（条目238，239） 。因此，F 和F ′就是反常等价的，它们所属的类是相反的类。
由此推出：如果歧类K 与另一个歧类L 合成，就总是能得到一个歧类。这个类是由与K 和L 相反的类合成所得到的类，因此它与它自身是相反的——这些类与它们自己都是相反的。
最后，我们指出：如果给定行列式相同的两个类K 和L ，并且前者是正常原始类，那么总是可以求出具有相同行列式的一个类M ，使得L 由M 和K 合成。显然，只要取M 是由与L 和K 相反的类合成所得到的类，就可以做到这一点。不难发现，这个类是具备此性质的唯一的一个类；也就是说，如果把具有相同行列式的不同的类与同一个正常原始类合成，就会得到不同的类。
此外，我们用符号“＋”来表示类的合成，并用“＝”来表示类的相同，这样很方便。使用这些符号，刚才讨论的定理就可以表述成：如果类K ′与K 相反，K ＋K ′就是具有相同行列式的主类，那么K ＋K ′＋L ＝L ；如果设K ′＋L ＝M ，就得到K ＋M ＝L ，这正是我们想要的。现在，如果除了M 之外还有另一个具有相同性质的类M ′，也就是K ＋M ′＝L ，我们就得到K ＋K ′＋M ′＝L ＋K ′＝M ，因而M ′＝M 。如果对几个相同的类做合成，并预先指定它们的个数，那么它就可以（按照乘积的形式） 这样来表示：2K 就表示K ＋K ，3K 就表示K ＋K ＋K ，…。这样就能把相同的符号转移到型上，例如，（a ，b ，c） ＋（a ′，b ′，c ′）就表示由（a ，b ，c ），（a ′，b ′，c ′）合成的型；但为了避免歧义，尽量不使用这种缩写，尤其是因为已经为符号 赋予了特殊的意义。我们就说类2K 是类K 加倍 得到的，类3K 是由类K 的三倍 得到的，等等。
250
如果D 是一个能够被m 2整除的数（假设m 是正数） ，那么就有一个由行列式为D 的型组成的层，它是由一个行列式为 的正常原始型导出的（或者当D 为负数时有两个这样的层，一个定正层，一个定负层） 。显然，型（m ，0， ）就属于那个层（定正层） ，它适合被看作这个层中最简单 的型［正如当D 是负数时，型（-m ，0， ）被看作定负层中最简单的型］ 。如果 （mod 4），那么就存在一个由行列式为D 的型组成的层，它是由一个行列式为 的反常原始型导出的。型（2m ，m ， ）就属于这个层，它是这个层中最简单的型［当D 为负数时，还存在两个层，型 （-2m ，-m ， ）就是属于其中定负层的最简单的型］ 。例如，如果把它应用于m ＝1的情况，则在由行列式为45的型组成的4个层中，最简单的是以下几个型：（1，0，-45），（2，1，-22），（3，0，-15），（6，3，-6）。这些讨论又引出了以下的讨论。
问题
给定属于层O 的任意型F ，求一个（定正的）具有相同行列式的正常原始型，这个和层O 中最简单的型合成得到型F 。
解：设型F ＝（m a ，m b ，m c ）由行列式为d 的原始型f ＝（a ，b ，c ）导出。我们指出，如果a 和2d m 不互质，就一定存在其他与（a ，b ，c ）正常等价的型，其首项具有这个性质。因为，由条目228可知，存在与2d m 互质且可以由这个型表示的数。设这个数是a ′＝a α2＋2b αγ＋c γ2，假设α，γ是互质的（这是可以的） 。如果选取适当的β ，δ ，使得αδ -βγ ＝1，那么f 就可以通过代换α，β，γ，δ 变换成与之正常等价并具有所要求的性质的型（a ′，b ′，c ′）。由于F 和（a ′m ，b ′m ，c ′m） 是正常等价的，所以只要讨论a 和2d m 互质的情况就足够了。这时，（a ，b m ，c m 2 ）是一个与F 有相同的行列式的正常原始型（因为，如果a ，2b m ，c m 2 有公约数，它就也能整除2d m ，即2b 2m -2a c m） 。容易确定的是，F 通过代换1，0，-b ，-c m ；0，m ，a ，b m 变换成型（m ，0，-d m ）和（a ，b m ，c m 2 ）的乘积。注意，除非F 是定负型，（m ，0，-d m ）就是层O 中最简单的型。通过利用条目235中的第4个讨论中的判别法，我们可推出F 是由（m ，0，-d m ）和（a ，b m ，c m 2 ）合成的。但是，如果F 是定负型，那么它就能通过代换1，0，b ，-c m ；0，-m ，-a ，b m 变换成层中最简单的型（-m ，0，d m ）和定正型（-a ，b m ，-c m 2 ）的乘积，从而它就可以由这两个型合成。
其次，如果f 是反常原始型，我可以假设 和2d m 是互质的——因为，如果型f 还不具备这个性质，那么我们可以求出一个与f 等价的型具备这个性质。由此，我们不难推出，（ ，b m ，2c m 2 ）是具有和F 相同的行列式的正常原始型；同样不难确定，F 可以通过代换
变换成型
的乘积，其中，当F 是定负型时，取负号；反之，取正号。由此，我们推出F 可以由这两个型合成，其中前者是层O 中最简单的型，后者是（定正的） 正常原始型。
251
问题
给定两个具有相同行列式D 的型F 和f ，它们属于同一个层O 。求一个行列式为D 的正常原始型，当它和f 合成时，生成F 。
解：设φ 是层O 中最简单的型； 是行列式为D 的正常原始型，它们与φ 合成之后，分别生成F 和f ；设f ′是正常原始型，它与 合成之后，生成 。那么，型F 就由3个型φ ， ，f ′合成，或者由2个型f 和f ′合成。证明完毕。
因此，给定的层中的任意类可以看作由同一个层中某一个给定类和某个具有相同行列式的正常原始类合成的类。
