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上一条定理的假设是在同一个层，因而不能应用于不同的层。例如，对于行列式-171，存在20个定正类，它们可以分成4个层：在正常原始层中存在2个族，每个族包含6个类；在反常原始层中存在2个族和4个类，每个族包含2个类；在由行列式-19的正常原始层导出的层中，仅存在1个族，它包含3个类；最后，由行列式-19的反常原始层导出的层中存在1个族，它包含1个类。对于定负型也是如此。因此，研究不同的层中类的个数之间的关系的一般性原理就很有必要。假设K 和L 是行列式为D 的层O （定正层） 中的2个类，M 是具有相同行列式的正常原始类，它和K 合成后生成L 。由条目251可知，一定存在这样的类。现在，在一些情况下，可能出现M 是唯一 具有这个性质的正常原始类；在其他情况下，存在具有这种性质的若干个不同的正常原始类。假设在一般情况下，存在r 个这种正常原始类M ，M ′，M ″，…，M r -1，它们每一个和K 合成后都生成同一个类L 。我们就把它们的组合用W 表示。令L ′为层O 中的另一个类（与类L 不相同） ，并且设N ′是行列式为D 的正常原始类，当它和L 合成时生成L ′。我们用W ′表示类N ′＋M ，N ＋M ′，N ′＋M ′，…，N ′＋M r -1的组合（它们都是正常原始类且彼此不同） 。我们不难发现，K 如果和W ′中的任意一个类合成就会生成L ′。因而我们可以推断，W 和W ′不包含相同的类；并且所有与K 合成时生成L ′的正常原始类都包含于W ′中。同理，如果L ″是层O 中不同于L ，L ′的另一个类，那么就存在r 个各不相同且和W ，W ′中的类都不相同的正常原始类，它们中的每一个类与K 合成时都会生成L ″。对于层O 中的所有其他的类，类似的结论都成立。现在，由于行列式为D 的任意正常原始（定正） 类与K 合成之后都会得出层O 中的一个类，显然，如果层O 中所有的类的个数为n ，那么，具有同一个行列式的所有正常原始（定正） 类的个数就是r n 。因此，我们得到一般性法则：如果我们用K ，L 表示层O 中的任意两个类，用r 表示具有同一个行列式的不同的正常原始类的个数，它们中的每一个和K 合成后都得到L ，那么在（定正的） 正常原始层中，所有的类的个数就是层O 中的类的个数的r 倍。
由于在层O 中可以任意选取K ，L ，所以可以取两个相同的类，而且选取包含最简单的型的那个类最有优势。因此，如果我们选择这样的类作为K 和L ，这个运算就简化为指出所有那些与K 合成得到K 自身的正常原始类。下面的结论为解决这个问题开启了大门。
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定理
如果F ＝（A ，B ，C ）是行列式为D 的层O 中的最简单的型，且f ＝（a ，b ，c ）是具有相同行列式的正常原始型；那么，当型F 可以由型f 和F 合成时，则数A 2 可以由型f 表示，反过来，当数A 2 可以由型f 表示时，则型F 可以由它自身和型f 合成。
证明
1．如果F 可以通过代换p ，p ′，p ″，p ；q ，q ′，q ″，q 变换成乘积f F ，那么，由条目235可得出，A （a q ″q ″-2b q q ″＋c q 2 ）＝A 3 。因而，A 2＝a q ″q ″-2b q q ″＋c q 2 。定理的第1部分证明完毕。
2．假设A 2 可以由f 表示，并用q ″和-q 表示数A 2 的对应的未知量的值，即A 2 ＝a q ″q ″-2b q q ″＋c q 2 。进而，设
q ″a -q （b ＋B ）＝A p ，-q C ＝A p ′，q ″（b -B ）-q c ＝A p ″-q ″C ＝A p ，q ″a -q （b -B ）＝A q ′，q ″（b ＋B ）-q c ＝A q ″
不难确定的是，F 可以通过代换p ，p ′，p ″，p ；q ，q ′，q ″，q 变换成乘积f F 。如果数p ，p ′，…是整数，则F 可以由f 和F 合成。由最简单的型的定义，B 要么等于0，要么等于 ，因而 是一个整数；同理可知，C /A 也总是一个整数。那么q ′-p ，p ′，q -p ″，p 就是整数，现在只需要证明p 和p ″是整数即可。那么有
如果B ＝0，可得
因而，p 和p ″是整数；但若 ，则
那么，在这种情况下p 和p ″也是整数。因此，F 是由f 和F 合成的。第2部分证明完毕。
255
因此，这个问题可以归结为求行列式为D 的正常原始类，它们中的型都能表示数A 2 。显然，A 2 可以由这样的型表示：它的第一项要么等于A 2 ，要么等于A 的某个因数的平方；反过来，如果A 2 能够由型f 表示，把未知数的相应的值记为α e ，γ e （e 是最大公约数） ，那么代换α ，β ，γ ，δ 能够把f 变换为一个首项为 的型。如果选取β ，δ 使得α δ -β γ ＝1，这个型就和f 正常等价。因此，在所含的型能表示A 2 的类中，我们都可以求出首项是A 2 或者是A 的某个因数的平方的型。整个过程取决于求所有行列式为D 的包含这种型的正常原始类。我们可以按照以下的方式来求解。设a ，a ′，a ″，…为A 的（正的） 因数；求表达式 （mod a 2） 位于0到a 2 -1之间（含边界） 的所有的值，记它们为b ，b ′，b ″，…。设
b 2 -D ＝a 2 c ，b ′b ′-D ＝a 2 c ′，b ″b ″-D ＝a 2 c ″，…
用V 记作型（a 2 ，b ，c ），（a 2 ，b ′，c ′），…的组合。显然，行列式为D 且首项为a 2的型组成的所有的类中，一定都包含V 中的某个型。以类似的方式确定行列式为D ，首项为a ′a ′，中项位于0和a ′a ′-1之间（包含边界） 的所有的型，记它们的组合为V ′；类似地，设V ″是第1项为a ″a ″的类似的型组成的总体，等等。现在，从V ，V ′，V ″，…中删除所有不是正常原始型的型，并把其余的型分成类，并且，如果有多个型属于同一个类，只保留其中的一个型。这样，我们就得到了所有要求的类，其个数与1之比和所有的（定正的） 正常原始类的个数与层O 中类的个数之比是一样的。
例：设D ＝-531，O 是由行列式-59的反常原始层导出的定正层；它的最简单的型是（6，3，90），即A ＝6。这里a ，a ′，a ″，a 分别为1，2，3，6；V 包含型（1，0，531）；V ′包含型（4，1，133），（4，3，135）；V ″包含型（9，0，59），（9，3，60），（9，6，63）；V 包含型（36，3，15），（36，9，17），（36，15，21），（36，21，27），（36，27，35），（36，33，45）。但是，这12个型中有6个必须剔除，从V ″中剔除第2个和第3个型，从V 中剔除第1个，第3个，第4个和第6个型，因为这些都是导出的型。剩下的所有6个型都属于不同的类。实际上，行列式为-531的（定正的）正常原始类的个数是18；行列式为-59的（定正的） 反常原始类的个数（或者由它们导出的行列式-531的类的个数） 是3，因而第1个数与第2个数的比例是6∶1。
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下面的一般性说明可以让这种解法更加清楚。
1．如果层O 是由正常原始层导出的，A 2 就能够整除D ；但如果O 是反常原始型或者是由反常原始型导出的，A 就是偶数，D 就能被 整除，其商就同余于1（mod 4）。那么，A 的任意因数的平方要么整除D ，要么至少整除4D ，并且在后一种情况下，其商总是1（mod 4）。
2．如果a 2 整除D ，表达式 位于0和a 2 -1之间的值就是0，a ，2a ，…，a 2 -a ，因而，a 就是V 中型的个数。但是，它们中正常原始型与数列
中和a 都没有公约数的数在数量上一样多。当a ＝1时，V 中只包含1个型（1，0，-D ），它总是正常原始型。当a 是2或者是2的幂，所指出的a 的个数中有一半是偶数，一半是奇数；因此，V 中就包含 个正常原始型。当a 是任意一个另外的质数p 或者是这个质数p 的幂时，必须区别3种情况：如果 不能被p 整除，也不是p 的二次剩余，那么这a 个数都与a 互质，因而V 中所有的型都是正常原始的；如果 能被p 整除，那么V 中就包含 个正常原始型；如果 是不能被p 整除的二次剩余，那么V 中就包含 个正常原始型。所有这些的证明都不难。一般地，如果a ＝2 v p π q χ r ρ …，其中p ，q ，r ，…是不同的奇质数，V 中正常原始型的个数就是N P Q R …，那么N ＝1（如果ν ＝0） 或者N ＝2 v -1 （如果v ＞0） ，P ＝p π （如果 是p 的二次剩余） ，或者P ＝（p -1）p π -1 （如果 能被p 整除） ，或者P ＝（p -2）p π -1 （如果 是p 的二次剩余且不能被p 整除） ；同理，Q ，R ，…就由q ，r ，…确定。
3．如果a 2 不能整除 就是一个整数，且同余于1（mod 4），并且表达式 的值就是 。因此，V 中型的个数就是a ，且其中正常原始型与数列
中和a 互质的数在数量上一样多。当 时，所有这些数就是偶数，因而V 中就不包含正常原始型。当 时，所有这些数就是奇数，因而，当a 是2或者2的方幂时，V 中所有的型就是正常原始型。在这种情况下，V 中所有的正常原始型的个数，等于这些数中不能被a 的任何质因数整除的数的个数。如果a ＝2 v p π q χ r ρ ，…，则它们的个数就等于N P Q R …，这里N ＝2 v ，且P ，Q ，R ，…是按照与上一种情况相同的方法由p ，q ，r ，…导出的。
4．我们已经指出了如何确定V ，V ′，V ″，…中正常原始型的个数。通过下面一般性的法则我们可以求出它们的总和。如果 ，其中 是不同的奇质数，V ，V ′，V ″，…中所有正常原始型的总和就等于 ，那么， ［如果 ］，或者 （如果 是一个整数） ，或者 ［如果 ≡5（mod 8）］ ；并且 （如果 整除 ） ，或者 （如果 不能整除 ；对应于 是 的非剩余或者剩余，分别取“＋”号和“-”号） 。
同理，我们可以从 中导出 。由于篇幅所限，我们不能更加充分地演示这里的证明。
费马猜想
费马猜想，今也称费马大定理、费马最后定理，著名数学猜想之一，由17世纪法国数学家皮耶·德·费马提出。猜想认为：当整数n ＞2时，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 没有正整数解。之所以称为“猜想”，是因为费马最初只是在丢番图的《算术》书页的空白区域写下了这一猜想，但受篇幅所限，未给出证明。直至英国数学家安德鲁·怀尔斯及其学生理查·泰勒于1995年将其证明出版后，才改称为“费马大定理”。
5．现在，关于由V ，V ′，V ″，…中的正常原始型导出的类的个数，我们必须区分以下3种情况：
第1种情况，当D 是负数时，V ，V ′，V ″，…中的每个正常原始型都构成一个单独的类。那么，类的个数可以由前一段论述中给出的公式来表示，但有2种情况除外，即当 要么等于-4，要么等于-3的情况；也就是，当D 要么等于-A 2 ，要么等于 。要证明这个定理，我们仅需要证明V ，V ′，V ″，…中两个不同的型是不可能正常等价的即可。所以，我们假设（h 2 ，i ，k ），（h ′h ′，i ′，k ′）是V ，V ′，V ″，…中两个不同的正常原始型，它们属于同一个类。假设（h 2 ，i ，k ）可以通过正常代换α ，β ，γ ，δ 变换成（h ′h ′，i ′，k ′），就可得出等式
由此不难推出，首先，γ 不等于0［如果γ 等于0，就会推出α ＝±1，h 2 ＝h ′h ′，i ′≡i （mod h 2 ），从而所给的型是相同的型，这与假设矛盾］ ；其次，γ 能够被数h ，h ′的最大公约数整除（如果设这个公约数是r ，显然，它也整除2i ，2i ′，且它与k 互质；另外，r 2 整除h 2 k -h ′h ′k ′＝i 2 -i ′i ′；那么显然，r 一定整除i -i ′；但a i ′-β h ′h ′＝a i ＋γ k ，所以γ k 和γ 也能够被r 整除） ；最后，（a h 2 ＋γ i） 2 -D γ 2 ＝h 2 h ′h ′。因此，如果令a h 2 ＋γ i ＝r p ，γ ＝r q ，p 和q 就是整数，q 就不等于0，于是有 。但是， 是能够被h 2 和h ′h ′同时整除的最小的数，因而它也能整除A 2 ，也能整除4D 。所以， 就是一个（为负的） 整数。如果令它为-e ，就得出 ，也即4＝ 。在这个等式中， 必须是一个小于4的平方数，因而它要么是0，要么是1。
如果它是0，e q 2 ＝4，且 ，由此可推出 是一个平方数取负号，因而一定不同余于1（mod 4），所以O 不是反常原始型，也不是由反常原始型导出的型。那么， 就是一个整数，并且显然e 就能够被4整除， 且 也是一个整数。因此，D ＝-A 2 ，也即 -1。
如果它是1，e q 2 ＝3，所以e ＝3且 。那么， 就是一个整数，它只能是3，不可能是其他任何数；因为，如果我们用平方整数 乘以它就得到3。因此，4D ＝-3A 2 ，也即 。在所有其余的情况下，V ，V ′，V ″…中所有正常原始型就属于不同的类。对于例外的情况，我们给出结果就够了。这些结果不难求，但囿于篇幅这里将其省去。在前一种情况下，V ，V ′，V ″…中的正常原始型总是以属于同一个类的型成对地出现；在后一种情况下，它们总是3个一组地属于同一类。因此，在前一种情况下，类的个数就是上面给出的数值的一半，在后一种情况下，是上面给出数值的1/3。
第2种情况，如果D 是正的平方数，那么V ，V ′，V ″，…中的每个正常原始型都毫无例外地构成一个单独的类。假设（h 2 ，i ，k ）和（h ′h ′，i ′，k ′）是两个不同的正常等价的型，（h 2 ，i ，k ）可以通过正常代换α ，β ，γ ，δ 变换成（h ′h ′，i ′，k ′）。显然，在前一种情况下所用到的结论（没有假设D 为负数） 在这里依然成立。因此，如果按照上面的方式确定p ，q ，r 的话， 在这里就也是整数，但它是正的而不是负的，而且，它是一个平方数。如果我们令它等于g 2 ，就得到（2r p /h h ′）2 -g 2 q 2 ＝4。但这是不可能的，因为两个平方数的差不可能是4——除非较小的平方数是0——于是这里的假设是不成立的。
第3种情况，D 是正数但不是平方数，至今还没有一般性的法则来对比V ，V ′，V ″，…中正常原始型的个数和由这些型得到的不同的类的个数。我们仅能推断，后者要么等于前者，要么是前者的因数。我们还发现这些数的商和满足方程t 2 -D u 2 ＝A 2 的t ，u 的最小值之间的某种关系，但如果在这里解释的话需要很多篇幅。我们不能确定，是否在所有情况下仅通过研究数D ，A 的值就能够知道这个商（前面的情况下这样是可以的） 。我们给出几个例子，读者可以方便地补充几个自己的例子。对于D ＝13，A ＝2，V ，V ′，V ″，…中正常原始型的个数是3，它们都是等价的，因而对应的值产生1个类；对于D ＝37，A ＝2，V ，V ′，V ″，…也存在3个正常原始型，但它们属于3个不同的类；对于D ＝588，A ＝7，V ，V ′，V ″，…中有8个正常原始型，它们可以分成4个类；对于D ＝867，A ＝17，V ，V ′，V ″，…中就有18个正常原始型；对于D ＝1445，A ＝17，也有同样多个正常原始型。但对于第1个行列式，它们分成2个类，对于第2个行列式，它们分成6个类。
6.由这个一般性理论在O 是反常原始层的情况下的应用，我们发现：这个层中所含的类的个数与正常原始层中所含的所有类的个数的比值，和1与形成下面3个型（1，0，-D ）， 的不同的正常原始类的个数之比是相等的。当D ≡1（mod 8）时，就只有1个类，因为在这种情况下，第2个和第3个型是反常原始的；但当D ≡5（mod 8）时，这3个型就都是正常原始的；当D 是负数时，就给出同样多个不同的类，除了唯一例外的情形D ＝-3，在这种情况下只有1个类；最后，当D 是（形如8n ＋5的） 正数时，对于这种情况我们还不了解它的一般性法则。但是，我们可以断言，在这种情况下，3个型要么属于3个不同的类，要么只属于1个类，绝对不可能属于2个类。因为，我们不难发现，如果型 分别属于类K ，K ′，K ″，就有K ＋K ′＝K ′，K ′＋K ′＝K ″，因而，如果K 和K ′是相同的，K ′和K ″就也是相同的；类似地，如果K 和K ″是相同的，K ′和K ″就也是相同的；最后，由于K ′＋K ″＝K ，如果假设K ′和K ″是相同的，就会推出K 和K ″也是相同的。因此，这3个类K ，K ′，K ″要么都是彼此不同的，要么都是相同的。例如，小于600且形如8n ＋5的数一共有75个。对于其中16个行列式，第1种情况成立，也就是说，正常原始层中类的个数是反常原始层中类的个数的3倍，这16个行列式是37，101，141，189，197，269，325，333，349，373，381，389，405，485，557，573；对于其他59个行列式，第2种情况成立，即在两个层中类的个数相等。
7.顺便指出的是，前面的方法不仅适用于具有相同行列式的不同的层中的类的个数，还适用于不同的行列式，只要它们的平方因数不同即可。因此，如果O 是行列式为d m 2 的层，O ′是行列式为d m ′m ′的层，那么，O 可以和行列式为d m 2 的正常原始层比较，而它又可以和由行列式为d 的正常原始型导出的层相比较；或者，对于类的个数来说，仍可归结为与最后这个层本身做比较，以及层O ′也同样可以与它做比较。
