257
在具有给定行列式的给定的层中的所有的类中，我们尤其要对歧类做进一步讨论。在确定这些类的个数过程中，又引出了很多其他有趣的结果。我们只讨论正常原始层中的类的个数就足够了，因为其他情况都可以简化为这种情况。我们按照下面的方法来确定歧类的个数。首先，我们确定行列式为D 的所有正常原始歧型（A ，B ，C ），其中要么B ＝0，要么 ，由这些歧型的个数可以求出行列式为D 的所有正常原始歧类的个数。
1．取D 的每个合适的因数（正负都取） 作为A ，这些因数使得 与A 互质。那么，当D ＝-1就有这两个型——（1，0，1）和（-1，0，-1）；当D ＝1时有同样多个数的型，即（1，0，-1），（-1，0，1）；当D 是质数或者质数幂（不论符号是正是负） ，有4个型——（1，0，-D） ，（-1，0，D ），（D ，0，-1），（-D ，0，1）。一般地，当D 能够被n 个不同的质数整除（这里数2可以作为其中一个质数） ，总共就有2 n ＋1 个这样的型；也就是说，如果D ＝±P Q R …，其中P ，Q ，R ，…是不同质数或者不同质数幂，并且如果它们的个数为n ，A 的值就是1，P ，Q ，R ，…，以及这些数的所有组合的乘积。由组合理论可知，这些值的个数是2 n ，但这个数必须加倍，因为每个值都既可取正号，又可取负号。
2．类似地，如果取D 的所有合适的因数（正负都取） 作为B ，使得C ＝ 是整数并与2B 互质，就能得到所有行列式为D 的正常原始型（2B ，B ，C） 。因此，由于C 一定是奇数且C 2 ≡1（mod 8），那么由等式D ＝B 2 -2B C ＝（B -C ）2 -C 2 可推出：当B 是奇数时，D ≡3（mod 4）；当B 是偶数时，D ≡0（mod 8）时，因此，当D 同余于数1，2，4，5，6中的任意一个数（mod 8）时，就不存在这样的型。当D ≡3（mod 4）时，不论取D 的哪个因数作为B ，C 都是奇数。但是，为使C 和2B 没有公约数，必须选择B 使得 和B 互质；那么，对于D ＝-1，可得2个型（2，1，1），（-2，-1，-1）。一般地，如果D 有n 个质因数，总共就有2 n ＋1 个型。当D 能被8整除时，如果取 的任意偶除数作为B ，C 就是整数；至于另一个条件C 与2B 互质，要满足它，首先 取D 的所有同余于2（mod 4）的因数，使得 和B 互质。如果D 能够被n 个不同的奇质数整除，这些数（计正负号） 就是2 n ＋1 个。然后，取 的所有能整除4的因数作为B ，使得B 和B 互质。这种除数也有2 n ＋1 个，所以在这种情况下，总共就有2 n ＋2 个型。如果D ＝±2 μ P Q R …，其中μ 是大于2的质数，P ，Q ，R ，…是不同的奇质数或不同奇质数的幂，且如果这些数的个数是n ；那么，就取1，P ，Q ，R ，…以及任意多个这样的数（既可取正号，也可取负号） 的乘积作为 和 的值。
我们可以发现，如果D 能够被n 个不同的奇质数整除（设n ＝0，如果D ＝±1或±2或2的方幂） ，那么，当D ≡1（mod 8）或者D ≡5（mod 8）时，所有正常原始型（A ，B ，C） 的个数（其中B 要么等于0，要么等于 ） 就等于2 n ＋1 ，当D 同余于2，3，4，6，7（mod 8）时，（A ，B ，C） （其中B 要么等于0，要么等于 ） 就等于2 n ＋2 ；最后，当D ≡0（mod 8）时，（A ，B ，C） （其中B 要么等于0，要么等于 ） 就等于2 n ＋3 。如果把这个数与条目231中得到的关于行列式为D 的原始型的所有可能的特征的个数加以比较，我们可以发现，在所有情况下，第1个数都恰好是第2个数的2倍。当D 是负数时，那么在所指出的型中，定正型和定负型一样多。
258
上一条目中讨论的所有的型显然都属于歧类。另一方面，这些型中至少有一个必定包含于行列式为D 的所有正常原始歧类中。这是因为，在这样的类中肯定存在歧型，而任何行列式为D 的正常原始歧型（a ，b ，c ）都等价于上个条目中的某一个型，即对应于b ≡0（mod a ）或者 （mod a ），它分别等价于 或者 。因此，这个问题就转化为求这些型决定多少个类。
如果型（a ，0，c ）出现在上个条目中的型中，那么型（c ，0，a ）也会出现在其中，除了a ＝c ＝±1，D ＝-1的情况之外，它们都是不同的。我们暂时搁置这种例外情况。现在，由于这些型显然属于同一个类，那么保留一个就足够了，我们摒弃首项大于第三项的那个型，我们还搁置a ＝-c ＝±1且D ＝1的情况。以这样的方式，我们就能将所有的型（A ，0，C ）变成一半，即每对型只保留一个，在保留下来的那些型中，总是有 。
类似地，如果型（2b ，b ，c ）在上个条目的型中出现，就也会出现下面的型
这两个型是正常等价的，且彼此不同，除非是在我们省略讨论的情况下，即c ＝b ＝±1或D ＝-1。我们保留其中一个型，即两个型中首项更小的那个型，就足够了（在这种情况下，它们不可能大小相等符号相反） 。因此，所有的型（2B ，B ，C） ，在保留下来的型中，就总是有 或者 。以这种方式简化，上个条目中只有一半的型留了下来。我们把它们的组合记为W ，剩下来只要指出由这些型可以产生多少个不同的类。显然，当D 是负数时，W 中定正型和定负型的个数是一样的。
1．当D 是负数时，W 中的每个型都属于不同的类。因为，所有的型（A ，0，C ）都是约化型，并且，除了C ＜2B 的那些型外，所有的型（2B ，B ，C ）也都是约化型。对于2C ＜2B ＋C 的型（由于 ，即B ＜2C -B 或B ＜C） ，2C -2B ＜C 且 ，所以型（C ，C -B ，C ）也是约化型，它显然与原来的型等价。以这种方式，我们就可以得出与W 中的型一样多的约化型。又由于它们中没有任何两个型是相同的或相反的（除了C -B ＝0的情况，即B ＝C ＝±1，因而D ＝-1，但这种情况我们已经排除了） ，那么，所有的型都属于不同的类。因此，行列式为D 的所有正常原始歧类的个数就等于W 中型的个数，或者是上个条目中型的个数的一半。关于D ＝-1的已经排除的情况，通过补偿会发生同样的情况，也就是说，存在两个类：型（1，0，1），（2，1，1）属于一个类，型（-1，0，-1），（-2，-1，-1）属于另一个类。因此，一般地，对于行列式为负的型，所有正常原始歧类的个数就等于所有具有相同行列式的原始型的所有可能具有的特征的个数；定正的正常原始歧类的个数是这个数的一半。
2．当D 是正的平方数时，令D ＝h 2 ，不难证明，W 中的每个型都属于不同的类；但这个问题可以通过下面的方式更加简单地解决。由条目210，行列式为h 2 的所有正常原始歧类（其他类不行） 只包含1个约化型（a ，h ，0），其中a 是表达式 位于0和2h -1（包含边界） 之间的值。由此可知，行列式为h 2 的正常原始歧类的个数和这个表达式的值的个数一样多。由条目105可知，对应于h 是奇数，或是≡2（mod 4），或是≡0（mod 4），即对应于D ≡1或D ≡4或D ≡0（mod 8），这些值的个数分别是2 n 或2 n ＋1 或2 n ＋2 ；这里n 表示h 或者D 的奇质因数的个数。那么，正常原始歧类的个数就总是等于上个条目中讨论的型的个数的一半，即等于W 中的所有的型的个数，或者说等于所有可能具有的特征的个数。
3．当D 是正的非平方数时，W 中的每个型（A ，B ，C ），通过取B ′≡B （mod A ）且使B ′位于 和 的范围内（对应于A 是正数或者负数，分别取负号和正号） ，可推导出其他的型（A ′，B ′，C ′），且 。我们把这个组合用W ′表示。显然，这些型是行列式为D 的正常原始的歧型，且彼此不同，而且，它们都是约化型。这是因为，当 时，B ′就小于 并且是正数； ，所以对A 取正值就一定位于 和 之间。当 时，不可能有B ＝0（我们放弃这些型） ，但B 必须等于 。因此，B ′就和 的大小相等，符号为正号（由于 ， 就位于B ′所处的界限之间，且对于模A 同余于B ，因而 ） 。因而， ，即 ，也即 ，所以±A 就一定位于 和 之间。最后，W ′就包含所有行列式为D 的正常原始约化歧型。这是因为，假如（a ，b ，c） 是这样一个型，要么b ≡0，要么 （mod a ）。在前一种情况下，不可能使得b ＜a ，所以也不可能使得 ，于是W 一定包含型 以及W ′包含对应的型（a ，b ，c ）；在后一种情况下， ，因而W 就包含型 ，W ′就包含对应的型（a ，b ，c ）。因此，W 中型的个数就等于所有行列式为D 的正常原始约化歧型的个数。由于每个歧类包含一对约化的歧型（条目187，194） ，所有行列式为D 的正常原始歧类的个数就是W 中型的个数的一半，或者所有可能具有的特征的个数的一半。
259
给定行列式为D 的反常原始歧类的个数，等于具有相同行列式的正常原始歧类的个数。设K 是主类，K ′，K ″，…是剩下的具有相同行列式的正常原始歧类，设L 是任意一个有相同行列式的反常原始歧类，例如，包含型 的那个歧类。如果把类L 和类K 合成，就得到类L 自身。假设类L 与K ′，K ″，…合并分别得到类L ′，L ″，…。显然，它们都属于相同的行列式，且都是反常原始的歧类。那么，只要我们证明所有的类L ，L ′，L ″，…都是不同的，并且除了这些类之外，不再有其他的行列式为D 的反常原始歧类存在，那么就能证明这个定理。为此，我们分下面两种情况讨论。
1．如果反常原始类的个数等于正常原始类的个数，那么，每个反常原始类都可以通过类L 与某个确定的正常原始类合成得到，因而所有的类L ，L ′，L ″，…都是不同的。如果用 表示行列式为D 的所有反常原始歧类，那么，就存在正常原始类 ，使得 ；如果 是与 相反的类，就也有（因为类L 和类 都有与它们相反的类） ，且 和 就是相同的，因而 是一个歧类。由此推出，类 可以在类K ，K ′，K ″，…中找到，而类 可以在类L ，L ′，L ″，…中找到。
2．当反常原始类的个数是正常原始类的个数的1/3时，设H 是一个包含型 的类，H ′是包含型 的类。H 和H ′都是正常原始类，且彼此不同，它们与主类K 也不同，且H ＋H ′＝K ，2H ＝H ′，2H ′＝H 。如果 是任意一个行列式为D 的反常原始类，且它是由L 和正常原始类 合成得到的，那么就也有 。除了这3个（正常原始且彼此不同） 的类 之外，再没有其他能和L 合成得到 的类了。因此，如果 是歧型，且 是与 相反的型，就有 就一定与这三个类的其中之一相同。如果 就是歧类；如果 ，就有 ，因而 是歧类；类似地，如果 就是歧类，我们可以推断， 一定可以在L ，L ′，L ″，…中找到。不难发现的是，在3个类 中最多存在一个歧类。如果 都是歧类，即它们与其自身相反，就有 ，由假设 和 是歧类也可以导出相同的结果，最后，如果 是歧类，即与它们相反的类 分别相同，就有 ，因而2H ＝2H ′，也即H ′＝H 。因此，只有一个正常原始歧类在与L 合成时得到 ，所有的类L ，L ′，L ″，…都是不同的。
一个导出层中的歧类的个数显然等于导出它的那个原始层中的歧类的个数，因而其个数总是可以确定的。
260
问题
行列式为D 的正常原始类K 是由一个有相同行列式的正常原始类k 加倍得到的；求能够加倍得到K 的所有类似的类。
解：设H 是行列式为D 的主类，且H ′，H ″，H ，…是剩下的那些有相同行列式的正常原始歧类；k ＋H ′，k ＋H ″，k ＋H ，…是通过H ′，H ″，H ，…与k 合成得到的类。我们将它们表示为k ′，k ″，k ，…。现在，所有的类k ′，k ″，k ，…就是行列式为D 的正常原始类，且彼此不相同；类K 就可以由它们中的任意一个加倍得到。如果用 表示加倍后得到类K 的行列式为D 的任意正常原始类，那么，它就一定包含于类k ′，k ″，k ，…之中。假设 是一个行列式为D 的正常原始类（条目249） ，那么， ，因而 和主类重合， 是歧类，即包含于类H ′，H ″，H ，…之中，且 包含于k ′，k ″，k ，…之中；因此，这些类就给出了问题的全部解。
显然，当D 是负数时，类k ′，k ″，k ，…中有一半是定正的，一半是定负的。
因此，任何可以通过某一个相似的类加倍而得到的行列式为D 的正常原始类，也可以通过其他相似的类加倍而得到，其个数等于行列式为D 的正常原始歧类的个数。显然，如果行列式为D 的所有正常原始类的个数为r ，具有相同行列式的所有正常原始歧类的个数是n ，那么能通过相似的类加倍得到的具有相同行列式的所有正常原始类的个数就是 。如果行列式为负，用r 和n 表示对应的定正 类的个数，就能得到同样的公式。例如，对于D ＝-161，所有定正的正常原始类的个数是16，歧类的个数是4，那么，由任意类加倍得到的类的个数也是4。实际上，包含于主族中的所有的层都具备这样的性质。因此，主类（1，0，161）是由4个歧类加倍得到；（2，1，81）由（9，1，18），（9，-1，-18），（11，2，15），（11，-2，15）加倍得到；（9，1，18）由（3，1，54），（6，1，27），（5，-2，33），（10，3，17）加倍得到；最后，（9，-1，18）由（3，-1，54），（6，-1，27），（5，2，33），（10，-3，17）加倍得到。
