第30节 对于给定的行列式，所有可能的特征有一半不属于任何正常原始族
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定理
行列式为正的非平方数的所有可能的特征中，有一半不属于任何正常原始族；如果行列式是负数，那么，它们不属于任何定正的正常原始族。
证明
设m 是行列式为D 的正常原始（定正） 族的个数；k 是包含于每个族中的类的个数，使得k m 是所有（定正的） 正常原始类的个数；n 是对于这个行列式的所有可能的不同特征的个数。那么，由条目258可得出，所有（定正的） 正常原始歧类的个数就是 ，因此，由上个条目可知，可以从一个相似的类的加倍得到的所有正常原始类的个数就是 。由条目247，所有这些类都属于包含k 个类的主族，因此，如果主族中所有的类都可以从某个类的加倍得到（下面将证明这总是成立的） ，那么有 或者 。并且，我们可以确定不可能有 ，所以也不可能有 。因此，所有（定正的） 正常原始族的个数一定不大于所有可能的特征的个数的一半，所以它们中至少有一半不可能适合于这样的族。证明完毕。但是要注意的是，由此不能推出所有可能的特征的一半适合于（定正的） 正常原始族。后面我们会证明这个重要定理的正确性，它涉及数的最深奥的性质。
对于负的行列式，定负的族和定正的族的个数一样多，显然所有可能的特征中属于定负的正常原始族的不超过一半。下面会对此，并对反常原始族做进一步讨论。最后，我们指出，这个定理不适合行列式为正的平方数的情况。对于这种情况，我们不难发现，每个可能的特征都适合一个族。
