第31节 对基本定理以及与剩余为-1，＋2，-2有关的其他定理的第2个证明
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那么，对于给定的非平方数的行列式D 只能有两个特征的情况，其中只有一个属于（定正的） 正常原始族（它一定是一个主族） ，另一个特征就不属于任何具有这个行列式的（定正的） 正常原始族。对于行列式-1，2，-2，-4，对于形如4n ＋1的正质数，对于形如4n ＋3的负质数，对于形如4n ＋3的所有正的质数的奇次幂，以及对于形如4n ＋3的质数的幂——按照其指数是偶数或者奇数分别取正号或者负号——都会发生这个情况。根据这个原理，我们可以得到一种新的方法，它不仅可以用来证明基本定理，还能证明前一个章节中关于剩余-1，＋2，-2的其他定理。这个方法与上一个章节中使用的方法完全不同，而优雅程度却丝毫不减。但我们省去对行列式为-4的，以及是质数的幂的行列式的讨论，因为讨论这些情况不会让我们获得新的结论。
对于行列式-1，不存在特征为3，4的定正型。对于行列式＋2，不存在特征为3和5，8 的定正型。对于行列式-2，不存在特征为5和7，8 的定正型。对于行列式-p ——p 是形如4n ＋3的质数——没有（定正的） 正常原始型具有特征N p ；而对于行列式＋p ——p 是形如4n ＋1的质数——没有任何正常原始型具有特征N p 。由此，按照下面的方式我们可以证明上一章的定理。
定理Ⅰ.-1是所有（正的） 形如4n ＋3的数的非剩余。这是因为，如果-1是这样的一个数A 的剩余，设-1＝B 2 -A C ，（A ，B ，C） 就是行列式为-1的定正型，它的特征是3，4。
定理Ⅱ.-1是任意形如4n ＋1的质数p 的剩余。这是因为，型（-1，0，p ）的特征，与所有行列式为p 的正常原始型的特征一样都是R p ，因此有-1 R p 。
定理Ⅲ.＋2和-2都是形如8n ＋1的任意质数p 的剩余。这是因为，要么型 和 是正常原始的，要么型（8，3， ）和 是正常原始的（对应于n 是奇数或是偶数） ，因而它们的特征是R p ，因此，有＋8 R p 和-8 R p ，也有2 R p 和-2 R p 。
定理Ⅳ.＋2是形如8n ＋3或8n ＋5的任意数的非剩余。这是因为，如果它是这样一个数A 的剩余，就有一个行列式为＋2的型（A ，B ，C ）具有特征3和5，8 。
定理Ⅴ.类似地，-2是形如8n ＋5或8n ＋7的任意数的非剩余。如若不然，就有一个行列式为-2的型（A ，B ，C ）具有特征5和7，8 。
定理Ⅵ.-2是形如8n ＋3的任意质数p 的剩余。我们通过两种不同的方式证明这个定理。第1种 证明：由定理Ⅳ有＋2 N p 以及由定理Ⅰ有-1 N p ，所以一定有-2 R p 。第2种 证明由对行列式＋2p 的讨论得到。对于这个行列式，有4种可能的特征，即R p ，1和3，8 ；R p ，5和7，8 ；N p ，1和3，8 ；N p ，5和7，8 。其中，至少有2个特征不适合任何族。型（1，0，-2p ）具有第1个特征，型（-1，0，2p ）具有第四个特征；因此，要去除第2个和第3个特征。并且，由于关于数8，型（p ，0，-2）的特征是1和3，8 ，关于p ，它的特征就是R p ，所以有-2R p 。
定理Ⅶ.＋2是形如8n ＋7任意质数p 的剩余。我们可以用两种方法证明。第1种方法 ，根据定理Ⅰ和Ⅴ，有-1 N p ，-2 N p ，那么就有＋2 R p 。第2种方法 ，要么 ，要么 是一个行列式为-p 的正常原始型（对应于n 是偶数或者是奇数） ，它的特征就是R p ，从而有8 R p 和2R p 。
定理Ⅷ.形如4n ＋1的任意质数p 都是任意奇数q 的非剩余，这里q 是模p 的非剩余。显然，如果p 是q 的剩余，就有一个行列式为p 的正常原始型具有特征N p 。
定理Ⅸ.类似地，如果奇数q 是形如4n ＋3的质数p 的非剩余，-p 就是q 的非剩余；不然的话，就会有一个行列式为-p 的定正的正常原始型具有特征N p 。
定理Ⅹ.任何形如4n ＋1的质数p 都是其他质数q 的剩余，其中q 是p 的剩余。如果q 也是形如4n ＋1的数，那么由定理Ⅷ就立即得到这个结论；但如果q 是形如4n ＋3的数，-q 就也是p 的剩余（由定理Ⅱ） ，因而p R q （由定理I X） 。
定理Ⅺ.如果质数q 是另一个形如4n ＋3的质数p 的剩余，-p 就是q 的剩余。这是因为，如果q 是形如4n ＋1的质数，由定理Ⅷ可以推出p R q ，从而（由定理Ⅱ） 推出-p R q 。但当q 是形如4n ＋3时，这个方法不适用，我们通过讨论行列式＋p q 便可以轻松解决。由于这个行列式的4个可能的特征是R p ，R q ；R p ，N q ；N p ，R q ；N p ，N q ，其中2个不能适合任何族，由于型（1，0，-p q） ，（-1，0，p q ）的特征分别是第1个和第4个，所以，第2个和第3个不适合于任何行列式为p q 的正常原始型。根据假设，型（q ，0，-p ）关于数p 的特征是R p ，那么它关于数q 的特征就一定是R q ，从而-p R q 。证明完毕。
如果在定理Ⅷ和Ⅸ中，我们假设q 是一个质数，那么这两个定理再结合定理Ⅹ和Ⅺ，就给出了上一章中的基本定理。
