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既然我们已经给出了基本定理的新证明，现在我们来指出如何区分给定行列式为非平方数的那一半不适合任何（定正的） 正常原始型的特征。这里可以对其简略讨论，因为条目147到150中已经包含了这个讨论的基础。设e 2 是整除给定行列式D 的最大的平方数，设D ＝D ′e 2 ，D ′不包含任何平方因数。并且，设a ，b ，c ，…是D ′的奇数质因数。那么，不考虑符号，D ′就是这些数的乘积或者这个乘积的两倍。当D ′≡1（mod 4）时，设Ω表示专属特征N a ，N b ，N c ，…的组合；当D ′≡3且e 是奇数或者同余于2（mod 4）时，再加上特征3，4；当D ′≡3且e ≡0（mod 4）时，再加上特征3，8和7，8；当D ′≡2（mod 8）且e 是奇数或者是偶数时，分别再加上特征3和5，8 ，或者两个特征3，8和5，8；最后，当D ′≡6（mod 8）且e 是奇数或者是偶数时，分别再加上特征5和7，8 ，或者2个特征5，8和7，8。这样一来，含有Ω中奇数个专属特征的所有完全特征，就不可能适合行列式为D 的（定正的） 正常原始族。在每种情况下，表示不能整除D ′的D 的质因数之间关系的专属特征，对族的可能性或不可能性没有任何贡献。但是，由组合理论我们不难发现，以这种方式，所有可能的整数特征的一半都被排除掉了。
我们按如下方式来证明。由上一章的原理，或者在上个条目中重新证明的定理可知，如果p 是不整除D 的（奇、正） 质数，且具有1个属于它的被排除掉的特征，那么，D ′就包含奇数个是p 的非剩余的因数。因此，D ′和D 也是p 的非剩余。进而，与D 互质的奇数的乘积（没有一个数属于任何被排除掉的特征） 不可能属于这样的特征。反之亦然，任何与D 互质的正奇数（属于其中一个被排除掉的特征） 一定包含具有相同性质的某个质因数。如果有属于某个被排除掉特征的行列式为D 的正常原始（定正） 型，那么D 就是与它互质的某个正奇数的非剩余，并且可以被这样的型表示。但这显然与条目154中的定理不符合。
条目231和232中的分类给出了很好的例子，读者可以随意增加它们的个数。
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那么，如果给定一个非平方数的行列式，所有可能的特征就分成相等的两类P 和Q ，使得没有任何（定正的） 正常原始型能够适合Q 中的任何特征。至于特征P ，据我们目前所知，没有什么能让这样的型不属于P 中的那些特征。我们特别要注意下面关于这几类型的定理，它们可以从关于它们的判别法推导出来。如果把P 的特征与Q 的特征组合（按照条目246，Q 的特征也对应于一个族） ，我们就得到了Q 的特征；但如果把P 的2个特征和Q 的两个特征组合，得到的特征就属于P 。借助于这个定理，对于定负的族以及反常原始族，按照下面的方式我们也可以把所有可能特征的一半排除掉。
1．对于负的行列式D ，定负的族就和定正的族相反。因为P 的所有特征都不属于定负的正常原始族，但所有这样的族都有Q 中的特征。当D ′≡1（mod 4）时，-D ′就是形如4n ＋3的整数，因而，在数a ，b ，c ，…中就有奇数个形如4n ＋3的数，且-1就是它们中每一个的非剩余。由此推出，在这种情况下，型（-1，0，D ）的完整特征就包含Ω中的奇数个专属特征，即它属于Q ；当D ′≡3（mod 4）时，在数a ，b ，c ，…中要么不存在形如4n ＋3的数，要么有2个，4个，…这样的数。并且，由于在这种情况下，3，4；3，8；7，8就出现在型（-1，0，D ）的专属特征中，我们可知这个型的完整特征就也属于Q 。对于其余的情况，我们就能轻松地得到相同的结论，即定负型（-1，0，D ）总是具有Q 中的一个特征。由于这个型与另外一个具有相同行列式的定负的正常原始型的合成会得到类似的定正型，我们可知，没有定负的正常原始型能够具有P 中的特征。
2．用相同的方式我们可以证明，（定正的） 反常原始族与正常原始族要么具有相同的性质，要么具有相反的性质，对应的条件是D ≡1或者D ≡5（mod 8）。因为，在前一种情况下就有D ′≡1（mod 8），可以推断在数a ，b ，c ，…中要么不存在形如8n ＋3和8n ＋5的数，要么就有2个，4个，…这样的数［因为任何多个奇数的乘积，其中包含奇数个形如8n ＋3和8n ＋5的数，就总是同余于3或者同余于5（mod 8），并且所有的数a ，b ，c ，…的乘积就要么等于D ′，要么等于-D ′］ ；那么，型 的完整特征就要么不包含Ω的专属特征，要么就包含2个，4个，…这样的特征，所以它属于P 。由于行列式为D 的任意（定正的） 反常原始型可以按照由（2，1， ）和一个具有相同行列式的（定正的） 正常原始型合成的情况来讨论，显然，在这种情况下，没有（定正的） 反常原始型具有Q 中的一个特征。在其他情况下，当D ≡5（mod 8）时，一切都恰好相反，即D ′≡5，一定包含奇数个形如8n ＋3和8n ＋5的因数。那么，型 的特征以及行列式为D 的任意（定正的） 反常原始型的特征就属于Q ，且没有定正的反常原始族具有P 中的特征。
3．最后，对于负的行列式，定负的反常原始族又一次与定正的反常原始族相反。对应于D ≡1或者D ≡5（mod 8），对应于形如8n ＋7或者8n ＋3的-D ，它们都不可能具有属于P 或者Q 的特征。我们由此可推出：如果把特征在Q 中的型（-1，0，D ）和具有相同的行列式的定负的反常原始型相合成，就得到定正的反常原始型。当我们对后面的型排除了Q 中的特征，那么对于后面的型，P 中的特征也一定被排除在外，反之亦然。
