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以上所有情况都是基于条目257和258中对于歧类的个数的讨论。这些产生了其他的很多值得讨论的结论，为了简洁我们省略了它们，但下面这条结论就不能跳过了，因为它非常优雅。对于一个正的行列式p ，它是形如4n ＋1的质数，我们已经证明了只存在一个正常原始歧类。因此，这里所有的正常原始类歧型都是正常等价的。因此，如果b 是小于 的最大的正数，且p -b 2 ＝a ′，型（1，b ，-a ′）和（-1，b ，a ′）就是正常等价的，并且，由于它们都是约化型，其中一个就包含在另一个的周期中。如果我们把它的周期中的前面的型赋予指标0，后者的指标就一定是奇数（因为这两个型的首项具有相反的符号） 。假设这个指标等于2m ＋1。我们不难发现，如果指标为1，2，3，…的型分别是
以下的型分别对应于指标2m ，2m -1，2m -2，2m -3，…
那么，如果指标为m 的型是（A ，B ，C ），它就与（-C ，B ，-A ）相同，因而C ＝-A ，且p ＝B 2 ＋A 2 。因此，任何形如4n ＋1的质数都可以分解为两个平方数（我们由条目182中完全不同的原理推导出这个定理） 。而且，我们发现这个分解方法非常简单，是完全统一的方法；即对于以该质数为行列式且首项是1的约化型，构造它的周期直到得到的型的外项相等但大小相反为止。例如，对于p ＝233，有（1，15，8），（-8，9，19），（19，10，-7），（-7，11，16），（16，5，-13），（-13，8，13），且233＝64＋169。显然，A 一定是奇数［因为（A ，B ，-A） 一定是正常原始型］ 且B 一定是偶数。对于正的行列式p ，它是形如4n ＋1的质数，只有一个歧类包含于反常原始层中。如果g 是小于 的最大的奇数，且p -g 2 ＝4h ，反常原始约化型（2，g ，-2h ）和（-2，g ，2h ）就正常等价，因而彼此就包含在对方的周期中。那么，通过相似的推理，我们推出：可以在型（2，g ，-2h ）中求得一个型，它的外项大小相等但符号相反。因此，由此我们也能找出p 分解成两个平方数的方法。这个型的外项是偶数，中间项是奇数；且因为一个质数只能以一种方式分解成两个平方数，我们通过这个方法求得的型要么是（B ，±A ，-B ），要么是（-B ，±A ，B ）。因此，在p ＝233的这个例子中，就有（2，15，-4），（-4，13，16），（16，3，-14），（-14，11，8），（8，13，-8），且233＝169＋64，同上。
