266
到目前为止，我们把讨论限定于两个 变量的二次函数，没有必要给它们起一个特别的名字。但显然，这个课题仅是任意多个变量和任何次有理代数齐次整函数 的一般性研究的一个特别部分。这样的函数可以按照它们的次数方便地区分成二次型，三次型，四次型 ，…，并且对应于未知数的个数可以划分为二元型，三元型，四元型 ，…。那么，我们一直简称的型 就可称为二元二次型 。而像A x 2 ＋2B x y ＋C y 2 ＋2D x z ＋2E y z ＋F z 2 （其中A ，B ，C ，D ，E ，F 是整数） 这样的函数就称为三元二次型 ，以此类推。我们把本章用来讨论二元二次型。但是关于这些型还有很多优美的定理，它们的源泉可以在三元二次型理论中找到。因此，我们有必要对三元二次型理论做一个简要的讨论，并且专门讨论令二元型成为完整理论的必要原理，这样比我们直接忽略这些定理或者用不自然的方法讨论它们更容易令学习者接受。但是，我们必须另外找机会对这个课题做更加精确的讨论，因为这个课题的丰富成果已经远远超出了这本书的篇幅，同时也是希望以后能以更深刻的见解使之更加充实。这一次我们完全不讨论4个变量、5个变量，…的型以及所有更高次的型。 [36] 能引起学习者们对这个更加宽广的领域的注意，这就足够了。那里有充足原料供他们施展才华，高等数学一定会通过他们的努力得到发展。
267
为出现在三元型中的未知数建立一个固定的顺序对我们的理解非常有帮助，正如我们对二元型做过的那样，这样我们可以把第1、第2和第3个未知数 区分开。在处理型的不同的部分时，我们总是按照下面的顺序排列：把含第1个未知数的平方数的项放在第1个位置，然后依次是含第2个未知数的平方数的项，第3个未知数的平方数的项，第2个与第3个未知数的乘积的两倍，第1个和第3个未知数的乘积的两倍，最后是第1个和第2个未知数的乘积的两倍。最后，我们把平方数和两倍乘积之前的那些整常数，按照和未知数同样的次序，分别称为第1个系数、第2个系数、第3个系数、第4个系数、第5个系数和第6个系数 。那么
a x 2 ＋a ′x ′x ′＋a ″x ″x ″＋2b x ′x ″＋2b ′x ′x ″＋2b ″x x ′
就是一个正常排列的三元型。第1个未知数是x ，第2个未知数是x ′，第3个未知数是x ″。第1个系数是a ，…，第4个系数是b ，…。如果用专门的字母表示三元型中的未知数，篇幅就会简洁很多，我们就用
来表示这样的型。通过设
就得到另一个型F
我们称它是与型f
伴随 的型。再一次地为了简洁，我们把数
记为D ，就有
那么显然，型F 的伴随型就是型
三元型f 的性质首先取决于数D 的本质，我们把D 称为这个型的行列式 。类似地，型F 的行列式就等于D 2 ，即等于它的伴随型f 的行列式的平方。
例如，三元型 的伴随型是 ，它们的行列式都等于1。
我们从下面的讨论中完全排除行列式为0的三元型。在更充分地讨论三元型理论时，我们会指出：它们只是看起来 是三元型，它们实际上等价于二元型。
268
如果行列式为D ，未知数为x ，x ′，x ″的三元型f ，可以通过代换
变换成行列式为E ，未知数为y ，y ′，y ″的三元型g ，其中9个系数α ，β ，…都是整数；那么，为了简洁，我们就忽略未知数，简单地说f 通过代换（S ）
变换成型g ，且f 包含 g ，也即g 包含于 f 。对应于g 中6个系数的6个等式，这里没有必要书写出来。由这些等式，我们可以得到下面的结论：
1．为了简洁，我们把数α β ′γ ″＋β γ ′α ″＋γ α ′β ″-γ β ′α ″-α γ ′β ″-β α ′γ ″表示为k ，经过适当的计算得到E ＝k 2 D 。那么，D 整除E ，它们的商是平方数。显然，数k 对于三元型的变换类似于条目157中数α δ -β γ 对于二元型的变换，即行列式的商的平方根。我们可以猜想，在这种情况下，k 的符号的变化显示出正常变换和反常变换之间的本质区别和含义。但是，如果更仔细地分析这个情况，我们发现f 也可以通过代换
变换成g 。并且，在k 的式子中我们用-α 代替α ，用-β 代替β ，…，我们就得到了-k 。那么，这个代换就和代换S 不同，且任何以某一种方式包含另一个三元型的型，也以另一种方式包含那个相同的型。所以我们就完全放弃这种区分，因为对于三元型它没有用处。
2．如果我们用F 和G 分别表示f 和g 的伴随型，由代换S 中给出的等式知，F 中的系数就由f 中的系数决定，G 中的系数就由g 中的系数的值决定。如果我们用字母表示型f 中的系数，并且把型F 和型G 中的系数的值加以比较，不难发现F 包含G ，且F 可以通过代换（S ′）
变换成G 。由于这个计算没有任何困难，我们就不把它写下来了。
3．通过代换（S ″）
型g 就变成由型f 通过代换
变换得到的型。这个型是由型f 的每个系数乘以k 2 以后得到的型，我们用f ′表示这个型。
4．以完全相同的方式，通过代换（S ）
型G 变成由型F 的每个系数乘以k 2 后得到的型。我们把这个型记为F ′。我们就说代换S 是由代换S 转置 得到的，显然，代换S 转置也可以得到S ；按照相同的方式，S ′和S ″中的其中一个经过转置就可以得到另一个。我们称代换S ′是代换S 的伴随 代换，代换S ″就是代换S 的伴随代换。
269
如果型f 包含g ，且g 也包含f ，我们就称f 和g 是等价的 型。在这种情况下，D 整除E ，E 也整除D ，因而D ＝E 。相反地，如果型f 包含具有相同行列式的型g ，那么这两个型就是等价的。因为（如果我们使用和上个条目中相同的符号，并省略D ＝0的情况） k ＝±1，所以型f ′（它是型g 通过代换S ″变成的型） 与f 相同，且f 包含于g 。进而，在这种情况下，与f 和g 伴随的型F 和型G 就相互等价，且型G 就可以通过代换S 变换成型F 。反过来，假设型F 和型G 是等价的，F 就可以通过代换T 变换成G 。型f 和型g 就是等价的，且f 就通过T 的伴随代换变换成g ，g 通过代换T 转置变成f 。分别由这两个代换，与F 伴随的型就变换成与G 伴随的型，与G 伴随的型也就变换成与F 伴随的型。这两个型可以通过f 和g 乘以D 的所有系数来得到，所以，我们可以推断出，通过相同的变换，f 可以变换成g ，g 也可以变换成f 。
270
如果三元型f 包含三元型f ′，且f ′包含型f ″，那么f 就包含f ″。因为，不难发现，如果f 通过代换
变换成f ′，且f ′通过代换
变成f ″，那么f 就可以通过代换
变换成f ″。
那么，如果f 等价于f ′，f ′等价于f ″，型f 就也等价于f ″。显然，这些定理可以应用于一系列的型的情况。
271
很明显，像二元型一样，如果把等价的三元型归为同一类，把不等价的三元型归为不同的类，那么三元型也可以分成很多类 。因此，具有不同行列式的型一定属于不同的类，三元型就有无限多个类。具有相同行列式的三元型有时候构成很多个类，有时候只构成很少的类，但是这些型的一个重要性质是，具有相同行列式的所有的型构成有限个数的类 。在详细讨论这个重要的定理之前，我们必须解释下面的三元型之间的重要区别。
某些三元型既可以表示正数，也可以表示负数，例如，型x 2 ＋y 2 -z 2 。我们称这样的型为不确定型 。另一方面，有些型不能表示负数，只能表示正数（除了使每个未知数为0而得到值0） ，例如x 2 ＋y 2 ＋z 2 。我们称这样的型为定正型 ；最后，还有另外一些型不能表示正数，例如-x 2 -y 2 -z 2 。这样的型我们称为定负型 。定正型和定负型都叫作定型 。现在我们给出如何区分型的这些性质的一般判别法。
如果把a 乘以行列式为D 的三元型
并且，像条目267那样，用A ，A ′，A ″，B ，B ′，B ″表示与f 伴随的型的系数，我们就得到了
令A ′与之相乘可得
如果A ′和a D 都是负数，h 的所有的值就是负数。显然，型f 只能表示符号与a A ′相反的那些数，即与a 的符号相同，或者与D 的符号相反的那些数。在这种情况下，f 就是一个确定的型，对应于a 是正数或者负数，对应于D 是负数或者正数，它就是定正型或者定负型。
但是，如果a D 和A ′都是正数，或者一个是正数，另一个是负数（两个数都不为0） ，通过适当地选择x ，x ′，x ″，那么，h 就可以要么取正值，要么取负值。因此，在这种情况下，f 可以取与a A ′符号相同的值，也可以取与a A ′符号相反的值，所以它就是一个不定型。
对于A ′＝0且a 不等于0的情况，有
通过为x ′取一个任意值（不为0） ，并且使得 与B x ′有相同的符号（这是可以做到的，因为B 不能等于0，否则我们就有B 2 -A ′A ″＝a D ＝0，从而有D ＝0，这是排除在外的情况） ，这样就使x ′（A ″x ′-2B x ″）取正值，因此可以这样取x 的值使得g 是负数。显然，只要我们想，所有这些值都可以取正数。最后，不论为x ′和x ″取什么样的值，我们总是可以将x 取得足够大以使得g 为正值。因此，在这种情况下，f 就是一个不确定型。
最后，如果a ＝0，就有
现在，如果我们为x ′和x ″取任意值，但是使得b ″x ′＋b ′x ″不等于0（显然，只要b ′和b ″都不等于0，这是可以做到的；但如果它们等于0，就有D ＝0） ，不难发现，可以选择x ，使得f 既可以取到正值，又可以取到负值。那么，在这种情况下，f 也是一个不定型。
哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想，著名数学猜想之一，由哥德巴赫在1742年与欧拉的信件中提出。猜想认为：任一大于2的整数都可以写成三个质数之和（这与现代陈述有所出入，因为当时的哥德巴赫遵照的是“1也是素数”的约定）。其现代表述则为：任一大于2的偶数，都可表示成两个素数之和。这一猜想仍未被解决。
同理，我们也能够使用数a D 和A ″来确定f 的性质。如果数a D 和A ″都是负数，那么型f 就是定型；其他情况下型f 都是不定型。为了这个目的，我们还可以讨论数a ′D 和A ′，或者数a ′D 和A ″，或者a ″D 和A ，或者a ″D 和A ′。
由所有这些结论我们可以推出，在定型中，6个数A ，A ′，A ″，a D ，a ′D ，a ″D 都是负数。对于定正型，a ，a ′，a ″是正的，D 是负的；对于定负型，a ，a ′，a ″是负的，D 是正的。因此，所有具有正的给定行列式的三元型都可以分为定负型和不定型，所有具有负的给定行列式的三元型都可以分为定正型和不定型，不存在具有正的行列式的定正型，也不存在具有负的行列式的定负型。不难发现，定型的伴随型总是定型，并且是定负型 ，不定型的伴随型总是不定型。
由于能够被给定三元型表示的所有的数也可以被与这个三元型等价的型表示，同一个类中的三元型或者都是不定型，或者都是定正型，或者都是定负型；那么，把这些名称转移到类别上也是没问题的。
272
我们来讨论上个条目中的这个定理——所有具有给定行列式的三元型能够分为有限个类——并像我们证明二元型的定理那样证明它。首先，我们指出怎样把三元型约化为更简单的型，并指出对于给定行列式，最简单的型（由约化得来的） 的个数是有限的。我们假设，行列式为D 的三元型f ＝ （不等于0） 通过代换（S）
变换为型 。接下来我们就要确定α ，β ，γ ，…使得g 是比f 更简的形式。设伴随f 和g 的型分别是 ，分别表示为F 和G 。那么，由条目269，F 就可以通过伴随（S ）的代换变换为型G ，G 可以通过由（S ）转置导出的代换变换成F 。数
必然只有两种可能：要么等于1，要么等于-1。我们把这个数表示为k 。我们指出以下情况：
1．如果有γ ＝0，γ ′＝0，α ″＝0，β ″＝0，γ ″＝1，那么
进而，必然得出：α β ′-β α ′要么等于1，要么等于-1。那么，显然，行列式为A ′的二元型（a ，b ″，a ′）就可以通过代换α ，β ，α ′，β ′变换成行列式为M ″的二元型（m ，n ″，m ′），并且，由于α β ′-β α ′＝±1，它们就是等价的型，从而M ″＝A ″。这一点也可以直接确认。因此，除非（a ，b ″，a ′）已经是它所在的类中的最简单的型，我们就能确定α ，β ，α ′，β ′使得（m ，n ″，m ′）是最简单的型。由二元型的等价理论，我们不难推断出：如果A ″是负数，m 就不大于 ；或者，当A ″是正数时，m 就不大于 ；或者，当A ″为0时，m ＝0。那么，在所有情况下，我们可以取m 的（绝对） 值要么小于 ，要么等于 。如果可能的话，型f 就简化为首项系数更小的另一个型。这个型的伴随型就有与f 的伴随型F 相同的第3项系数。这是第1种简化 。
2．但是，如果α ＝1，β ＝0，γ ＝0，α ′＝1，α ″＝0，就有k ＝β ′γ ″-β ″γ ′＝±1；那么，与（S ）伴随的代换就是
且通过这个代换F 就变换为G ，我们就有
那么，显然行列式为D a 的二元型（A ″，B ，A ′）通过代换β ′，-γ ，-β ″，γ ″变换为行列式为D m 的型（M ″，N ，M ′）（由于β ′γ ″-γ ′β ″＝±1或者由于D a ＝D m） ，因而两者等价。由于（A ″，B ，A ′）已经是它所在的类中的最简单的型，那么我们就可以这样确定系数β ′，γ ′，β ″，γ ″，使得（M ″，N ，M ′）是最简单的型：不计M ″的符号，使得它不大于 。这总是可以做到的。f 就以这种方式简化为另一个具有相同首项系数的型。但是，如果可能的话，伴随它的型就有比f 的伴随型F 更小的第3项系数。这是第2种简化 。
3．如果第1种和第2种简化都不能应用于三元型f ，即如果f 不能通过任意一种简化变换为更简单的型，那么a 2 就一定不大于 ，即A ″A ″就不大于 ，不计A ″A ″的符号。那么， ，即 ，也即 ，因而 ，即 。因此，如果a 或者A ″超出这些界限，那么前面的简化中一定有一个适用于f 。但是，反过来不成立。因为经常发生这样的情况，即三元型的伴随型的首项和第3项系数已经在这些界限内，然而却可以通过其中的某个化简使之更加简单。
4．如果我们对行列式为D 的三元型交替使用第1和第2种简化，即先对它使用第1或第2种简化，然后对得到的型再使用第2或第1种简化，再对得到的结果使用第1或第2种化简，等等；那么最终我们就会得到一个型，不能对它再使用任何简化方法。因为，该型本身的首项系数以及伴随它的型的第3个系数的绝对值交替地出现有时保持不变，有时减小的情况，所以这个过程最终会停止；否则我们就会得到两组无限递减的数列。
综上所述，我们得到了这样一个不寻常的定理：任何行列式为D 的三元型都能简化为具备这样的一种性质的与之等价的型 （只要这个三元型还不具备这种性质） ：它的第1个系数不大于 ，伴随型的第3个系数不大于 ，不考虑符号 。如果代替型的第1个系数以及伴随型的第3个系数，以完全相同的方式改为取这个型本身的第1个系数以及它的伴随型的第2个系数；或者取这个型本身的第2个系数以及伴随型的第1或第3个系数；或者取这个型本身的第3个系数以及伴随型的第1或第2个系数，这些方式最终都会让我们实现目标。但是最好连贯地使用一种方法，这样所用到的步骤可以简化为固定算法。我们最后指出，如果将确定型同不确定型分开，我们就可能求得所讨论的这两个系数的更小的边界；但是就我们目前的目的来说，这是不必要的。
273
以下这些例子诠释了上面的原理。
例1：设 ，那么 且D ＝-1。由于（19，1，21）是约化二元型，没有其他与之等价的型D 首项小于19，第1种简化在这里不适用。二元型（A ″，B ，A ′）＝（-398，257，-166），由二元型等价理论，它通过代换2，73，11，可以变换为更简单的等价型（-2，1，-10）。因此，如果设β ′＝2，γ ″＝-7，β ″＝-3，γ ″＝11，且如果我们对型f 应用代换
它就变换为 ，记为f ′。伴随型的第三个系数是-2，在这个方面f ′比f 简单。
第1种简化可以对f ′使用。也就是说，由于二元型（19，-82，354）可以通过代换13，4，3，1变换成（1，0，2），那么对型f ′使用代换
它就变换为 ，记为f ″。
我们可以对型f ″再次使用第2种简化，它的伴随型是 ，也就是说，（-2，95，-4513）可以通过代换47，1，-1，0变换为（-1，1，2）；所以可以对型f ″使用代换
它就变换成 ，记为f 。这个型的第1个系数不可能再使用第1种简化，它的伴随型的第3个系数也不可能再使用第2种简化。
例2：设给定的型是 ，记为f 。它的伴随型是 ，它的行列式等于2。交替使用第2种和第1种简化后，f 变换为f''''
型f'''' 不可能再使用第1种或第2种简化。
274
如果有这样一个三元型，它自身的第1个系数和它的伴随型的第3个系数已经通过前面的方法做了最大可能的简化，那么下面的方法可以使之进一步简化。
使用与条目272中相同的符号，并设α ＝1，α ′＝0，β ′＝1，α ″＝0，β ″＝0，γ ″＝1，即利用下面的代换
我们就得到
进而得到M ″＝A ″，N ＝B -A ″γ ′，N ′＝B ′-N β -A ″γ 。所以这样一个变换不会改变系数a ，A ″——它们被前面的简化变小。因此，剩下的工作是要求合适的β ，γ ，γ ′，使得剩下的系数变小。我们首先指出，如果A ″＝0，可以假设a 也等于0——否则，第1种化简就可以再一次使用，因为任何行列式为0的二元型就等价于型（0，0，h ），它的第1项等于0 （参考条目215） 。同理，我们可以假设a ＝0则A ″＝0，因而数a ，A ″要么都等于0，要么都不等于0。
如果数a ，A ″都不等于0，则我们可以确定β ，γ ，γ ′的值，使得n ″，N ，N ′的绝对值分别不大于 。那么，在上个条目的第1个例子中，伴随型是 的最后1个型 就可以通过代换
变换成型 ，即f'''' ，它的伴随型是 。
在a ＝A ″＝0的情况下，也有b ″＝0，我们就有
因而D ＝a ′b ′b ′＝m ′n ′n ′。我们不难发现，可以这样确定β 和γ ′，使得n 就等于b 关于以a ′和b ′的最大公约数作为模的绝对最小剩余，即，使得n 不大于这个除数的一半，不考虑符号；那么，如果a ′，b ′互质，就有n ＝0。如果以这种方式确定β 和γ ′的值，我们可以取γ 的值，使得m ″不大于b ′，不计符号。如果b ′＝0，这当然是不可能的，否则D ＝0，这是我们排除的情况。因此，对于上个条目第2个例子中的最后一个型，n ＝-2-β ＋2γ ′，如果令β ＝-2，γ ′＝0，就有n ＝0；进而m ″＝2-2γ ，如果令γ ＝1，那么m ″＝0。因而我们就得出代换
通过这个代换，该型就变换为 ，即f''''' 。
275
如果有一系列等价的三元型f ，f ′，f ″，f ，…以及把每个前面的型变成它后面那个型的代换，那么，根据条目270，由型f 变换成f ′的变换和型f ′变换成f ″的代换，可以推导出f 变换成f ″的代换，再由型f ″变换成f 的代换，可以推导出f 变换成f 的代换，等等。根据这个过程，我们可以求得把型f 变换成这个序列中另外一个型的代换。并且，由型f 变换成任意其他等价的型g 的代换，可以推导出型g 变换成型f 的代换（由S 推导出S ″，见条目268，269） 。以这种方式，我们可以得到序列f ′，f ″，…中任意一个型变成第1个型f 的代换。那么，对于上个条目第1个例子中的型，我们求得代换
通过这些代换，f 就分别变换成f ″，f ，f'''' ，并且由最后一个代换，可以推导出代换
由这个代换，f'''' 就变换成f 。类似地，对于上个条目中的例2，我们得出代换
通过这个代换，型 就变换成 ，反之亦然。
276
定理
具有给定行列式的所有三元型所划分的类的个数总是有限的。
证明
1．具有给定行列式D 的所有的型 的个数（其中a ＝0，b ″＝0，b 不大于数a ′，b ′的最大公约数的一半，且a ″不大于b ′） 显然是有限的。因为a ′b ′b ′＝D ，b ′能取的值要么是＋1和-1，要么是D 的平方根（可以取正的也可以取负的） 。这些数的个数是有限的。对于b ′每个值，a ′的值都是确定的，显然，b ，a ″的值的个数是有限的。
2．假如a 不等于0，也不大于 ；假设b ″b ″-a a ′＝A ″不等于0，也不大于 ；假设b ″不大于 ；假设a b -b ′b ″＝B ，且a ′b ′-b b ″＝B ′都不大于 。在这些情况下，上面使用的定理显示，所有行列式为D 的型 的个数是有限的。a ，b ″，A ″，B ，B ′的值的组合的个数是有限的，并且当这些值确定以后，型剩下的系数，即a ′，b ，b ′，a ，以及它的伴随型的系数
就由下面的等式
决定。现在，在得到了这些型以后，如果从a ，b ″，A ″，B ，B ′的值的组合中选取使得a ′，a ″，b ，b ′是整数的那些值，它们的个数就是有限的。
3．那么，上述中所有的型构成有限个类，且如果有任意型是等价的，类的个数就比型的个数少。因为，根据我们上面的论述，任何行列式为D 的三元型都一定与这些型其中的一个等价，即它一定属于由这些型所构成的类，所以这些类就包含了行列式为D 的所有型，即所有行列式为D 的三元型都能被分成有限多个类。证明完毕。
277
构成条目276.1中所有的型的规则自然地由它们的定义得到，因此，这里给出一些例子就足够了。对于D ＝1，条目276.1的型产生以下6个型（正负号一次只取一个）
对于条目276.2中的型，a 和A ″除了＋1和-1外不可能有其他的值，因而由它们的4个组合得到的b ″，B ，B ′一定都等于0，且得到4个型
类似地，对于D ＝-1，我们得到条目276.1中的6个型和条目276.2中的4个型
对于D ＝2，我们得到条目276.1中的6个型
以及条目276.2中的8个型
但在这三种情况下，由这些型所得到的类的个数远小于型的个数。
1．型 通过代换
分别变换成
并且，型 只是通过互换变量就可以变换成 和 。那么，我们得出的那10个行列式为1的三元型就可以简化为这2个型： 和 。对于第1个型，如果你愿意，可以取 。并且，由于第1个型是不定型，第2个型是定型，显然，任何行列式为1的不定型都等价于x 2 ＋2yz ，任何行列式为1的定型都等价于-x 2 -y 2 -z 2 。
2．同理，我们发现：任何行列式为-1的不定三元型都等价于型-x 2 ＋2yz ，任何定型都等价于x 2 ＋y 2 ＋z 2 。
3．对于行列式D ＝2，条目276.2中的第2、第6和第7个型可以立即排除掉，因为由第1个型通过互换未知数就可以导出这三个型。类似地，第5个型可以从第3个型导出，第8个型可以从第4个型导出。剩下的3个型以及条目276.1中的6个型就一起构成3个类；即型 通过代换
变换成 ，且型 通过代换
分别变换成
因此，任何行列式为2的三元型都可以简化为下面3个型之一
并且，如果你愿意，可以用 代替第1个型。显然，任何确定的三元型都一定等价于第3个型-x 2 -y 2 -2z 2 ，因为前两个型是不定型。而每个不定型都与第1个或第2个型等价：如果它的第1个、第2个和第3个系数都是偶数，就等价于第1个型2x 2 ＋2yz （显然，这样一个型可以通过任意代换变换成一个类似的型，因而它不可能等价于第2个型） ；如果它的第1个、第2个和第3个系数不都是偶数，而是有一个、两个或者全都是奇数，那么它就等价于第2个型x 2 ＋y 2 -2z 2 （对于第1个型，2x 2 ＋2yz 不能通过任何代换变成这个型） 。
根据这个结论，我们可以在条目273，274的例子中预知到一个先验，即行列式为-1的定型 可以简化为x 2 ＋y 2 ＋z 2 ，且行列式为2的不定型 可以简化为2x 2 -2yz 或者（实际是同样的结果） 2x 2 ＋2yz 。
278
如果一个三元型的未知数是x ，x ′，x ″，通过给x ，x ′，x ″赋予确定的值，这个型就表示 数；并且通过代换x ＝mt ＋nu ，x ′＝m ′t ＋n ′u ，x ″＝m ″t ＋n ″u ，这个型就表示二元型，其中m ，n ，m′ ，是确定的数，t ，u 是二元型的未知数。因此，为了得到三元型的完整的理论，我们须要解决下面的问题：
1．求由给定三元型表示一个给定的数的所有表示法。
2．求由给定三元型表示给定二元型的所有表示法。
3．判断具有相同行列式的两个给定三元型是否等价，如果它们等价，求它们之间的所有代换。
4．判断一个给定的三元型是否包含另一个具有更大的行列式的给定的型，如果包含，求出第1个型变换成第2个型的所有代换。
由于这些问题比二元型中类似的问题更加困难，我们下次再对它们做更详尽的讨论。
目前，我们把研究范围限定在指出第1个问题怎样转化为第2个问题，第2个问题怎样转化为第3个问题。我们会指出怎样在一个非常简单的情况下解决第3个问题，这个情况特别诠释了二元型理论。我们不讨论第4个问题。
279
引理
给定任意3个整数a ，a ′，a ″（它们不全为0），求其他6个整数B ，B ′，B ″，C ，C ′，C ″，使得 。
解：设α 是a ，a ′，a ″的最大公约数，取整数A ，A ′，A ″，使得Aa ＋A ′a ′＋A ″a ″＝α 。现在，取任意3个整数 ，唯一的条件是 不全等于0。我们把这些数分别表示为b ，b ′，b ″，把它们的最大公约数表示为β 。如果设a ′b ″-a ″b ′＝αβC ，a ″b -ab ″＝αβC ′，ab ′-a ′b ＝αβC ″，那么，C ，C ′，C ″都是整数。最后，如果选择整数 ，使得 ，设 ，并且令
B ，B ′，B ″，C ，C ′，C ″的值就满足所给等式。因为aB ＋a ′B ′＋a ″B ″＝0，bA ＋b ′A ′＋b ″A ″＝0，因而，bB ＋b ′B ′＋b ″B ″＝αβ 。现在，由C ′，C ″的值，我们得出
因而，B ′C ″-B ″C ′＝a ，同理，B ″C -BC ″＝a ′，BC ′-B ′C ＝a ″。这是我们要证明的。
但是，我们这里省去了求得这个解的分析过程，以及由一个解求得所有的解的方法。
280
假设行列式为D 的二元型at 2 ＋2btu ＋cu 2 （记为φ） 可以由三元型f （它的未知数是x ，x ′，x ″） 通过代换x ＝mt ＋nu ，x ′＝m ′t ＋n ′u ，x ″＝m ″t ＋n ″u 来表示，且f 的伴随型是未知数为X ，X ′，X ″的型F 。如果我们设X ＝m ′n ″-m ″n ′，X ′＝m ″n -mn ″，X ″＝mn ′-m ′n ，通过计算，我们不难确定（如果型f ，F 的系数用特定的字母表示） ，或者由条目268.2推导出，数D 可以由型F 表示。我们就说数D 的表示是型φ 由f 的表示的伴随 。如果X ，X ′，X ″的值没有公约数，那么我们就称D 的这个表示是正常的 ；否则的话，就称D 的这个表示是反常的 。对于由给出的型f 伴随的表示，我们也采用同样的名称。现在，数D 由型F 给出的所有正常表示是基于以下考虑：
1．数D 由F 给出的表示一定可以从行列式为D 的型由f 的表示推导出来；即所有数D 由F 给出的表示都伴随于这种表示。
设给定数D 由F 给出的表示为X ＝L ，X ′＝L ′，X ″＝L ″。由上个条目的引理，我们选择m ，m ′，m ″，n ，n ′，n ″，使得
并且，设f 通过代换 变换为二元型φ ＝at 2 ＋2btu ＋cu 2 。我们不难发现，D 就是型φ 的行列式，且D 由F 给出的表示与φ 由f 给出的表示是伴随的。
例：设 以及 ；D 由F 给出的表示是X ＝1，X ′＝8，X ″＝12。我们求得m ，m ′，m ″，n ，n ′，n ″的值分别是-20，1，1，-12，0，1，且φ ＝402t 2 ＋482tu ＋145u 2 。
2．如果φ ，χ 是正常等价的二元型，那么D 由F 给出的每个与型φ 由f 给出的某个表示伴随的表示，也就是型χ 由f 给出的某个表示的伴随。
设p ，q 是型χ 的变量，φ 通过正常代换t ＝αp ＋βq ，u ＝γp ＋δq 变换成χ ，型φ 由f 给出的一个表示是
那么，如果设
且令
型χ 就可以由f 表示。通过计算（由于αδ -βγ ＝1），我们求得
即D 由型F 给出的相同的表示伴随于表示R ，R ′。
那么，在上一个例子中，型φ 等价于χ ＝13p 2 -10pq ＋18q 2 。前者可以通过正常代换t ＝-3p ＋q ，u ＝5p -2q 变换成后者；且型χ 由f 给出的表示是：x ＝4q ，x ′＝-3p ＋q ，x ″＝2p -q 。由此，我们又对数-209得出和之前相同的表示。
3．如果两个行列式为D 的二元型φ ，χ （具有未知数t ，u ；p ，q） 能够由f 表示，且D 由F 给出的正常表示与p ，q 由f 给出的两个表示都是伴随的，那么这两个型就是正常等价的。 ，则φ 由型f 表示，并且令 ，则χ 由型f 表示，以及设
现在，选择整数l ，l ′，l ″，使得Ll ＋L ′l ′＋L″l″＝1，并且令
由此我们不难推导出
并且，类似地有
显然，mt ＋nu ，m ′t ＋n ′u ，m ″t ＋n ″u 就可以通过代换
分别变换成 ；那么，如果令
那么，通过代换（S ），φ 变成的型与f 变成的型是相同的型，也就是说，它变成了χ ，因而它们是正常等价的。最后，通过适当的代换，我们得到
因此，代换（S ）是正常代换，型φ ，χ 是正常等价的。
对于求D 由F 的所有正常表示，我们由上面的结论推导出下面的法则：求所有行列式为D 的二元型的所有的类，并从每个类中任选一个型；求这些型由f 给出的所有的正常表示（排除所有不能被f 表示的型） ，由这些表示推导出数D 由F 给出的表示。由前两条可知，以这种方式我们能得到所有可能的正常表示，因而这个解是完整的；由第3条可知，来自不同的类中的型的变换一定会给出不同的表示。
281
至于给定的数D 由型F 给出的反常 表示的研究，我们可以轻松地归结到前面的情况。很明显，如果D 不能被任何平方数整除（1除外） ，就完全没有这种表示，但是，如果λ 2 ，μ 2 ，ν 2 ，都是D 的平方因数，如果我们求出数 ，由F 给出的所有正常表示，并分别用λ ，μ ，ν ，…乘以变数的值，就能求出D 由F 给出的所有反常变换。
因此，求一个给定的数由一个与某个三元型伴随的 给定的三元型给出的所有表示取决于第2个问题。尽管乍看上去这似乎是一种特殊情况，但其他所有的情况可按照下面的步骤归化为这种情况：设D 是一个需要由行列式为Δ的型 表示的数，这个型的伴随型是 ＝f 。那么，f 的伴随型就是 。显然，数ΔD 由F 给出的表示（可以根据前面的讨论找到） 与数D 由给定的型给出的表示相同。但是，如果型f 的所有系数具有公约数μ ，那么，型F 的所有系数就能够被μ 2 整除，因而，ΔD 就一定能够被μ 2 整除（否则就不存在这样的表示） 。数D 由给定的型给出的表示与数 由这样的型给出的表示是一样的：这个型是将型F 的每个系数除以μ 2 所得到的型，而且它与由型f 的每个系数除以μ 得到的型是伴随的。
最后，我们指出，当D ＝0时，第1个问题的解法不适用。因为，在这种情况下，行列式为D 的二元型不能分为有限个数的类。我们后面会通过不同的原理解决这种情况。
282
对行列式不等于0 [37] 的给定二元型由给定三元型表示的研究取决于下面的观察。
1．从行列式为D 的二元型（p，q，r ）＝φ 由行列式为Δ的三元型f 给出的每一个正常表示，我们能求出整数B ，B ′，使得 ，即得到表达式的 一个值。假设我们得出型φ 由f 给出的正常表示
（这里x ，x ′，x ″；t ，u 表示型f ，φ 的变量） 。选择整数γ ，γ ′，γ ″使得
k 要么等于＋1，要么等于-1，设f 可以通过代换
变换为型 ，它的伴随型是 。那么，显然就有 ；又，Δ是型g 的行列式，因此
例如，取 ，型19t 2 ＋6tu ＋41u 2 就由型x 2 ＋x ′x′ ＋x ″x ″表示；并且，如果设γ ＝-1，γ ′＝1，γ ″＝0，我们就有B ＝-171，B ′＝27，即（-171，27）是表达式 的一个值。
由此推出，如果Δ（p ，-q ，r ）不是D 的二次剩余，那么φ 就不能由任何行列式为Δ的三元型正常表示，因此，在Δ和D 互质的情况下，Δ就一定是型的特征数。
2．由于γ ，γ ′，γ ″可以以无限多种方式确定，所以B ，B ′就会产生不同的值。我们来看一下它们之间有什么样的关系。假设我们也选取δ ，δ ′，δ ″使得 等于＋1或者-1，并且，型f 通过代换
变换成 ，它的伴随型是 。那么，型g ， 就是等价的型，因而G 和 也是等价的。通过应用条目269和270中的原理 [38] ，我们就会发现，如果令
型 就通过代换
变换为G 。那么，我们就有 。
由于 ，所以要么 （mod D ）。第1种情况，我们就说（B ，B ′）和（ ）是等价的；第2种情况，我们说它们是相反的。我们就说型φ 的表示属于 表达式 的某个值，这个值可以用第1种方法由这个表示推导出来。因此，同一个表示所属的所有的值要么是等价的，要么是相反的。
3．反过来，如果x ＝αt ＋βu ，…是型φ 由f 给出的表示，并且如果这个表示属于值（B ，B ′），这个值可以通过代换
由这个表示推导出来，那么同一个表示就也属于另外一个值（ ），它要么与（ ）等价，要么与（ ）相反，即，我们可以取其他的值δ ，δ ′，δ ″分别代替γ ，γ ′，γ ″，使得下面的等式成立
且它们具有这样的性质：通过代换（S ）
f 所变成的型的伴随型的第4和第5个系数分别等于 。为此，我们令
